35.抽象函数最值的逆向求解（已知最值求参数）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 35.抽象函数最值的逆向求解（已知最值求参数）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】抽象函数的最值 ￮ 定义表述：设抽象函数的定义域为，若存在，使得对任意，都有（或），则称为函数在定义域上的最大值（或最小值）。 ￮ 数学符号/表达式： 最大值： 最小值： ￮ 关键特征：① 最值是函数在定义域内的整体性质；② 抽象函数无具体解析式，需借助单调性、奇偶性、周期性等性质分析最值。 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、分段函数 2. 【概念2】抽象函数最值的逆向求解 ￮ 定义表述：已知抽象函数在某区间上的最值，反向求解函数解析式中含有的参数取值（或取值范围）的问题。 ￮ 数学符号/表达式：已知（或），求解参数的范围，记为 ￮ 关键特征：① 已知最值结果，反推参数；② 需结合函数性质建立关于参数的方程或不等式。 ￮ 跨章节关联：关联函数的单调性、奇偶性、定义域、值域，常与二次函数的最值、指对函数的单调性、三角函数的有界性综合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性与最值的关系 若在区间上单调递增，则；若单调递减，则反之 忽略函数的定义域或区间的限制，直接套用单调性求最值 抽象函数满足且在上单调递增，已知在上的最大值为3，求参数时，需先确定，而非 奇偶性与最值的对称性 若是奇函数，且在上有最大值，则在上有最小值；偶函数的最值在对称区间上相等 混淆奇偶函数最值的对称关系，误认为奇函数在对称区间上的最值相等 偶函数满足，已知在上的最小值为2，则在上的最小值也为2，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：单调性+奇偶性综合求参数（跨二次/抽象函数） 题型特征：已知抽象函数的单调性、奇偶性，结合给定区间的最值，求解参数取值范围；常与二次函数的最值综合考查。 解题步骤：1. 利用奇偶性将区间转化为对称区间，简化最值分析；2. 根据单调性确定最值点对应的函数值；3. 建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 例题1 已知抽象函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，。若在区间（）上的最大值为2，求实数的取值范围。 举一反三1-1 已知奇函数在上单调递减，且，若在区间上的最小值为3，求实数的取值范围。 举一反三1-2 已知偶函数在上单调递增，，若在区间上的最大值为5，求实数的取值范围。 举一反三1-3 已知抽象函数满足，且在上单调递增，在上单调递减，。若在上的最大值为4，求参数相关的区间范围（本题无参数，考查区间分析）。 题型2：抽象函数+二次函数嵌套求参数（已知最值反推参数） 题型特征：抽象函数作为外层函数，二次函数作为内层函数，已知复合函数的最值，求解二次函数中的参数；需结合抽象函数的单调性和二次函数的最值区间分析。 解题步骤：1. 设内层二次函数，确定的取值范围；2. 根据外层抽象函数的单调性，将复合函数的最值转化为的最值；3. 建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 例题2 已知抽象函数在上单调递增，，，复合函数在上的最大值为，求实数的值。 举一反三2-1 已知抽象函数在上单调递减，，，复合函数在上的最小值为，求实数的值。 举一反三2-2 已知在上单调递增，，，的最大值为，求的取值范围。 举一反三2-3 已知在上单调递减，，，的最小值为，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，若在上的最大值为0，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知抽象函数满足，且在上单调递增，，则下列说法正确的有（） A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为3 C. 若在上的最大值为3，则 D. 3. 填空题 已知在上单调递增，，，若的最大值为，则______ 4. 解答题 (1) 已知奇函数在上单调递增，，若在上的最大值为5，求的取值范围。 (2) 已知在上单调递减，，，若的最小值为，求的取值范围。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若在上的最大值为，最小值为，且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知抽象函数的定义域为，且满足，在上单调递减，，则下列说法正确的有（） A. 的周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上的最大值为2 D. 若在上的最大值为2，则 3. 填空题 已知在上单调递减，，，若的最大值为，则______ 4. 解答题 (1) 已知偶函数在上单调递增，在上的最大值为，求的取值范围。 (2) 已知在上单调递增，，，若的最大值为，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 35.抽象函数最值的逆向求解（已知最值求参数）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】抽象函数的最值 ￮ 定义表述：设抽象函数的定义域为，若存在，使得对任意，都有（或），则称为函数在定义域上的最大值（或最小值）。 ￮ 数学符号/表达式： 最大值： 最小值： ￮ 关键特征：① 最值是函数在定义域内的整体性质；② 抽象函数无具体解析式，需借助单调性、奇偶性、周期性等性质分析最值。 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、分段函数 2. 【概念2】抽象函数最值的逆向求解 ￮ 定义表述：已知抽象函数在某区间上的最值，反向求解函数解析式中含有的参数取值（或取值范围）的问题。 ￮ 数学符号/表达式：已知（或），求解参数的范围，记为 ￮ 关键特征：① 已知最值结果，反推参数；② 需结合函数性质建立关于参数的方程或不等式。 ￮ 跨章节关联：关联函数的单调性、奇偶性、定义域、值域，常与二次函数的最值、指对函数的单调性、三角函数的有界性综合考查 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性与最值的关系 若在区间上单调递增，则；若单调递减，则反之 忽略函数的定义域或区间的限制，直接套用单调性求最值 抽象函数满足且在上单调递增，已知在上的最大值为3，求参数时，需先确定，而非 奇偶性与最值的对称性 若是奇函数，且在上有最大值，则在上有最小值；偶函数的最值在对称区间上相等 混淆奇偶函数最值的对称关系，误认为奇函数在对称区间上的最值相等 偶函数满足，已知在上的最小值为2，则在上的最小值也为2，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：单调性+奇偶性综合求参数（跨二次/抽象函数） 题型特征：已知抽象函数的单调性、奇偶性，结合给定区间的最值，求解参数取值范围；常与二次函数的最值综合考查。 解题步骤：1. 利用奇偶性将区间转化为对称区间，简化最值分析；2. 根据单调性确定最值点对应的函数值；3. 建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 例题1 已知抽象函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，。若在区间（）上的最大值为2，求实数的取值范围。 解析： 1. 由是奇函数且在上单调递增，得在上单调递增； 2. 单调递增函数在上的最大值为，已知最大值为2，故； 3. 又，结合单调性可知需满足，且单调递增，因此（其中）。 因为单调递增且，要使，则的取值范围是，若假设，则。 答案： 举一反三1-1 已知奇函数在上单调递减，且，若在区间上的最小值为3，求实数的取值范围。 解析： 1. 奇函数满足，故； 2. 在上单调递减，因此在上的最小值为端点处的函数值或； 3. 已知最小值为3，而，结合单调性，当时，在上的最小值为不满足，实际应为，故。 答案： 举一反三1-2 已知偶函数在上单调递增，，若在区间上的最大值为5，求实数的取值范围。 解析： 1. 偶函数的最值在对称区间上相等，在上单调递增，故在上单调递减； 2. ，则，函数在上的最大值为5，说明的取值不能超过3； 3. 因此的取值范围是。 答案： 举一反三1-3 已知抽象函数满足，且在上单调递增，在上单调递减，。若在上的最大值为4，求参数相关的区间范围（本题无参数，考查区间分析）。 解析： 1. 由周期性，的区间可由平移得到； 2. 在递增，递减，故在上的最大值为； 3. 周期为4，因此在上的最大值也为，区间符合条件。 答案： 题型2：抽象函数+二次函数嵌套求参数（已知最值反推参数） 题型特征：抽象函数作为外层函数，二次函数作为内层函数，已知复合函数的最值，求解二次函数中的参数；需结合抽象函数的单调性和二次函数的最值区间分析。 解题步骤：1. 设内层二次函数，确定的取值范围；2. 根据外层抽象函数的单调性，将复合函数的最值转化为的最值；3. 建立关于参数的方程或不等式，求解参数。 例题2 已知抽象函数在上单调递增，，，复合函数在上的最大值为，求实数的值。 解析： 1. 因为单调递增，所以的最大值对应的最大值； 2. 已知最大值为，故在上的最大值为7； 3. 的对称轴为，分情况讨论： · 当时，在上的最大值为，解得； · 当时，在上的最大值为，舍去； 综上，。 答案： 举一反三2-1 已知抽象函数在上单调递减，，，复合函数在上的最小值为，求实数的值。 解析： 1. 单调递减，故的最小值对应的最大值； 2. 已知最小值为，则在上的最大值为2； 3. 的对称轴为，分情况： · 当时，最大值为，解得（舍去）； · 当时，最大值为，解得； 综上，。 答案： 举一反三2-2 已知在上单调递增，，，的最大值为，求的取值范围。 解析： 1. ，对称轴为，值域为； 2. 单调递增，的最大值为，则在上的最大值为5； 3. 令，解得或，结合区间，得。 答案： 举一反三2-3 已知在上单调递减，，，的最小值为，求的值。 解析： 1. 单调递减，的最小值对应的最大值； 2. 已知最小值为，则的最大值为； 3. ，在上的最大值为，解得。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，若在上的最大值为0，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析：偶函数在单调递减，故在单调递增，最大值为？ 错误，，且在递减，故时，时。要使上最大值为0，则且，选A。 答案：A 2. 多选题 已知抽象函数满足，且在上单调递增，，则下列说法正确的有（） A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为3 C. 若在上的最大值为3，则 D. 解析：周期为2，与单调性相同，A错误；与对称，，最大值为3，B正确；上最大值为3，且单调递增，故，C正确；，D正确。 答案：BCD 3. 填空题 已知在上单调递增，，，若的最大值为，则______ 解析：单调递增，故最大值为10，在上单调递增，最大值为，解得。 答案：4 4. 解答题 (1) 已知奇函数在上单调递增，，若在上的最大值为5，求的取值范围。 解析：单调递增，最大值为，故。 答案： (2) 已知在上单调递减，，，若的最小值为，求的取值范围。 解析：，单调递减，最小值对应最大值为2，令得或，故。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若在上的最大值为，最小值为，且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析：奇函数在上单调递增，，最小值为，最大值为，故，选A。 答案：A 2. 多选题 已知抽象函数的定义域为，且满足，在上单调递减，，则下列说法正确的有（） A. 的周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上的最大值为2 D. 若在上的最大值为2，则 解析：由，周期为2，A正确；与对称，在上单调递增（奇函数？ 不，，），单调递增，B正确；上最大值为，C正确；上最大值为2，则，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知在上单调递减，，，若的最大值为，则______ 解析：单调递减，最大值对应最小值为3，在上，若，最小值为，解得；若，最小值为，无解。故。 答案：2 4. 解答题 (1) 已知偶函数在上单调递增，在上的最大值为，求的取值范围。 解析：的图象由右移1个单位得到，最大值为，则即，且在上的最大值为，故。 答案： (2) 已知在上单调递增，，，若的最大值为，求的取值范围。 解析：，令得或，单调递增，故。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $