精品解析：湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

湖北省武昌实验中学高二年级十二月月考 数学试卷 命题教师：郭子乙 审题教师：吴明桂 刘文炜 考试时间：2025年12月30日下午14:00-16:00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为. 故选：C 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 3. 若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可. 【详解】因为表示圆， 所以,解得或. 故选：B. 4. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 5. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 6. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 7. 数列的前项和为，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知当为奇数时，.易得.根据的周期性，可求得. 【详解】当为奇数时，. 因为函数的最小正周期为. 所以当为奇数时，. ， . 所以. 所以. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及几何性质，结合已知条件，求出点坐标，进而求出相关线段长度，再利用角平分线定理求出． 【详解】双曲线，设双曲线半焦距为， 左、右焦点分别为，，， ，是中点， ，， 是中点，是以为圆心，为半径的圆上的点，故， 设点在双曲线渐近线上，联立得， 点在双曲线渐近线上，且是中点， ，故，解得，， 的斜率，方程为， 联立直线与双曲线方程，得，解得， 在双曲线右支上，，，故点； ， 是的角平分线， ，故D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 【答案】BD 【解析】 【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 10. 已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 B. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 C. 当时，曲线是椭圆的一部分 D. 当时，曲线是双曲线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】先联立两直线方程消去参数，得到曲线C的方程为，再根据椭圆和双曲线的标准方程的条件逐一分析选项即可. 【详解】当时， 联立直线与的方程，此时无解， 当时，联立直线与的方程， 可得，所以，两式平方相加可得, 选项A：当时 曲线C的方程，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在x轴上， 所以该选项A正确； 选项B：当时，曲线C的方程为，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在y轴上，所以该选项B正确； 选项C：当时，假设, 曲线C的方程为， 表示圆去掉时的点，不表示椭圆的一部分，所以C选项错误； 选项D：当时， 曲线C的方程是焦点在x轴的双曲线的一部分，D选项正确； 故选：ABD. 11. 数列满足，，记，，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 存在使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推式可得，则可得数列为等差数列，设出其公差，可表示出数列的通项公式，再利用裂项相消法计算可表示出，再利用可解出，则可得数列的通项公式，再逐项计算并判断即可得. 【详解】由，则， 即，故， 又，故数列是以为首项的等差数列，设其公差为， 则，故， 则， 则 ， 则，解得，故； 对A：由，则，， 则，，故，故A正确； 对B：由，则， 故是递减数列，故B正确； 对C：由，则，故C错误； 对D：，令，解得， 故存在，使得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得数列是递减数列，则有，解出即可得. 【详解】由等差数列中，当且仅当时取得最大值， 则数列是递减数列，又， 则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 13. 设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】假设点坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，将转化为，再利用韦达定理解. 【详解】设，联立直线和抛物线方程，消去得， 由一元二次方程根与系数的关系可得； 由抛物线的性质可知，，则，即，等式两侧同时平方可得，整理可得，即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：1. 14. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过过三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 16. 在平面直角坐标系中，已知动点E与定点的距离和E到定直线的距离之比为2，动点E的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之和． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）设动点，根据两点之间距离公式、点到直线距离公式和题意联立方程即可； （2）设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，通过斜率定义表示直线和的斜率之和，再结合韦达定理求解. 【小问1详解】 设动点，则点与定点的距离，E到定直线的距离为，所以，等式两侧同时平方可得，整理可得曲线C的方程为. 【小问2详解】 如图示，设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，消去可得， 因为直线与曲线相交于两点，所以，， 由韦达定理可知； 已知，则直线的斜率为，直线的斜率为， 即知， 代入， 得， 再将代入上式， 可得， 所以直线的斜率之和为. 17. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． （1）证明：； （2）若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O的截面面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直即可证明； （2）（i）由，可知点为的中点，易证平面平面，过作于,则平面，易得，延长至使得，过作且，则直线AO平面，所以即为直线AO与平面PBC所成的角，易得，，.即可求解直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求出点到面的距离.设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径，由，解得，即可求解. 【小问1详解】 如图： 因为平面平面，面平面， 过作于，则平面， 平面，故. 又平面,平面,所以，， 所以平面,平面， 所以. 【小问2详解】 （i）点为的中点，理由如下： 由（1）知平面，平面，. 又平面,平面,所以. 点为的中点时，故O为三棱锥的外接球的球心. 因为平面,所以，又，， 所以平面，平面，所以平面平面， 过作于,则平面. 延长至使得，过作且， 则直线AO平面， 所以即为直线AO与平面PBC所成的角， 易得， . 过作于，则, 设，则，， 由（1）知，则，即，解得. 故，又，解得. 所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）点为的中点，故点到面的距离是点到面的距离的二分之一， 又，所以点到面的距离等于点到面的距离， 点到面的距离为，故点到面的距离. 设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径， 由，即，解得， 所以平面PBC截球O的截面圆的面积为. 18. 如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式： ．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线． （1）直接写出曲线的对称轴和椭圆W的方程（不用说明理由）； （2）已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点． （i）求k的取值范围； （ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii），取值范围为 【解析】 【分析】（1）易得曲线的对称轴为，进而可知曲线由椭圆逆时针旋转得到，再根据旋转变换求椭圆方程即可； （2）先根据旋转变换得到曲线，（i）联立椭圆，结合有四个交点即可得到k的取值范围；（ii）根据题意可知四边形为平行四边形，则，再根据即可得到，然后再求范围即可． 【小问1详解】 设点在曲线上，则， 所以，则点也在曲线上，故是曲线的对称轴， 又，所以点也在曲线上， 故也是曲线的对称轴， 综上，曲线的对称轴为； 所以曲线由椭圆逆时针旋转得到， 设点在椭圆上，逆时针旋转后的坐标为， 则，又点在曲线上， 所以， 即， 整理化简得，即椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设点在曲线上，逆时针旋转后的坐标为， 则， 整理得，即曲线， （i）联立，得， 因为曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点， 令，则有两个不同的正数解， ，解得或， 所以k的取值范围为； （ii）根据题意，椭圆W及曲线关于原点对称，易得四边形为平行四边形， 则，不妨设，，在第四象限， 则， 又 ， 所以，，， 则， 所以，取值范围为． 19. 已知为抛物线的焦点，P，A，B是抛物线E上互异的任意三个点，且P点异于原点，直线PA，PB的斜率均存在．过点P作E的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H． （1）求E的方程； （2）证明：点H恒在一个以F为圆心的圆上，并求圆F的方程； （3）将圆F向右平移3个单位得到圆C，若，直线PA，PB被圆C截得的弦长都为，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，圆F的方程为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点的坐标公式求出，再利用代入法进行求解即可； （2）根据抛物线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、直线垂直的性质、圆的定义进行运算证明即可； （3）根据圆的弦长公式，结合一元二次方程的根与系数关系进行求解即可. 【小问1详解】 因为为抛物线的焦点， 所以，因此E的方程为； 【小问2详解】 根据抛物线的性质可知过点P（异于原点）的抛物线的切线的斜率一定存在，且不为零， 设点P的坐标为，过点P的抛物线的切线的斜率为， 所以该切线的方程为，与抛物线的方程联立，得 ， 因为直线是抛物线的切线， 所以， 所以切线方程为， 令，，即点Q的坐标为， 设，， 因为， 所以， 化简，得， 因为， 所以， 于是有， 即，因为 所以点H恒在一个以F为圆心的圆上，该圆的方程为； 【小问3详解】 由上可知圆F的方程为， 将圆F向右平移3个单位得到圆C， 所以圆C的方程为，因此圆心C的坐标为，半径为， 设， 所以直线的方程为：， 同理可得直线的方程为：， 圆心C到直线的距离为， 因为直线PA被圆C截得的弦长都为， 所以有， 因为直线PB被圆C截得的弦长都为， 所以同理可得， 所以是方程的两个根， 因此，， 设的中点为，则的坐标为， 因为， 所以， 因此 ， 因为， 所以由， 所以点P的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武昌实验中学高二年级十二月月考 数学试卷 命题教师：郭子乙 审题教师：吴明桂 刘文炜 考试时间：2025年12月30日下午14:00-16:00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 数列的前项和为，，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 10. 已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 B. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 C. 当时，曲线是椭圆的一部分 D. 当时，曲线是双曲线的一部分 11. 数列满足，，记，，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 存在使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 13. 设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则______． 14. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 16. 在平面直角坐标系中，已知动点E与定点的距离和E到定直线的距离之比为2，动点E的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之和． 17. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． （1）证明：； （2）若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O的截面面积． 18. 如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式： ．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线． （1）直接写出曲线的对称轴和椭圆W的方程（不用说明理由）； （2）已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点． （i）求k的取值范围； （ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围． 19. 已知为抛物线的焦点，P，A，B是抛物线E上互异的任意三个点，且P点异于原点，直线PA，PB的斜率均存在．过点P作E的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H． （1）求E的方程； （2）证明：点H恒在一个以F为圆心的圆上，并求圆F的方程； （3）将圆F向右平移3个单位得到圆C，若，直线PA，PB被圆C截得的弦长都为，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $