广东惠州市第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

数学试题 本试题共4页，19小题。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求。 1.设集合A={(x,y)|x+y=1}, B={(x,y)|2x-y=-4}, 则A∩B等于 A.(x=-1,y=2) B.(-1,2) C.{-1,2} D. {(-1,2)} 2.已知i是虚数单位，则化简 的结果为 A.i B.-i C. - 1 D.1 3.一组样本数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程 的两根，这个样本的方差是 A.3 B.4 C.5 D.6 4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被y=x反射后的光线所在的直线方程为 A. y= B.y= C.y= D.y= 5.水升在古代多用来盛装粮食作物；是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为 50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 A. B. C. D. 6.在△ABC中, 角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若asinA+2csinC=2bsinCcosA, 则角A的最大值为 A. B. C. D. 7.已知a∈{0,1,2}; b∈(-1,1,3,5},则函数 在区间(1，+∞)上为增函数的概率是 B. C. D. 8.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F,G分别是AB,BC,CC1棱的中点,P是底面ABCD内一个动点，若直线D1P∥平面EFG，则线段BP 的最小值为 B.1 C D. 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.下列说法错误的是 A.“a= -1”是“直线 与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是 C.过 两点的所有直线的方程为 D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 10.已知 则下列说法正确的是 A. f(x)是奇函数 B.若 则 C.若 则 D.若方程 有两个不同的实数解，则 11.正方体 的棱长为2，点M为侧面 内的一个动点(含边界)，点P、Q分别是线段CC₁、BC的中点，则下列结论正确的是 A.存在点M ，使得二面角M-DC-P大小为 最大值为6 C.直线PM 与面. 所成角为时，则点M 的轨迹长度为 D.当 时，则三棱锥. 的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知l₁的斜率是2, l₂过点A(-1,-2),B(x,6),且 则 13.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量 为方向向量，则这条直线可以用方程 来表示.已知直线l的方程为 则 Q(2,4,-4)到l的距离为 . 学科网（北京）股份有限公司 14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若任意时，且 ， 恒成立。且 f(4)=12,则满足的实数m的取值范围为 ， 四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,向量 且 (1)求A； (2)若 求△ABC的面积。 16.(15分) 读书可以增长知识，开拓视野，修身养性.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 [0,2) 9 [2,4) 25 [4,6) 3 [6,8) 3 (1)由频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； (2)由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；(以各组的区间中点值代表该组的各个值) (3)从一周课外阅读时间为[4,6)的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率， 学科网（北京）股份有限公司 17.(15分) 图1是由Rt△ABC，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中 AC=BC=2, CD=DE=CG=GF=FB=1,将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC,CB折起使得 CD,CG重合,连接EF,如图2. (1)求图2中的点B到平面ACDE 的距离； (2)证明图2中的A,B,F,E 四点共面,并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 18.(17分) 如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内， (1)若AB过点 且M为线段AB的中点，求直线AB的方程； (2)若 求△OAB的面积取得最大值时直线AB的方程； (3)设|OA|=a, |OB|=b,若 求证：直线AB过一定点，并求出此定点的坐标. 19.(17分) 对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f(x)在[m，n]内是单调增函数; ②当定义域是[m,n]时, f(x)的值域是[2m,2n],则称[m,n]是该函数的“翻倍区间”. (1)证明: [1,2]是函数f(x)=2ˣ的一个“翻倍区间”; (2)判断函数 是否存在“翻倍区间”?若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由： (3)已知函数 有“翻倍区间”[m，n]，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $数学试题参考答案 一.单选题 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D C B C 二.多选题 题号 0 10 11 答案 ACD ACD BCD 三.填空题 3.v2 14.[-2,6] 2 【小题解析】 1D解：A=x+y,B=训2xy=-4,4nB=列(12》版 选D. 告++-，所以+A 2.c方法一：因为1-1a-0+02 =206==-1.故选C 1-i 方法二：（ 筒a 1013 =()oB=-1.故选c 3.C.解：x2-5x+4=0的两根为1,4，当a=1时，，3,5,7的平均数是4：当a=4时，，3,5,7的 平均数不是1，所以a=1,b=4,2=}×[0-4+3-4+6-4+(7-4]=5故选C 4.B.解：直线y=2x+1与y=x的交点为(-1，-1)，又直线y=2x+1与y轴的交点(0,1)被y=x反射后，经 过红0，所以反后的光线所在的直线方怎为号即y日益选人 5.A解：设正四棱台的下底面为ABCD,上底面为AB'CD,底面ABCD的中心与球O的球心重合， 取上底面的中心为O',过O作OM⊥AB于点M,过O作O'N⊥A'B'于点N,连接OO,MW, 则∠MO为侧面与底面所成二面角的平面角，连接AOA'O,AO,由0为球心，可得AO=A'O=50, O'0=40,A0=√502-40=30，由△AM0,△A'N0为等腰直角三角形，则M0=25√2，NO-15√2， 作HL0于点五，则2=M0-20=102,则m△M00222,即smM0=22故￥ 3 .故选A 6.A.解：因为asin A+2 csin C=2 bsin C cos A,由正弦定理可得，a2+2c2=2 bc cosA, 所以sA-2父0，由余弦定理可得a=b+c2-2bc0s4②，由0@可得2d-6-c2, 2bc 所以cos42F+c2-d6+C-6-0）B+3c2,因为+x2B3C2=2c,当且仅当hR 2bc 2bc 4bc 时取等号，所以0c=,又4EQ,,所以角A的摄大值为故选2 第1页，共8页 7A.解：：a∈{0,1,2}，b∈{-1,1,3,5}，样本空间样本点个数n(2)=3×4=12, 函数f(x)=ax2-2b.x在区间L,+o)上为增函数，由条件可知a>0, ①当a=0时，f(x)=-2bx,符合条件的只有：(0，-1)，即a=0,b=-1: ②当a>0时，需要满足<1，符合条件的有：4，-1)，1,1)，(2，-1)，(2,1)，共4种。 ·函数f()=ax2-2bx在区间Q,+o)上为增函数的概率是P= 故选A 12 8.C解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1分别为x,y,x轴，建立空间直角坐标系， D0=1,4B=B,D@.0D,2090,3.0,G05,B0,店 设P(m,n,0),平面EFG的法向量为a=(x,y,=), 则 a:(号50a- 20 ca-(9影-19+-0 2 ”2 令y=1得x=√5，z=√5，故a=(3,l,V3),由DP.a=m,n,-1)(3,1,V5)=√3m+n-√3=0， 则n=√5-√m,考虑x0y平面内，由两点间距离公式得 ar件mra-na-4a, 当阳-时，取得最小值，最小值为5故选C 9.ACD.解：A.当a=0,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线垂直，故A错误； B直线的斜率k=-sin&,则-1Kk1,即-1Ktan(0为直线倾斜角)，则8∈[D,孕u)故B正确： C当x=x,或乃=y时直线方程为x=x1,或y=y,此时直线方程不成立，故C错误： D.若直线过原点，则直线方程为y=x,此时也满足条件，故D错误.故选ACD. 2 10.ACD解：对于A,由题意可知f)的定义域为，又因为f()=1+2-1= 2.2 42-1, 所议+f2十1上0，所以八9/，所以/©是奇函数，故正旺确 对于，易知y之在及上单调莲减，所以)十-1在R上单调递减， 所以当x1<x2时，则f(x)>f(6),故B错误： 对于C,由A,B可知函数y=f(x)为R上的奇函数，且单调递减， 所以当1+x2<0,即x1<-x2时，则有f()>f(-x2)=-f(x2),所以f(:)+f(x2)>0,故C正确： 第2页，共8页 对于0由0闭+上，可得子非0， 「21 x<l0g23 由题意可得直线y=m与函数y,2- .1+2x2 1+2x2 的图象有两个交点， 12 (21+2,>log3 因为1+2>1，所以0<7十252，所以当b,9时， y 12 y= 21+2 x∈[0，) 2 作出通数y一子，片的图象，知图所示：由此可得 me(0,2, log23 故D正确. 21 故选：ACD 11.BCD.解：因为P是线段CC的中点，所以平面PDC,即为平面CDD,C1, M 因为CD⊥平面ADDA,故MD⊥CD,又DD⊥CD,平面MDCn平面PDC=DCM 故二面角M-D心-P的平面角为∠WD4,共范围为[0，孕，故A错误 M 如图以D为原点，DA,DC,DD所在直线为x轴、y轴、z轴， D 则P(0,2,1),B(2,2,2), C 设M(a,0,b),0≤a≤2,0≤b≤2， B P 则 M D MB·MP=(2-a,2,2-b)-(-4,2,1-b)=a2-2m+b2-3b+6 A =a-1+6+4,0sa≤20≤b≤2， 所以当a=0或2，b=0时，MB.M亚最大值为6，故B正确； D 如图，取DD,中点E,连接PE,ME,PM, 则PE⊥平面AAD,D,PE⊥MB, 所以直线PM与面AADD所成角为∠PWE=牙，则MB=PB=2, 则点M在侧面AAD,D内运动轨迹在以E为圆心、以2为半径的圆上， 设该圆分别交AD,AD于M,M1,如图， 故点M在侧面AAD,D内运动轨迹是劣弧MM 第3页，共8页 则∠2MB=M,BD-管 则∠，4=，则劣弧M的长为行×2=行，故C正确 取AD的中点H,连接AH,HQ,BQ, 在正方形BCC1B中，因为点P、Q分别是线段CC、BC的中点， 易得BO⊥BP,又4B⊥BP,所以BP⊥平面ABOH, 因为点M为侧面ADD,A内的一个动点（含边界），且MB,⊥BP, 侧面AADD⌒平面ABOH=AH, D 9 所以点M的轨迹为线段AH,易知AH∥B,2, M 所以AH∥平面AQB,所以点M到平面AQB,距离为定值， 又△AQB为定值，所以三棱锥M-AQB的体积为定值，即三棱锥 D B1-AMQ的体积为定值，所以D正确. Q 故选BCD. 2解：因为4，所以子=2，解得x=3所以3号 13.解：由题意，得1的一个方向向量为m=(2,1,-1),且经过点P(-1,0,1),则P0=(3,4,-5). 所以1P02=32+42+52=50,P0m=6+4+5=15,|m=V6. 点0省的随离为d-0-亭0-高兰横5的 14解：由)f5+5,得)f)任-+0， x-x X1-3 x-x 即)]-[)]0，因为X>,所以-无>0，所以)->1s)后 一2 令g(x)=∫(x)-x,则g(x)-g(x)>0,故g(x)=f(x)-x2在[0，+o)上单调递增.因为f(x)是定义 在R上的偶函数，所以g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数.因 为f4)=g(4)+42=g(4)+16=12,所以8(4)=-4.又因为f(m-2)=8(m-2)+(m-2)2,所以 f(m-2)≤m2-4m可化为g(m-2）+(-2)2≤m2-4,化简得g(m-2)≤-4=8(4)，即g(-2)≤g(4,所 以|-2引≤4，即4≤m-2≤4，解得-2≤m≤6，所以实数m的取值范围为[-2,6]. 四、解答题 第4页，共8页 15.解：)m.i=2(b+c)→V3 asinC+acosC=b+c …2分 由正弦定理得，√3 sin AsinC+sin AcosC=sinB+sinC， …4分 化简得√3 sin AsinC+sin AcosC=sin AcosC+cos AsinC+sinC, 即√3 sin AsinC=sinC(cosA+1),'Ce(0,π)，∴.sinC≠0，.√5sinA-cosA=l, 即2a(4-7-1, …6分 又4e0,刀，A石e刀巧，故A石石，即4孕7分 6’6 (2BM=2c→m-AB=2ac-A0,÷AM=}AB+2AC, 2 3 3 …9分 1-丽+a©-西+ac+ac, 又AB=c=2√3，AC=b,AM=2,即|AM=2,… …11分 4-日×+号b25co写+6-6=0，b=5或b-25(合， …12分 9 4-35 故SABc=bcsin A= …13分 2 16.解：(1)由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3 1 股女生一周圆读时间的75%分位数为u,则2+2+a-4,解得a6 24 4 8 3 …4分 (②由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数元-1×9+3×25+5×3+7×3-3 …6分 40 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 呢2x112x3收2x5&2X7Euw四 …8分 4 8 12 所以估计总样本的平均数：-3×40+4x60=36 …9分 100 (3)由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为[4,6)的学生中男生有3人， 女生有×2×60=15（人） …11分 8 若按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为b,b,b,b4,b,则样本空间 2={ab,ab3,ab3,ab4,ab,bb2,bb3,b,b4,b,b5,bb,bb4,bb,bb4,bb,bb},共有15个样本点.…13分 记事件A=“恰好一男一女”，则A={ab,ab2,ab,ab4,ab},共有5个样本点， 51 故所求概率P(A)== …15分 153 17.解：(1)由题意可知，图2中AC⊥CD,AC⊥CB, 又CDCB=C,CDC平面BCDF,CBC平面BCDF,所以AC⊥平面BCDF, 在平面BCDF内，过D作DH⊥CB于点H,则AC⊥DH, 第5页，共8页 又ACn CB=C,ACC平面ABC,CBC平面ABC,所以DH⊥平面ABC, 以C为原点，以CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为：轴， 建立如图空间直角坐标系， D(G) 由题意可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), 4 B A8=（-2,2,0) ，…2分 2a=0 CA=0 设平面ACDE的法向量为i=(a,b,c),则 m:C0=0得b+5。 …4分 令b=5,则a=0,c=-1,所以m=(0,√3，-1)为平面ACDE的一个法向量，…5分 AB· 2W5 所以点B到平面ACDE的距离为网 5+1 =5，即点B到平面ACDE的距离为3.…7分 (2)因为AB=AC+CB=2ED+2DF=2EF,所以图2中的A,B,F,E四点共面，…9分 由0知4-(220，c-(20,-09 所以 4正-4c-cDoi-4c+D-19 [-2x+2y=0 iAB=0 设平面ABFE的法向量为=(x,y,),则 〔-运=0得-xt大V3 -x+ 22s0 …11分 令x=5,则y=V5,三=1，所以i=(5,W5,)为平面ABFE的一个法向量，…12分 又m=(0,√3，-1)是平面ACDE的一个法向量， 所以cos<mii:测 2 7 ml V(W3)2+1×V(3)2+(V3)2+1 79 …14分 即平面ABE与平面4CDE夹角的余弦值为V …15分 7 18.解：(1)易知直线OB的方程为y=√3x,设A(m,0),B,V3m),,n>0, m+n=8 则 V3n+0=23' …2分 第6页，共8页 m=6 解得u-2所以4(6.0)，B(2,2⑤… …3分 故直线4B的方程为：y=5(:-6,即y=5x 2x+35. …5分 2 2 (2)设A(m,0),B,V3m,m,n>0. 由AB=6,得(0-m)2+32=36,即m2+42-2m=36. …7分 :36=m2+4n2-2n≥2V4m2n2-2n=2wm,.wnQ8，当且仅当m=6,n=3时取等号。 所以△OAB的面积S=mV3n三mn<9③，……9分 当△OAB的面积取最大值时，直线AB的方程为：y=-√3(x-6),即y=-V3x+6√5.…11分 (3)设AB的方程为x=+p(p>0).令y=0得x=P,即A(P,0): 令y=√5x得 p,即B,VEp】 1-V3k 1-√3k'1-√3k” -1-3 因为点B在第一象限内，所以1-V5k>0,a=P,b=,2 1-√3’ …13分 由卫+13得：上+2=2，即卫=V5-k, …15分 a b 2 p 2p AB的方程为x=+(N5-),即x=k(y-)+V5,直线AB恒过定点(5， …17分 19.(1)证明：由函数f(x)=2在1,2]上单调增函数知，f(x)的值域为[2,4]， 故[1,2]是函数f(x)=2的一个“翻倍区间”：…4分 (2)假设g(x)存在一个“翻倍区间”[m,n], 由函数8()是R上的单调增函数，有3=m=2m, …6分 80)=23=2n, 解得=-√2,0，√2，n=-√2,0，√2，…8分 由<n知所有“翻倍区间”为[-√2,0]，[-√2，√2]，[0，√2]： …10分 (3)由函数h(x)有“翻倍区间”[m,n]知，(x)为[，n]上的单调增函数， 而Mx)=3x-1_3r+0-3a-1-3+-3a-1, x+a x+a x+a 1 3, 可得-3a-1<0,解得a> …12分 第7页，共8页 h(m) 3u-1=2m, 由②知 n+a 可得m,n是方程3x-1=2x的两个根，…14分 h0=3n-1-2n x+a n+a 等价于方程3x-L=2x在(，一d)上有两个不等实根或者在（←4，+）上有两个不等实根， x+a 即方程2x2+(2a-3)x+1=0在（-0，-a)上有两个不等实根或者在（-a,+∞)上有两个不等实根， △=(2a-3)2-8>0 则有 3气减29a,解得分a 4 -<a<2或a>+,…16分 2 2 2(-a2+(2a-3)×(-+1>0 综上，故实数的取值范围为(32)U代+2，+……17分 第8页，共8页