精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

定远育才学校2024-2025学年高一（上）12月月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 3. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下表，已知定义在上的连续函数的部分对应值如下表所示，则能够判断在下列区间中有实数解的是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，，值域为，则以下结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. a不可能等于， C. 的最大值为 D. b不可能等于， 6. 已知函数若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是5 10. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正数，满足，则的最小值为______． 13. 已知是定义在上的奇函数，则____________. 14. 已知奇函数的定义域为，且为减函数，若满足，则的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． （1）求森林面积的年增长率； （2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？ （参考数据：，） 17. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为. （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围. 19. 已知在定义域上为奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断并证明函数在定义域内的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2024-2025学年高一（上）12月月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接化简集合，然后计算即可. 【详解】∵，∴． 故选：A. 2. 幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为幂函数过点（2,4），进而得到关系式为y=x2,那么可知函数的增区间为,选C 3. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】由函数是上的偶函数，则， 又函数在上单调递增，因此， 解，得或， 解，得，于是， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 4. 根据下表，已知定义在上的连续函数的部分对应值如下表所示，则能够判断在下列区间中有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用存在性定理确定正确答案. 【详解】设函数， 则， ， ， ， ， ， 由零点存在定理，得函数的零点存在区间为. 故选：B 5. 设函数，，值域为，则以下结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. a不可能等于， C. 的最大值为 D. b不可能等于， 【答案】D 【解析】 【分析】作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项. 【详解】解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得： 对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值， 此时函数的值域为，达到最小值，故A正确； 对于B，如果，由于没有达到最小值-1，则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确； 对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值， 此时函数的值域为，达到最大值，故C正确； 对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确； 故选：D. 【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题. 6. 已知函数若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参变分离结合基本不等式、导数可求参数的取值范围． 【详解】依题意，当时，恒成立，此时； 当时，恒成立，可转化为， 故， 又当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，故； 当时，恒成立，可转化为，故； 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，又，即； 由，即． 故选：D． 7. 已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数，问题可以转化为有两个解，即恰有两个解，构造，对求导，分析单调性，值域，进而可得结论． 【详解】因为函数， 因此，即，即，又， 所以函数恰有两个零点，即有两个解， 即恰有两个解，即恰有两个解， 记函数，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故极大值也是最大值为， 作出的大致图象如下： 所以恰有两个解，则，故， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形得到即恰有两个解，再设新函数研究右边的极值和图象，利用数形结合的思想即可得到答案. 8. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面积公式与三角形面积公式即可得解. 【详解】依题意，，， 所以， 因为，所以， 故的弧长为， 则扇形的面积为，的面积为， 所以弧田的面积为． 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是5 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可以判断选项ACD的真假，利用二次函数可以判断选项B的真假. 【详解】解：由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以选项A错误； ，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确； ，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误． 故选：BC． 10. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象求出函数的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为，即，，，又，，， 又图象过点，，，解得， 而的最小正周期需要满足，即，解得，，，正确， 函数的图象向左平移个单位长度后，得到新函数，错误， ，的图象关于直线对称，正确， ， 若方程在上有且只有6个根，则，正确. 故选：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用“乘1”法结合基本不等式即可解得. 【详解】由，可得, 因,，故,, 则， 其中， 当且仅当即时取等号， 结合，解得，， 故的最小值为． 故答案为：． 13. 已知是定义在上的奇函数，则____________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据求出，再利用奇函数的定义检验. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时，，则，故是奇函数， 故. 故答案为： 14. 已知奇函数的定义域为，且为减函数，若满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及函数单调性解不等式即可. 【详解】是奇函数，且满足， 在上是单调递减函数， ，且，解得. 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集、补集、交集的定义进行求解即可； （2）根据子集的定义，结合集合是否为空集分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 若，， 所以， 因为 或， 所以； 【小问2详解】 当时，即当时，，显然成立； 当时，即当时，，要想， 只需，显然满足， 综上所述：实数的取值范围. 16. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． （1）求森林面积的年增长率； （2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？ （参考数据：，） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）设年增长率为，根据题意可得出关于的等式，进而可解得的值，即可得解； （2）设已植树造林年，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解； （3）设至少需要植树造林年，列出关于的不等式，结合指数与对数的转换关系以及换底公式可求得结果. 【详解】（1）设年增长率为，则，即，解得， 因此，森林面积的年增长率为； （2）设已植树造林年，则，即，，解得， 因此，该地已经植树造林年； （3）设至少需要植树造林年，则，可得， 所以，，， 因此，至少需要植树造林年. 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序： 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 17. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为. （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 由条件可知，并且，，再根据诱导公式求，根据三角函数的定义求得点的坐标；（2）根据（1）的结果代入求得，并且，再根据同角三角函数关系式求. 【详解】解：因为角的终边与单位圆交于点，所以，． 因为角的终边顺时针旋转后得到角，所以， . （1）当时，因为角的终边与单位圆的交点为， 所以点的坐标为. （2）因为，，所以，即． 因为，所以． 【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数，重点考查转化，计算能力，属于基础题型. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 为奇函数，证明如下： 由（1）可知，定义域关于原点对称 又， 所以为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）列出不等式，求解即可. （2）利用奇函数的定义求解即可； （3）利用函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由，解得：或，所以定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是. 19. 已知在定义域上为奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断并证明函数在定义域内的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值. （2）由（1）得的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证 （3）根据的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 因为在定义域上为奇函数， 所以，解得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 则在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增 【小问3详解】 因为在上单调递增，且为奇函数， 由，得， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $