精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025—2026学年度上学期九年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 赤道长约为40000000m，用科学记数法可以把数字40000000表示为（ ） A. 4×107 B. 40×106 C. 400×105 D. 4000×103 4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的最小值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 7. 如图，每幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第6幅图中有（ ）个菱形． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 8. 如图，，与相交于点，且，，，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点G，则的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 13. 一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为_____________． 14. 不等式组的解集是_____． 15. 一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是_____度． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为_______． 17. 对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为______． 18. 在△ABC中，AB=12 ， AC=13，cos∠B= ， 则BC边长为________ ． 19. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为_____． 20. 如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为_____． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 图1、2是两张形状和大小完全相同方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8，并直接写出此时的值． 23. 为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查学生人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 24. 如图1，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外) 25. 某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额为96万元：本周售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． (1)求每辆车型车和型车的售价各多少万元? (2)甲公司拟向该商店购买、两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进型车多少辆? 26. 已知：的直径交弦于点，其中点为的中点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点，其中，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，且，连接，，若，，求线段的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，作直线． （1）如图1，求值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）条件下，点在线段上，连接、，且，过点作的垂线交于点，过点作交于点，其中．点是上的一个动点，连接，，当与的和最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 3. 赤道长约为40000000m，用科学记数法可以把数字40000000表示为（ ） A. 4×107 B. 40×106 C. 400×105 D. 4000×103 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法“把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数，即a大于或等于1且小于10，n是正整数)”进行解答即可得． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法表示形式中a与n的确定． 4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体特征是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解． 【详解】解：由题可知该几何体的主视图为 故选：B． 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，通过交叉相乘化为整式方程并求解，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】解： ， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为； 故选：B． 6. 二次函数的最小值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，由题知二次函数已为顶点式，直接由顶点坐标可得最小值． 【详解】∵ 二次函数为顶点式， 其中，，， ∴ 当时，函数取得最小值． 故选：D． 7. 如图，每幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第6幅图中有（ ）个菱形． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律类，找到规律是解题的关键． 先根据前3幅图中菱形的个数总结出规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第1幅图中有1个菱形，， 第2幅图中有3个菱形，， 第3幅图中有5个菱形，， …… ∴第幅图中有个菱形， ∴第6幅图中为： ． 故选：B． 8. 如图，，与相交于点，且，，，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点G，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 10. 如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 即的面积的最小值为4． 故④错误； 正确的项为②③，共两个， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件这一知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，分母不为0列出不等式求解． 【详解】在函数中，因为分式分母不能为0， 所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为_____________． 【答案】#0.5 【解析】 【分析】红球的个数除以总数，即为摸出红球的概率． 【详解】球的总数为： 红球个数为： ∴从中任意摸出一个球是红球的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率问题，解题的关键是，是满足要求的结果，是所有可能的结果总数． 14. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解每个不等式，再找出解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以原不等式组的解集为． 故答案为：． 15. 一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是_____度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积以及圆心角问题．设扇形的圆心角为度，根据扇形面积公式 列出方程求解． 【详解】解：由扇形面积公式得， 化简得， 两边同时除以得，即， 解得． 故答案为：120． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】设， 把(8，6)代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 17. 对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了新定义，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：5． 18. 在△ABC中，AB=12 ， AC=13，cos∠B= ， 则BC边长为________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可以画出符号条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题． 【详解】作AD⊥BC于点D，如图所示， ∵cos∠B=，AB=12， ∴AD=BD=12， ∵AC1=AC2=13， ∴C1D=5，C2D=5， ∴BC1=BD-C1D=12-5=7， BC2=BD+C2D=12+5=17， 故答案为7或17． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答． 19. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用两点间距离公式计算的长． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，所以点的坐标为， 当时，，解得：，所以点的坐标为， 点与点之间的距离公式为． 故答案为：． 20. 如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为_____． 【答案】/ 【解析】 【分析】根据所给函数图象上关键点判断出此时点的位置，进而求得此时的高，然后根据三角形相似可得的长；易得当点在上时，有最大值，分别表示出此时的长和边上的高，进而得到用表示的，根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 22. 图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8，并直接写出此时的值． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，角的正切值，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键． （1）由题可知，点B满足、这两个条件，说明点B在的垂直平分线上，说明点B在以为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求； （2）由题可知，点D满足，故可以C为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求，取格点E，连接，进而即可求出． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B，如图1， 【小问2详解】 解：以C为圆心，为半径作圆，格点即为点D，取格点E，连接，如图2， 由作图可得，， ∴． 23. 为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查的学生人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】（1）200人 （2）见解析 （3）560人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想． （1）根据条形统计图和扇形统计图可知选择劳技的学生60人，占总体的，从而可以求得调查学生人数； （2）用总人数减去选择其他课程的人数即可求得文学的有多少人，进而可以将条形统计图补充完整； （3）根据调查的选择体育的学生所占的百分比可以估算出全校选择体育类的学生人数． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次被调查的学生有200人； 【小问2详解】 解：选择文学的学生有：（人）， 补全的条形统计图如下图所示， 【小问3详解】 解：（人）． 即全校选择体育类的学生约有560人． 24. 如图1，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外) 【答案】（1）见解析；（2）▱GBCH、▱ABFE、▱EFCD、▱EGFH 【解析】 【分析】（1）根据ABCD为平行四边形得出，则∠EAO=∠FCO，根据OA=OC，∠AOE=∠COF得出△OAE和△OCF全等，从而得出OE=OF，同理得出OG=OH，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质得出面积相等的四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴∠EAO=∠FCO． 又∵OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)， ∴OE=OF． 同理可证OG=OH， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）如图，过点O作BC的垂线交BC于点N，交AD于点M． ∵， ∴． 又∵，OF=OE， ∴， ∴，即说明点O到AB和BC的距离相等． 由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形AGHD、四边形GBCH、四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形． 由（1）可知四边形EGFH为平行四边形． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 综上可知，▱GBCH、▱ABFE、▱EFCD、▱EGFH与四边形AGHD面积相等． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 25. 某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额为96万元：本周售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． (1)求每辆车型车和型车的售价各多少万元? (2)甲公司拟向该商店购买、两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进型车多少辆? 【答案】(1) 每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元；(2)至少购进A型车2辆． 【解析】 【分析】（1）设每辆型车的售价为x万元，每辆型车的售价为y万元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论； （2）设购进型车a辆，则购进型车（6-a）辆，根据题意列出一元一次不等式即可求出结论． 【详解】解：（1）设每辆型车的售价为x万元，每辆型车的售价为y万元 由题意可得 解得： 答：每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元 （2）设购进型车a辆，则购进型车（6-a）辆， 由题意可得18a＋26（6-a）≤140 解得：a≥2 ∴a的最小值为2 答：至少购进型车2辆． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 26. 已知：的直径交弦于点，其中点为的中点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点，其中，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，且，连接，，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，，根据圆周角定理可得，进而得到； （2）作直径，连接，在中，，得到，再在中，根据即可证明； （3）连接，，过点作于点，令，得到，在，理由勾股定理求得，再解三角形求的长即可． 【小问1详解】 如图，连接，． 点为弧的中点， 弧弧， ， 又， ； 小问2详解】 如图，作直径，连接， ，， 在中，， ， ， 是直径， ， 在中，， ， 【小问3详解】 如图，连接，，过点作于点． 弧弧弧， ，弧弧， ，， 令，则， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， 解得，（舍）， ，，，， 弧弧， ， ，， ，， ，， ， ． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，作直线． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，且，过点作的垂线交于点，过点作交于点，其中．点是上的一个动点，连接，，当与的和最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令当时，当时，求出，，，由正切函数的定义求解即可； （2）过点作于点，，由正切函数得，，即可求解； （3）过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，．令，则，，由勾股定理得，由正切函数得， ，，，当为与的交点时，与的和最小，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， 解得，， ，， ，， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 点在抛物线上，点的横坐标为， ， ， 在中， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，． 令，则，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，， 四边形是平行四边形，， ， ，， ， ， 又， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， ， 解得， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 垂直平分， ，， ， ， 当为与的交点时，与的和最小， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ， 同理可求直线的解析式为， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，正切函数，解直角三角形的相关计算等；能熟练解直角三角形的相关计算，并找出取得最小值的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $