1.4 数列在日常经济生活中的应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦数列在日常经济生活中的应用，涵盖单利复利概念及等差、等比数列模型。通过“小王存款”问题情境导入，衔接数列基础知识，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于采用“课前自主学习-课堂互动探究-课后学业评价”三段式结构，结合数学建模、数学运算核心素养，通过分期付款、定期转存等实例，引导学生用数学思维解决经济问题。助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

第一章　数列 §4　数列在日常经济生活中的应用 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学 单利与复利 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 P(1＋nr) P(1＋r)n 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用． 2．能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题． 1.通过学习银行存款中的单利和复利的计息方式，培养数学抽象、数学运算等核心素养． 2．利用等差、等比数列的相关知识解决经济生产中的问题，提升数学建模等核心素养． 　小王2020年5月16日存入银行1 000元，年利率为1.75%. (1)计算到2021年5月16日得到的本利和； (2)办理一年定期储蓄，以后按约定自动转存，计算到2025年5月16日得到的本利和． [提示]　(1)1 000×(1＋1.75%)＝1 017.5(元). (2)1 000×(1＋1.75%)5≈1 090.62(元). ◎结论形成 单利、复利 单 利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期． 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝_____________． 复 利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法. 复利的计算公式是S＝____________． [拓展]　 (1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型． (2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄等都是计单利的储蓄模型． (3)定期自动转存是计复利的储蓄类型． (4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的． 1．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是(　　) A． eq \f(m,11) B． eq \f(m,12) C． eq \r(11,m)－1 D． eq \r(12,m)－1 解析　设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，所以x＝ eq \r(11,m)－1. 答案　C 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额本息还清，每年1次，问每年应还___________万元．(　　) A． eq \f(m,10) B． eq \f(mp(1＋p)10,(1＋p)10－1) C． eq \f(m(1＋p)10,10) D． eq \f(mp(1＋p)9,(1＋p)9－1) 解析　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10， eq \f(x[1－(1＋p)10],1－(1＋p))＝m(1＋p)10，x＝ eq \f(mp(1＋p)10,(1＋p)10－1).故选B. 答案　B 3．现存入银行10 000元，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析　由复利公式得 S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365. 答案　C 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为___________万元．(精确到0.001) 解析　10年后的本利和S＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元). 答案　6.246 题型一　等差数列模型的应用 　[教材例1迁移]某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月是开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [解析]　因购房时先付150万元， 则欠款1 000万元，依题意分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，……， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－ eq \f(1,2)(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋). 所以{an}是以60为首项，－ eq \f(1,2)为公差的等差数列． 所以a10＝60－9× eq \f(1,2)＝55.5， 所以第10个月应付55.5万元， a20＝60－19× eq \f(1,2)＝50.5. 所以S20＝ eq \f(1,2)×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元). 1．利用等差数列模型解答问题，首先要判断和证明数列是等差数列；如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型； 2．一定要弄清数列的首项、公差和项数等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题．　 [触类旁通] 1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ 解析　实际取出的钱等于本金＋利息． 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， …… 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165% ＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%× eq \f(12×13,2)＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元). 题型二　等比数列模型的应用 　[教材例3拓展]某商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2024年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款． (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，求到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2032年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元，参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 5) [解析]　依题意，公寓2024年底建成，2025年开始使用． (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有62×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n-1]≥500(1＋5%)n+1. 化简得62×(1.05n－1)≥25×1.05n+1. 所以1.05n≥1.734 3. 两边取对数整理得n≥ eq \f(lg 1.734 3,lg 1.05)≈ eq \f(0.239 1,0.021 2)≈11.28. 所以取n＝12. 所以到2036年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2032年底公寓共使用了8年． 依题意有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 000x,10 000)－18))[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x－18)× eq \f(1.058－1,1.05－1)≥500×1.059. 所以x≥10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18＋\f(25×1.059,1.058－1)))≈10 eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(18＋)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25×1.05×1.477 5,1.477 5－1)))≈10×(18＋81.2)＝992. 故每生每年的最低收费标准为992元． 定期自动转存是复利的储蓄类型，复利问题需转化为等比数列模型解决．　 [触类旁通] 2．(2025·山东威海高二期末)经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加．假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是(最初政府支出也算是国内消费)(　　) A．a·(p%)29亿元 B．a·(p%)30亿元 C． eq \f(a[1－(p%)30],1－p%)亿元 D． eq \f(a[1－(p%)31],1－p%)亿元 解析　1轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%，2轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%＋a·(p%)2，…，30轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%＋a·(p%)2＋…＋a·(p%)30＝ eq \f(a[1－(p%)31],1－p%)(亿元). 答案　D 题型三　等差、等比数列模型的综合应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　[教材例2拓展]某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.786) [解析]　甲方案十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝ eq \f(1.310－1,1.3－1)≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 所以甲方案净获利42.62－25.94＝16.68(万元). 乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为 eq \f(1,2)，前10项和为T10＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝ eq \f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32.50(万元). 又贷款本息总数为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1× eq \f(1.110－1,1.1－1)≈17.53(万元)， 所以乙方案净获利32.50－17.53＝14.97(万元). 比较两方案可得甲方案获利较多． [母题变式] (变条件)在本例中，若该企业还有两种技术改造的方案：丙方案，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润；丁方案，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？(参考数据：1.259≈7.45，1.2510≈9.3，1.029≈1.20，1.0210≈1.22) 解析　方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列， 且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10， 收入S丙＝ eq \f(4(1－1.2510),1－1.25)≈ eq \f(4(9.3－1),0.25)＝132.8(万元). 净获利W丙＝132.8－40(1＋2%)10≈132.8－48.8＝84(万元). 方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1.5，n＝10， 收入S丁＝10×3＋ eq \f(1,2)×10×9×1.5＝30＋67.5 ＝97.5(万元). 净获利：W丁＝97.5－20(1＋2%)10≈97.5－24.4 ＝73.1(万元). 比较两方案可得丙方案净获利更多． [素养聚焦]　本例通过数列在日常经济生活中的应用，提升数学建模和数学运算等核心素养． 应用数列知识解决实际问题的一般思路 (1)建模．根据题设条件，建立数列模型： ①分析实际问题的结构特征； ②找出所含元素的数量关系； ③确定为何种数列模型． (2)解模．利用相关的数列知识加以解决： ①分清首项、公差(公比)、项数等； ②分清是求an还是求Sn； ③选用适当的方法求解． (3)还原．把数学问题的解代回实际问题中，根据实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．　 [触类旁通] 3．张先生2024年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000 km就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1.8吨二氧化碳． (1)张先生估计第一年(即2025年)会用车12 000 km，以后逐年会增加1 000 km，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？ (2)若种植的林木第一年(即2025年)生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量？(参考数据：1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0) 解析　(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N＋)， 则a1＝ eq \f(12 000,3 000)＝4，a2＝ eq \f(13 000,3 000)＝ eq \f(13,3)，a3＝ eq \f(14 000,3 000)＝ eq \f(14,3)，…， 显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝ eq \f(1,3)的等差数列，所以S10＝10×4＋ eq \f(10×9,2)× eq \f(1,3)＝55， 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨． (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N＋)， 则b1＝1×1.8，b2＝1×(1＋10%)×1.8， b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…， 其构成首项b1＝1.8，公比q＝1.1的等比数列， 记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝ eq \f(1.8×(1－1.1n),1－1.1)＝18×(1.1n－1)＞55，解得n≥15. 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量． 数列模型在经济生活中的应用 [典例]　(13分)假设你正在某公司打工，根据表现，公司给你提供两个加薪的方案： 方案一　每年年末加1 000元； 方案二　每半年结束时加300元． 请你选择． (1)如果在该公司干10年，两种方案各加薪多少元？ (2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？ [缜密思维提能区] 规范答题 [审题指导]　 eq \x(设数列)—— eq \x(分别求和)—— eq \x(比较)—— eq \x(结论) [规范解答]　设方案一第n年年末加薪an， 因为每年年末加薪1 000元， 则an＝1 000n； 设方案二第n个半年加薪bn， 因为每半年加薪300元， 则bn＝300n①.(2分) (1)在该公司干10年(20个半年). 方案一：共加薪S10＝a1＋a2＋…＋a10＝55 000(元)；(4分) 方案二：共加薪T20＝b1＋b2＋…＋b20＝20×300＋ eq \f(20×(20－1),2)×300＝63 000(元).(6分) (2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1 000×n＋ eq \f(n(n－1),2)×1 000 ＝500n2＋500n，(8分) T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2n×300＋ eq \f(2n×(2n－1),2)×300＝600n2＋300n②.(10分) 令T2n≥Sn，即600n2＋300n≥500n2＋500n， 解得n≥2， 当n＝2时等号成立③. 所以如果干3年以上(包括3年)应选择方案二；如果只干2年，随便选；如果只干1年，应选择方案一．(13分) 知识落实 技法强化 (1)银行存款，付款问题． (2)等差(比)数列的实际应用． (1)两种数列模型． (2)对数列模型是等差数列还是等比数列要准确作出判断和证明，正确区分所求的是项还是和． $