2.8 数学探究活动（二）：探究函数性质课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.8 数学探究活动（二）：探究函数性质 第二章 导数及其应用 1 学习目标 1.掌握利用导数研究性质的方法.（数学抽象、逻辑推理） 2.体会探究活动的方法步骤.（逻辑推理） 学习目标 2 我们知道函数 有许多有用的性质,我们已经充分利用它的图象研究了 它的性质,现在我们利用导数研究它的性质. 已知函数 . （1）确定函数 的定义域,并求导; （2）讨论函数 的单调性; （3）讨论函数 的最值. 合作探究 3 [解析] （1）函数的定义域是, . （2）当时,,所以在, 上单调递增. 当时, , 令,得或,所以在, 上单调递增; 令,得或,所以在, 上单调递减. （3）由（2）可知, 若,则函数 在其定义域内无最值. 若,则当时, ; 当时, . 合作探究 4 （1）研究函数（常数 ）在定义域内的单调性,并说明理由; （2）对函数和（常数 ）作出推广,使它们都是你所推广的函 数的特例.研究推广后的函数的单调性（只写出结论,不必证明）. 合作探究 5 [解析] （1）因为,所以函数的定义域为 . 因为,所以 , 令,解得或;令,解得或 . 所以函数在,上单调递减,在,0,, 上单调递增. （2）可以把函数推广为（常数）,其中 是正整数. 当是奇数时,函数在,0,上单调递减,在, , 上单调递增; 当是偶数时,函数在,上单调递减,在,0, , 上单调递增. 合作探究 6 1.若函数在上可导,且 为单调函数.写出满足上述条件的一个函数: _________________________. （答案不唯一） [解析] 设,则 , 所以在 上单调递增, 所以 满足条件. 随堂检测 7 2.已知函数 . （1）研究函数 的图象和性质; （2）若关于的方程有三个不同的实数根,求实数 的取值范围. 随堂检测 8 [解析] （1）由,得 . 令,得, . 随着的变化,, 的变化情况如下表: 0 - 0 极大值 极小值 由表可知,函数在区间,上单调递增;在区间 上单调递减. 当时,函数取得极大值,极大值为;当时,函数 取得极小 值,极小值为 . 当 时,;当 时, ,故函数 无最大值,有最小值,最 小值为 . 随堂检测 9 函数 的简图如图所示. （2）由上图可知,实数的取值范围是, . 随堂检测 10 $$