精品解析：福建省厦门沧江高级中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题

沧江高级中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 因此原命题的否定是：． 故选：D． 3. 化简的值得（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】运用对数运算的公式、指数运算的公式可以直接求出代数式的值. 【详解】. 故选：D 【点睛】本题考查了对数、指数的运算公式,考查了数学运算能力. 4. 若，，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：A 6. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性与奇函数性质求的值. 【详解】因为是定义在上周期为的奇函数， 所以. 故选：C. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间. 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. 8. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( ) A. f(x)的最大值为3 B. f(0)＝2 C. 若f(x)＝－1，则x＝2 D. f(x)在定义域上是减函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可． A：分别求x≤1和x＞1时f(x)的范围即可； B：代入f(x)＝x＋2计算即可； C：分类讨论f(x)＝－1时x取值即可； D：分别判断x≤1和x＞1时单调性即可. 【详解】当时，是增函数，则此时(1)， 当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确； ，故B正确； 当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误； 当时，是增函数，故D错误， 故选：AB． 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 集合的子集有个 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 的一个必要不充分条件是 【答案】CD 【解析】 【分析】求集合子集的个数用即可；适当运用乘法和换元法化简整理，利用基本不等式中的“一正二定三相等”进行最值判断； 结合充分必要条件的概念进行判断即可. 【详解】对于，集合的子集的个数为正确； 对于，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故正确； 对于：令，则，则函数化为， 设函数，其在上单调递增，故当时，取得最小值为， 因为，故错误； 对于：若，则，即是的充分条件，故错误. 故选：. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象求得，对A，利用诱导公式，可得，即可判断正误；对B，将点代入验证，即可求解；对C，利用图象平移变换，即可求解；对D，根据条件得平移后的图象为，再利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】由图易知，，得到，又，所以， 又由图知，图象过点，且点在的减区间内，则， 得到，所以，即， 对于A，因为，即，所以A错误， 对于B，因为，所以点是函数的图象的一个对称中心，故B正确， 对于C，因为函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，即，故C正确； 对于D，向右平移后的函数， 易知的定义域为，又， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【解析】 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 13. 已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 因为，又，所以，解得. 故答案为：4. 14. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】方程有两实数解等价于与直线有两个交点，画出图象即可求解 【详解】方程有两实数解等价于与直线有两个交点. 画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【小问1详解】 角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的最小正周期； （3）求的单调递增区间． 【答案】（1）列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示． （2）． （3）， 【解析】 【分析】（1）直接用“五点法”作出函数图像； （2）直接用周期的公式计算最小正周期； （3）根据正弦函数的单调区间来计算的单调区间 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，所以函数的最小正周期为 【小问3详解】 由， 因为的单调递增区间为，所以令， 解得，所以的单调递增区间为，． 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）在上是奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）按函数奇偶性的定义判断即可； （2）由对数函数单调性列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意的定义域为，它关于原点对称， 且， 所以在上是奇函数. 【小问2详解】 由题意，所以，解得， 即不等式的解集为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值. （2）试判断的单调性并证明. （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由列出等式，求解即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数的单调性和奇偶性，求解即可. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，故， ，即， 故，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，在上单调递增， 任取，且， 因为在上单调递增，故， 又， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数， 故， 由（2）知，在上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 故不等式的解集为 19. 已知函数. （1）证明； （2）若，求的值域； （3）若函数在上恰有个零点，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用降幂升角公式及辅助角公式得，再分别求出，即可求解； （2）根据条件得，再利用正弦型函数的性质，即可求解； （3）根据条件得，且，再结合条件，利用正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时， ， 当，即时，取到最大值，最大值为， 当，即时，取到最小值，最小值为， 所以的值域为. 【小问3详解】 由（1）知， 由，得， 因为函数在上恰有个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧江高级中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的值得（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. -1 4. 若，，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( ) A. f(x)的最大值为3 B. f(0)＝2 C. 若f(x)＝－1，则x＝2 D. f(x)在定义域上是减函数 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 集合的子集有个 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 的一个必要不充分条件是 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 13. 已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为___________ 14. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的最小正周期； （3）求的单调递增区间． 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）求不等式的解集. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值. （2）试判断的单调性并证明. （3）解关于的不等式. 19. 已知函数. （1）证明； （2）若，求的值域； （3）若函数在上恰有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $