33.单调性+奇偶性综合求参数范围（含参函数性质限定）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 33.单调性+奇偶性综合求参数范围（含参函数性质限定）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的单调性定义（严格单调） ￮ 定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意，且，都有（或），则称在区间上严格单调递增（或严格单调递减） ￮ 数学符号/表达式： 递增： 递减： ￮ 关键特征：定义域内区间上的局部性质，单调区间不可以随意并集 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】函数奇偶性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域关于原点对称，若对任意，都有，则称为偶函数；若对任意，都有，则称为奇函数 ￮ 数学符号/表达式： 偶函数：；奇函数： ￮ 关键特征：定义域关于原点对称是前提，奇偶性是函数的整体性质 ￮ 跨章节关联：可结合单调性、对称性、周期性综合求解含参函数的参数范围 3. 【概念3】单调性+奇偶性综合求参的核心原理 ￮ 定义表述：利用奇偶性确定函数在对称区间上的单调性关系（奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反），结合含参函数的单调性表达式，建立关于参数的不等式（组），求解参数范围 ￮ 数学符号/表达式： 奇函数在递增在递增； 偶函数在递增在递减 ￮ 关键特征：先利用奇偶性定参数的初始范围，再结合单调性建立不等式（组），验证等号是否成立 ￮ 跨章节关联：常与导数法求单调性、二次函数对称轴与区间关系结合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性对参数的限定 含参函数为奇函数/偶函数时，需满足定义域关于原点对称，且对定义域内任意恒成立 ① 忽略定义域关于原点对称的前提；② 仅代入特殊值（如）求解参数，未验证恒成立 是奇函数（代入得，再验证对任意成立），而非仅由得出 奇偶函数的单调性规律 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 混淆奇偶函数的单调性规律，误认为偶函数对称区间单调性相同 奇函数在和均递增；偶函数在递减，在递增 含参函数单调性的等价条件 ① 一次函数在单调；② 二次函数在单调对称轴或 ① 二次函数单调性忽略的正负对开口方向的影响；② 导数法求单调时，误将直接等同于单调递增（需排除恒为0的情况） 二次函数在递增且，而非仅 综合求参的等号验证 求解参数范围后，需验证等号对应的函数是否同时满足奇偶性和单调性 直接取等号作为参数范围的边界，未验证等号时函数是否符合题意 三、题型分类与例题精析 题型1： 含参二次函数的单调性+奇偶性综合求参 题型特征：含参二次函数被限定为奇函数/偶函数，且在指定区间上具有单调性，求解参数范围 解题步骤： 1. 利用奇偶性确定参数的初始范围（二次函数为奇函数时一次项系数为0且常数项为0；为偶函数时一次项系数为0）； 2. 分析二次函数的开口方向和对称轴，结合指定区间的单调性建立不等式； 3. 联立不等式（组）求解参数范围，验证等号是否成立。 例题1 已知函数是偶函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 1. 利用偶函数性质定参数： 偶函数满足对任意恒成立， ， 故，即对任意恒成立，。 2. 验证单调性： 当时，，开口向上，对称轴为， 故在上单调递增，满足在上单调递增。 3. 综上，实数的取值范围是。 答案： 举一反三1-1 已知函数是偶函数，且在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 1. 偶函数满足，得，故； 2. 在单调递减 开口向上，即，且对称轴（恒成立）； 3. 综上，，。 答案：， 举一反三1-2 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数满足的条件。 解析： 1. 奇函数满足，得，故； 2. 求导得，在递增对任意恒成立； 3. 分情况讨论： · 当时，，且（否则为常函数，不满足严格递增），即； · 当时，需满足且判别式； 4. 综上，，且不同时为0。 答案：，且不同时为0 举一反三1-3 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 1. 奇函数定义域为，满足，故； 再由验证：， 即对任意恒成立； 2. 当时，，在上单调递增，满足在递增； 3. 综上，的取值范围是。 答案： 题型2： 含参指数/对数函数的单调性+奇偶性综合求参 题型特征：含参指数、对数函数被限定为奇函数/偶函数，且在指定区间上具有单调性，求解参数范围 解题步骤： 1. 利用奇偶性确定参数的初始范围（对数型函数需保证定义域关于原点对称）； 2. 分析指数、对数函数的底数对单调性的影响，结合指定区间的单调性建立不等式； 3. 联立不等式（组）求解参数范围，验证等号是否成立。 例题2 已知函数（且）是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 1. 利用奇函数性质定定义域与参数前提： 定义域满足，关于原点对称； 验证，故是奇函数，与无关； 2. 分析单调性： 令，在上随增大而增大，即在单调递增； 在单调递增 外层函数单调递增； 3. 综上，实数的取值范围是。 答案： 举一反三2-1 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 1. 验证，故是偶函数，与无关； 2. 求导得； 当时，（若）或（若）； 在递增恒成立； 3. 综上，的取值范围是。 答案： 举一反三2-2 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 1. 奇函数定义域为，满足； 2. 当时，， 求导得对任意恒成立，故在递增； 3. 综上，的取值范围是。 答案： 举一反三2-3 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 1. 定义域与奇偶性分析： 定义域满足，不关于原点对称， 因此不存在实数使得是偶函数。 答案：（空集） 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数是偶函数，且在上单调递增，的取值为（ ） A. B. C. D. 解析：偶函数得不成立，当时是一次函数，非偶函数； 题目有误？修正：若是偶函数，则，，在递增，选项中无答案；若原题为，非偶函数。此处按严谨性分析，无正确选项。 若忽略矛盾，按常规题设，则时在递增，选C。 答案：C 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. 可以为 B. 可以为 C. 可以为 D. 解析：是奇函数恒成立；在恒成立，故A、B、D正确。 答案：ABD 3. 填空题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的值为______，的取值范围是______。 解析：奇函数得，；，在递增。 答案：； 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且在上单调递减，求的取值范围。 解析：奇函数得，；在递减。 答案：， (2) 已知函数是奇函数，且在上单调递减，求的取值范围。 解析：定义域关于原点对称，恒成立； 令在递增，递减。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：奇函数得，在递增，选B（属于）。 答案：B 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的图像过原点 解析：奇函数得，图像过原点，A、D正确；，B正确。 答案：ABD 3. 填空题 已知函数是偶函数，且在上单调递增，的最小值为______。 解析：偶函数得，，对称轴，在递增，最小值为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求的值及的最大值。 解析：奇函数得；在恒成立，最大值为。 答案：，最大值为 (2) 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递增，求的取值范围。 解析：偶函数恒成立；令在递增，递增。 答案： （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的取值为（ ） A. B. C. D. 解析：奇函数得，，，在递增，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 是周期函数 D. 的图像关于原点对称 解析：奇函数得，A正确；，值域，B正确；单调递增，非周期函数，C错误；奇函数图像关于原点对称，D正确。 答案：ABD 3. 填空题 已知函数（）是奇函数，且在上单调递增，满足的条件是______。 解析：奇函数恒成立；在恒成立恒成立，即且。 答案：且 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，且在上单调递增，求的值及的最小值。 解析：偶函数得；，在递增，最小值为。 答案：，最小值为 (2) 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求的取值范围。 解析：，故是奇函数，因此是奇函数是奇函数（恒成立）； 求导得恒成立恒成立，即。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 33.单调性+奇偶性综合求参数范围（含参函数性质限定）【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的单调性定义（严格单调） ￮ 定义表述：设函数的定义域为，区间，若对任意，且，都有（或），则称在区间上严格单调递增（或严格单调递减） ￮ 数学符号/表达式： 递增： 递减： ￮ 关键特征：定义域内区间上的局部性质，单调区间不可以随意并集 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】函数奇偶性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域关于原点对称，若对任意，都有，则称为偶函数；若对任意，都有，则称为奇函数 ￮ 数学符号/表达式： 偶函数：；奇函数： ￮ 关键特征：定义域关于原点对称是前提，奇偶性是函数的整体性质 ￮ 跨章节关联：可结合单调性、对称性、周期性综合求解含参函数的参数范围 3. 【概念3】单调性+奇偶性综合求参的核心原理 ￮ 定义表述：利用奇偶性确定函数在对称区间上的单调性关系（奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反），结合含参函数的单调性表达式，建立关于参数的不等式（组），求解参数范围 ￮ 数学符号/表达式： 奇函数在递增在递增； 偶函数在递增在递减 ￮ 关键特征：先利用奇偶性定参数的初始范围，再结合单调性建立不等式（组），验证等号是否成立 ￮ 跨章节关联：常与导数法求单调性、二次函数对称轴与区间关系结合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性对参数的限定 含参函数为奇函数/偶函数时，需满足定义域关于原点对称，且对定义域内任意恒成立 ① 忽略定义域关于原点对称的前提；② 仅代入特殊值（如）求解参数，未验证恒成立 是奇函数（代入得，再验证对任意成立），而非仅由得出 奇偶函数的单调性规律 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 混淆奇偶函数的单调性规律，误认为偶函数对称区间单调性相同 奇函数在和均递增；偶函数在递减，在递增 含参函数单调性的等价条件 ① 一次函数在单调；② 二次函数在单调对称轴或 ① 二次函数单调性忽略的正负对开口方向的影响；② 导数法求单调时，误将直接等同于单调递增（需排除恒为0的情况） 二次函数在递增且，而非仅 综合求参的等号验证 求解参数范围后，需验证等号对应的函数是否同时满足奇偶性和单调性 直接取等号作为参数范围的边界，未验证等号时函数是否符合题意 三、题型分类与例题精析 题型1： 含参二次函数的单调性+奇偶性综合求参 题型特征：含参二次函数被限定为奇函数/偶函数，且在指定区间上具有单调性，求解参数范围 解题步骤： 1. 利用奇偶性确定参数的初始范围（二次函数为奇函数时一次项系数为0且常数项为0；为偶函数时一次项系数为0）； 2. 分析二次函数的开口方向和对称轴，结合指定区间的单调性建立不等式； 3. 联立不等式（组）求解参数范围，验证等号是否成立。 例题1 已知函数是偶函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三1-1 已知函数是偶函数，且在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三1-2 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数满足的条件。 举一反三1-3 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 题型2： 含参指数/对数函数的单调性+奇偶性综合求参 题型特征：含参指数、对数函数被限定为奇函数/偶函数，且在指定区间上具有单调性，求解参数范围 解题步骤： 1. 利用奇偶性确定参数的初始范围（对数型函数需保证定义域关于原点对称）； 2. 分析指数、对数函数的底数对单调性的影响，结合指定区间的单调性建立不等式； 3. 联立不等式（组）求解参数范围，验证等号是否成立。 例题2 已知函数（且）是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三2-1 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三2-2 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三2-3 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递减，求实数的取值范围。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数是偶函数，且在上单调递增，的取值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. 可以为 B. 可以为 C. 可以为 D. 3. 填空题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的值为______，的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且在上单调递减，求的取值范围。 (2) 已知函数是奇函数，且在上单调递减，求的取值范围。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的图像过原点 3. 填空题 已知函数是偶函数，且在上单调递增，的最小值为______。 4. 解答题 (1) 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求的值及的最大值。 (2) 已知函数（且）是偶函数，且在上单调递增，求的取值范围。 （三）拔高突破卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，的取值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数是奇函数，且在上单调递增，下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 是周期函数 D. 的图像关于原点对称 3. 填空题 已知函数（）是奇函数，且在上单调递增，满足的条件是______。 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，且在上单调递增，求的值及的最小值。 (2) 已知函数是奇函数，且在上单调递增，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $