精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2024-2025学年九年级上学期数学期末试卷

2024-2025学年度上学期九年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 哈尔滨市曾于1996年举办了第三届亚洲冬季运动会，这也是中国内地第一次举办洲际冬季综合运动会，数字1996的倒数是（ ） A. B. C. 1995 D. 1997 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，互为倒数的两个数的乘积为1，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴数字1996的倒数是， 故选：B 2. 2025年第九届亚冬会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中“亚洲同心”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义判断即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．可判断“亚”为轴对称图形， 故选：A． 3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案． 【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下： 故选：A 【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可． 【详解】解： 3=x-2 x=5 经检验x=5是分式方程的解 所以该分式方程的解为x=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点． 6. 抛物线与轴的公共点个数为（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．求出当时，的值，由此即可得． 【详解】解：对于二次函数， 当时，，解得， 所以抛物线与轴的公共点个数为1个， 故选：B． 7. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解． 【详解】解：通过观察可得到 第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2， 第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2， 第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2， …… ∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20， 故选：C． 【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 8. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 9. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的自变量，根据分式的分母不等于0求解即可． 【详解】解：在函数中，由得， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 12. 多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“提公因式法和公式法的因式分解综合”，熟悉因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再对余下的部分应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】原式==， 故答案为：． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为 故答案为： 14. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式直接进行计算即可得解． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种， ∴摸出的小球是红球的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 15. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 16. 如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°， ∵∠ADC＝25°， ∴∠AOB＝2∠ADC＝50°， ∴∠ABO＝90°−50°＝40°． 故答案为40°． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 17. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，根据题意得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 19. 在中，，点在直线上，且，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与勾股定理的计算是解题的关键，由于点在直线上，故分两种情况：①当点在的延长线上；②当点在的延长线上，分别利用勾股定理计算即可得到线段的长度． 【详解】解：∵点在直线上， ∴①当点在的延长线上时，如图： ∵中，， ∴， 过点作， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②当点在的延长线上时，如图： ∵中，， ∴， 过点作， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述：线段的长为， 故答案为：． 20. 一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为4； ③的最小值为； ④当到的距离达到最大值时，． 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，那么当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确；连接，在中，由勾股定理得，而，故，那么的最小值为．故③正确；在中，，，那么当点在右侧圆上时，随着的增大而增大，可得，故当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，此时，故②正确；当时，到的距离达到最大值， 此时四边形为矩形，则，即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； 在中，，， ∴当点在右侧圆上时，随着的增大而增大， ∵， ∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合， ∴此时，故②正确； 当时，到的距离达到最大值，如图： 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识点，综合运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 22. 如图，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个有一条边长为，面积为8的平行四边形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为10的矩形，并直接写出这个矩形的周长．周长＝_______________． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点与勾股定理以及平行四边形的性质，画一个有一条边长为，面积为8的平行四边形即可求解； （2）根据勾股定理与网格特点，矩形的性质，画出边长分别为的矩形即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，， 平行四边形的面积为； 【小问2详解】 解：如图所示， ，， ∴ ∴是直角三角形，且， 同理可得，面积为 ∴四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）已知该校有1800名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 【答案】（1）60人 （2）图见解析 （3）估计全校最喜爱文学类图书的学生有720人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用最喜爱科普类图书的学生的人数除以其所占的百分比即可得； （2）利用被调查的学生人数减去其他三个类别的学生人数可得最喜爱艺体类图书的学生人数，据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校学生总人数乘以最喜爱文学类图书的学生的人数所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：（人）， 答：被调查的学生人数为60人． 【小问2详解】 解：最喜爱艺体类图书的学生的人数为（人）， 则补全条形统计图如下： ． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最喜爱文学类图书的学生有720人． 24. 已知：在中，，于点，平分交于点，交于点，于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点为的中点，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的四条线段． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）先证明，再分别证明即可． 【小问1详解】 证明：,， ， ， 平分， ， 又,， ， , ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形； 【小问2详解】 解：,,,. ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是长倍的所有线段有,,,． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握特殊三角形边角关系． 25. 亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 【答案】（1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元 （2）最多采购大型纪念品20套 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解； （2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解； 【小问1详解】 设采购每套小型纪念品的价钱分别为元． 根据题意得． 解得． ． 答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元． 【小问2详解】 设采购大型纪念品能套． 根据题意得． 解得． 答：最多采购大型纪念品20套． 26. 已知：为的直径，内接于，且． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接，延长至点，连接，使得，，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设 ，根据题意，得，，即可求出结果． （2）设 ，根据题意，得，结合三角形内角和 得到 得出，即可求出； （3）连接，，，延长交于点，过点作于点．推出和为等边三角形，证出，再由勾股定理得到，得到，再结合锐角三角函数的定义求出，得到，再根据即可求出． 本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义，等边三角形，全等三角形的性质，圆周角定理等知识． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 设 ． 为直径 ． 平分． 【小问2详解】 如图2， ， ． 【小问3详解】 如图3， 连接，，，延长交于点，过点作于点． ， 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ， 为的中位线 在中， 在中，， 在中， 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点是的中点，连接、，过点作交于点，延长至点，使得，连接，取的中点，连接，若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、全等三角形的判定与性质、正切的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接将代入求解即可； （2）先求得，如图：过点作于点，易得，由正切的定义可得，进而求得，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）如图：连接、，作于点，于点，延长至点，使，连接；易求得，再求出可得，进而证明为等边三角形可得、、，再证明可得、，然后证明可得；由正切的定义和勾股定理可证明四边形为平行四边形可得、、，进一步得到，最后结合（2）求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于 ． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，即， 如图：过点作于点， 点在抛物线上，点的横坐标为， 在中，， 在中，， ． 【小问3详解】 解：如图：连接、，作于点，于点，延长至点，使，连接． 当时，，解得：，， ， 在中，， ， ，， ， 为等边三角形， ，，， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ，即：， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ，， 设，则，， 在中，， 在中， ， ，解得：，（舍）， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 由（2）得：， ， ， ， ， ， 轴， ，， ， 由（2）得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 哈尔滨市曾于1996年举办了第三届亚洲冬季运动会，这也是中国内地第一次举办洲际冬季综合运动会，数字1996的倒数是（ ） A. B. C. 1995 D. 1997 2. 2025年第九届亚冬会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中“亚洲同心”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的公共点个数为（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 8. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 9. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 多项式分解因式的结果是______． 13. 不等式组的解集是______． 14. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______； 15. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 16. 如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为________． 17. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 19. 在中，，点在直线上，且，则线段的长是______． 20. 一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为4； ③的最小值为； ④当到的距离达到最大值时，． 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是_______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个有一条边长为，面积为8的平行四边形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为10的矩形，并直接写出这个矩形的周长．周长＝_______________． 23. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）已知该校有1800名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 24. 已知：在中，，于点，平分交于点，交于点，于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点为的中点，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的四条线段． 25. 亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 26. 已知：为的直径，内接于，且． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接，延长至点，连接，使得，，若，，求线段的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点是的中点，连接、，过点作交于点，延长至点，使得，连接，取的中点，连接，若，的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $