2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过课前案设计具体函数问题链，从已知函数f(x)=x、g(x)=1/x²的导数入手，引导学生探究和差函数Q(x)、H(x)的导数，逐步推导加减乘除法则，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动自主探究，通过一题多解（如多项式乘积求导的两种方法）培养数学思维，结合切线问题、解析式求解等实例强化数学运算与逻辑推理。学生能提升运算能力与探究意识，教师可借助分层设计高效实施教学。

第二章　导数及其应用 §4　导数的四则运算法则 4．1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学 导数的四则运算法则 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 f′(x)±g′(x) 和(或差) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.结合实例，了解导数四则运算法则的推导过程．(难点) 2．掌握导数的四则运算法则并能熟练应用． 1.借助实例，概括导数的四则运算法则，培养数学抽象等核心素养． 2．通过导数四则运算法则的应用，提升数学运算等核心素养． 已知f(x)＝x，g(x)＝ eq \f(1,x)，Q(x)＝x＋ eq \f(1,x)， H(x)＝x－ eq \f(1,x). 　求f(x)，g(x)的导数． [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－ eq \f(1,x2). 　求Q(x)，H(x)的导数． [提示]　令y＝Q(x)＝x＋ eq \f(1,x)，因为Δy＝(x0＋Δx)＋ eq \f(1,x0＋Δx)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0)))＝Δx＋ eq \f(－Δx,x0(x0＋Δx))， 所以 eq \f(Δy,Δx)＝1－ eq \f(1,x0(x0＋Δx)). 当Δx趋于0时，得Q(x)在x＝x0处的导数， 所以Q′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x0(x0＋Δx)))) ＝1－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) ， 所以导数Q′(x)＝1－ eq \f(1,x2). 同理H′(x)＝1＋ eq \f(1,x2). 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何运算关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1， 所以[f(x)g(x)]′＝0， 而f′(x)g′(x)＝1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))＝－ eq \f(1,x2). 　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝ eq \f(f′(x),g′(x))对吗？ [提示]　不对，因为 eq \f(f(x),g(x))＝ eq \f(x,\f(1,x))＝x2， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝2x，而 eq \f(f′(x),g′(x))＝ eq \f(1,－\f(1,x2))＝－x2. ◎结论形成 导数的四则运算法则 运算 法则 语言叙述 加减 运算 [f(x)±g(x)]′＝__________________． 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的_________． 乘法 运算 [f(x)g(x)]′＝______________________． 特别地，[Cf(x)]′＝Cf′(x)，C∈R 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数． 除法 运算 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝________________． 其中g(x)≠0 两个函数商的导数等于分母上的函数乘分子的导数，减去分子乘分母的导数所得的差除以分母的平方． eq \f(g(x)f′(x)－f(x)g′(x),g2(x)) [拓展] 1．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x). 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数． 3．函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin x,x2)))′＝ eq \f((sin x)′x2－(x2)′sin x,x2).(　　) (2)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝ eq \f(f′(1),x).(　　) (3)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (4)当g(x)≠0时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,g(x))))′＝－ eq \f(g′(x),g2(x)).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2024·福建连城一中高二月考)函数f(x)＝x2＋2sin x，则f′(1)等于(　　) A.1－2cos 1　　　　 B．2－2cos 1 C．1＋2cos 1 D．2＋2cos 1 解析　因为f(x)＝x2＋2sin x，所以f′(x)＝2x＋2cos x，所以f′(1)＝2＋2cos 1. 答案　D 3．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．e B．e2 C． eq \f(ln 2,2) D．ln 2 解析　由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋x· eq \f(1,x)＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＝1，则x0＝e. 答案　A 4．已知f(x)＝ eq \f(ex,x)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝______________． 解析　因为f′(x)＝ eq \f((ex)′x－ex·x′,x2)＝ eq \f(ex(x－1),x2)(x≠0)，所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得 eq \o\al(2,0) eq \f(ex0(x0－1),x) ＋ eq \f(ex0,x0)＝0，解得x0＝ eq \f(1,2). 答案　 eq \f(1,2) 题型一　利用运算法则求函数的导数 eq \a\vs4\al(一题多解) 　[教材例1、例3、例4、例5迁移]求下列函数的导数． (1)y＝x sin x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝ eq \f(x－1,x＋1)； (4)y＝ eq \f(ln x,x＋1)－2x. [解析]　(1)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝sin x＋x cos x. (2)法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 法二　因为y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)法一　y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)))′ ＝ eq \f((x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′,(x＋1)2) ＝ eq \f(x＋1－(x－1),(x＋1)2)＝ eq \f(2,(x＋1)2). 法二　因为y＝ eq \f(x－1,x＋1)＝ eq \f(x＋1－2,x＋1)＝1－ eq \f(2,x＋1)， 所以y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))′＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋1)))′ ＝－ eq \f(2′(x＋1)－2(x＋1)′,(x＋1)2)＝ eq \f(2,(x＋1)2). (4)y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,x＋1)－2x))′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,x＋1)))′－(2x)′ ＝ eq \f(\f(1,x)(x＋1)－ln x,(x＋1)2)－2x ln 2 ＝ eq \f(x＋1－x ln x,x(x＋1)2)－2x ln 2. 对一个函数求导时，要紧扣导数的四则运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．　 [触类旁通] 1．(1)已知f(x)＝ex－ eq \f(e,2)x2，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(a)＝f(a)，则a的值为______________． (2)求下列函数的导数． ①y＝x-2＋x2；②y＝3xex－2x＋e； ③y＝ eq \f(ln x,x2＋1)；④y＝x2－4sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2). 解析　(1)由题意得f′(x)＝ex－ex，则由f′(a)＝f(a)得ea－ea＝ea－ eq \f(e,2)a2，解得a＝0或a＝2. (2)①y′＝2x－2x-3. ②y′＝(ln 3＋1)(3e)x－2x ln 2. ③y′＝ eq \f(\f(1,x)(x2＋1)－ln x·2x,(x2＋1)2)＝ eq \f(x2＋1－2x2ln x,x(x2＋1)2). ④∵y＝x2－4sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2)＝x2－2sin x， ∴y′＝2x－2cos x． 答案　(1)0或2　(2)略 题型二　导数公式与运算法则的综合应用 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　利用导数求函数解析式 　(1)已知函数f(x)＝ eq \f(ln x,x)＋2xf′(1)，则f(x)的解析式为____________． (2)已知函数f(x)＝ eq \f(a ln x,x＋1)＋ eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值． [解析]　(1)由题意得f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2)＋2f′(1). 令x＝1，得f′(1)＝ eq \f(1－ln 1,1)＋2f′(1)， 即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝ eq \f(ln x,x)－2x. (2)f′(x)＝ eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－ln x)),(x＋1)2)－ eq \f(b,x2). 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－ eq \f(1,2)，且过点(1，f(1))， 则f(1)＝1，f′(1)＝－ eq \f(1,2)，即b＝1， eq \f(a,2)－b＝－ eq \f(1,2)， 解得a＝1，b＝1. [答案]　(1)f(x)＝ eq \f(ln x,x)－2x　(2)略 1．确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数． 2．利用待定系数法可确定a，b的值． 完成题目的前提是熟练应用导数的运算法则．　 角度2　与切线有关的问题 　[教材例2、例6拓展]已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点O是坐标原点，试在抛物线的 eq \o(AOB,\s\up8(︵))上求一点P，使△ABP的面积最大． [解析]　因为|AB|为定值，所以要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，即要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可，设P(x0，y0).由图知，点P在x轴下方的图象上， 所以y＝－2 eq \r(x)，所以y′＝－ eq \f(1,\r(x)). 因为kAB＝－ eq \f(1,2)，所以－ eq \f(1,\r(x0))＝－ eq \f(1,2)，x0＝4. 由y eq \o\al(2,0)＝4x0(y0＜0)，得y0＝－4， 所以点P(4，－4). 利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标，另外也可利用函数的方法求点P的坐标，运用配方法的思想求出最值．　 [触类旁通] 2．(1)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x2－x·f′(3)，则f(1)＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 (2)若曲线y＝ eq \f(ax＋1,ex)有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(\r(2),4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(\r(3),3) (3)已知f(x)＝x3－ eq \f(2,x)－a. ①若a＝0，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程； ②若过点P(－1，0)的直线l与曲线f(x)在x＝1处相切，求实数a的值． 解析　(1)因为f(x)＝x2－x·f′(3)， 所以f′(x)＝2x－f′(3)， 令x＝3，得f′(3)＝6－f′(3)，所以f′(3)＝3， 所以f(x)＝x2－3x，则f(1)＝－2.故选B. (2)设y＝f(x)＝ eq \f(ax＋1,ex)，则f′(x)＝ eq \f(－ax＋a－1,ex)，设切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(ax0＋1,ex0)))，则f′(x0)＝ eq \f(－ax0＋a－1,ex0)， 所以切线方程为y－ eq \f(ax0＋1,ex0)＝ eq \f(－ax0＋a－1,ex0)· (x－x0)，又该切线过原点，所以0－ eq \f(ax0＋1,ex0)＝ eq \f(－ax0＋a－1,ex0)(0－x0)， 整理得ax eq \o\al(2,0)＋x0＋1＝0　①， 因为曲线y＝f(x)只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故Δ＝1－4a＝0，解得a＝ eq \f(1,4).故选A. (3)①当a＝0时，f(x)＝x3－ eq \f(2,x)， 则f′(x)＝3x2＋ eq \f(2,x2)， 所以f(1)＝－1，f′(1)＝5， 所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＋1＝5(x－1)，即5x－y－6＝0. ②由f(x)＝x3－ eq \f(2,x)－a，得f′(x)＝3x2＋ eq \f(2,x2)， 因为直线l与曲线f(x)在x＝1处相切，所以直线l的斜率k＝f′(1)＝5， 又k＝ eq \f(f(1)－0,1－(－1))＝ eq \f(1,2)f(1)＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(a,2)， 所以－ eq \f(1,2)－ eq \f(a,2)＝5，解得a＝－11， 故实数a的值为－11. 答案　(1)B　(2)A　(3)略 [缜密思维提能区] 规范答题 求曲线的切线方程 [典例]　(13分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？ [审题指导]　 eq \x(求出切点坐标)—— eq \x(求出斜率，点斜式方程求解)—— eq \x(联立方程组求公共点坐标) [规范解答]　(1)把x＝1代入C的方程，求得 y＝－4. 所以切点为(1，－4).(2分) 因为y′＝12x3－6x2－18x， 所以切线斜率为k＝12－6－18＝－12.(5分) 所以切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即y＝－12x＋8①.(7分) (2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝3x4－2x3－9x2＋4，,y＝－12x＋8，)) 得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，(9分) c所以(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0， 所以x1＝1，x2＝－2，x3＝ eq \f(2,3).(11分) 分别代入y＝－12x＋8， 求得y1＝－4，y2＝32，y3＝0. 即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)) eq \s\up12(②). 所以除切点外，还有两个交点(－2，32)和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)).(13分) 知识落实 技法强化 (1)导数的运算法则． (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． (1)要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误； (2)利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． $