2.8 数学探究活动(二)：探究函数性质-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数在函数性质探究中的应用，通过具体函数案例（如三次函数、含对数函数）展开，从求导确定极值点、列表分析单调性，到归纳函数通性，搭建从具体实例到抽象规律的学习支架。 其亮点在于案例驱动与数形结合，如三次函数通过列表和图像直观呈现单调区间与极值，探究活动设计开放性问题。结合直观想象、逻辑推理核心素养，培养学生数学探究能力，教师可借助结构化资源高效开展教学。

第二章　导数及其应用 §8　数学探究活动(二)：探究函数性质 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导数是函数的瞬时变化率．根据导数的几何意义，可依据导数的符号和绝对值的大小来判定函数的增减性以及增减的快慢，因此导数是研究函数性质的强有力的工具，为研究函数的单调性、极值、最值、零点等带来极大的方便． [探究案例] [案例1]　用导数探究函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－4x＋4的性质和图象 [探究]　f′(x)＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，列表如下： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 eq \f(28,3) 单调递减 极小值－ eq \f(4,3) 单调递增 由上表可得，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)， 函数f(x)的极大值为f(－2)＝ eq \f(28,3)，极小值为f(2)＝－ eq \f(4,3)， 所以函数f(x)的大致图象如图所示． [案例2]　用导数探究函数f(x)＝－3x3＋x－1的性质和图象 [探究]　f′(x)＝－9x2＋1，令f′(x)＝0得x＝－ eq \f(1,3)或x＝ eq \f(1,3).列表如下： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) － eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值－ eq \f(11,9) 单调递增 极大值－ eq \f(7,9) 单调递减 由上表可知f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))，函数f(x)的极大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－ eq \f(7,9)，极小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－ eq \f(11,9)，所以函数f(x)的大致图象如图所示． [探究归纳]　 用导数探究f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的性质与图象 (1)三次函数有极值的充要条件 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac＞0，即“三次问题”用“二次”求解． (2)三次函数的单调性与极值(设x1＜x2) ①当Δ≤0时，若a＞0，则f(x)在R上是增函数，如图(1)； 若a＜0，则f(x)在R上是减函数，如图(2). ②当Δ＞0时，若a＞0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值，如图(3). 若a＜0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值，如图(4). a的范围 Δ＞0 Δ≤0 a＞0 (3) (1) a＜0 (4) (2) [案例3]　已知函数f(x)＝－3x3＋x－1. (1)探究函数f(x)零点的个数； (2)探究实数m的范围，使关于x的方程－3x3＋m＝1－x恰有1个解． [探究]　由探究案例2知f(x)的大致图象． (1)由f(x)的图象知f(x)仅有一个零点； (2)由－3x3＋m＝1－x得－3x3＋x－1＝－m， 即转化为函数f(x)的图象与y＝－m恰有一个交点时，求m的取值范围． 由f(x)的图象知当－m＞－ eq \f(7,9)或－m＜－ eq \f(11,9)， 即m＜ eq \f(7,9)或m＞ eq \f(11,9)时，y＝f(x)图象与y＝－m恰有一个交点， 即关于x的方程－3x3＋m＝1－x恰有1个解． [探究归纳]　用导数研究函数的零点(或方程的实数解)，其关键是用导数研究函数的性质(单调性、极值、最值等)，与x轴或y轴的交点等，结合性质画出函数的大致图象，从而研究函数的零点问题，数形结合思想在其中起到了关键作用，其本质就是考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．注意解答此类问题必须“脑中有‘形’，心中有‘数’”，同时注意转化与化归思想的运用． [探究活动] 1．探究函数f(x)＝ eq \f(ln x,h(x))(其中h(x)＝ax或h(x)＝ax2，a≠0)的图象和性质． 参考　f(x)＝ eq \f(ln x,x)的图象如图所示． 2．探究函数f(x)＝h(x)ln x(其中h(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0)的图象和性质． 参考　f(x)＝x2ln x的图象如图所示． 3．利用函数的图象和性质，研究关于x的方程x2e2x＝m(m∈R)解的个数． 参考　y＝x2e2x的图象如图所示． 4．已知函数f(x)＝x3－x. (1)求曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程； (2)设a＞0，如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，证明：－a＜b＜f(a). (1)解析　f′(x)＝3x2－1， 所以曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)， 即y＝(3t2－1)x－2t3. (2)证明　如果曲线f(x)有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b＝(3t2－1)a－2t3. 若过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线， 则关于t的方程2t3－3at2＋a＋b＝0有三个相异的实数根． 记g(t)＝2t3－3at2＋a＋b， 则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a). 当t变化时，g(t)，g′(t)的变化情况如下表： t (－∞，0) 0 (0，a) a (a，＋∞) g′(t) ＋ 0 － 0 ＋ g(t) 单调递增 极大值a＋b 单调递减 极小值b－f(a) 单调递增 由上表可画出g(t)的草图，如下图所示． 由g(t)的单调性，当极大值a＋b＜0或极小值b－f(a)＞0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根； 当a＋b＝0时，解方程g(t)＝0，得t＝0，t＝ eq \f(3a,2)， 即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根； 当b－f(a)＝0时，解方程g(t)＝0，得t＝－ eq \f(a,2)， t＝a，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根． 综上，如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，即g(t)＝0有三个相异的实数根， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＞0，,b－f(a)＜0，))即－a＜b＜f(a). 5．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(eln x,x)，x＞0，,－2 021x，x≤0))(其中e为自然对数的底数)，函数g(x)＝[f(x)]2－(2m－1)f(x)＋2.试探究实数m的取值范围，使函数g(x)恰有4个零点． 解析　因为f(x)＝ eq \f(eln x,x)(x＞0)， 所以f′(x)＝ eq \f(e(1－ln x),x2)(x＞0)， 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0. 据此可得函数f(x)＝ eq \f(eln x,x)(x＞0)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减． 当x＝e时，函数f(x)＝ eq \f(eln x,x)(x＞0)取得极大值同时也是最大值，f(e)＝ eq \f(eln e,e)＝1. 易知函数f(x)＝－2 021x(x≤0)在区间(－∞，0]上单调递减， 故绘制函数f(x)(x∈R)的大致图象如图所示， 函数g(x)＝[f(x)]2－(2m－1)f(x)＋2， 设t＝f(x)，由函数f(x)的图象可知， 当t＞1或t＜0时，方程t＝f(x)有1个根； 当t＝0或t＝1时，方程t＝f(x)有2个根； 当0＜t＜1时，方程t＝f(x)有3个根． 若函数g(x)恰有4个零点， 则等价于关于t的一元二次方程t2－(2m－1)t＋2＝0存在两个实根t1，t2. 由于t1t2＝2＞0，所以这两个根中，一个根位于区间(0，1)上，另一个根位于区间(1，＋∞)上． 又二次函数y＝t2－(2m－1)t＋2的图象开口向上， 所以1－(2m－1)＋2＜0，解得m＞2， 即实数m的取值范围是(2，＋∞). $