2025-2026学年北师大版数学七年级上册压轴题专练角度的相关计算-

角度的相关计算压轴题专练 一、角平分线有关计算 1．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 2．已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 3．已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 4．已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 5．已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 二、 角n等分线相关计算 6．【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 7．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 8．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 9．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 三、动角相关计算 10．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 11．如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是____________． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，则： ①点、表示的数分别是____________、____________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的的值． 12．已知直线为直线上一点，过作交于为直线上两点，连接，．（本题出现的角均指不大于平角的角） (1)如图1，若，平分，平分，求的度数． (2)如图2，若射线是内的一条射线，射线是内的一条射线．当，，求的度数． (3)如图3，若，射线从与射线重合的位置绕点顺时针方向旋转，速度为每秒10°，射线同时从与射线重合的位置绕点逆时针方向旋转，速度为每秒．当射线运动到与射线重合时，射线都同时停止运动．设运动时间为秒，当时，请你直接写出的值． 13．（1）如图1，已知，求的度数． （2）如图2，已知，射线在内部，射线在所在平面上，由三条射线得到三个角，分别为，，．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍． ①当，且射线在内部时，求的度数； ②当且射线在外部时，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．（本题中所研究的角都是小于等于的角） 14．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《角度的相关计算压轴题训练》参考答案 1．（1）是；（2）或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 2．(1) (2) (3)秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由题意得，即得，又可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴； （2）解:∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：∵射线以为起始位置，以每秒的速度逆时针旋转秒，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴， 解得． 3．(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 4．(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 5．(1) (2)，理由见解析 (3)，与无数量关系，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中角度计算，角平分线的定义： （1）由角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，，最后根据即可求解； （2）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解； （3）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：，与无数量关系，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴． 6．（1）或；（2）的度数不会随的变化而变化，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用等知识点，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据动轴分线的定义求解即可； （2）根据是平角，以及动轴分线定义，得出，从而得出，即可求解． （3）根据为的动轴分线，分为①当时和②当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的动轴分线， 则或， 则，或， 故答案为：或； （2）解：的度数不会随的变化而变化． 理由如下：∵是平角， ， ∵分别是和的动轴分线，且， ， ， ， ， ∴的度数不会随的变化而变化． （3）解：为的动轴分线， ①当时，． 即， 解得：符合题意； ②当时，． 即， 解得：，符合题意； 综上所述，当或时，为的动轴分线． 7．(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 8．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如（图，②当时，如（图，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点逆时针旋转且， ①当时，如（图， ， ， ， ； ②当时，如（图， ， ， ， ； 综上所述：的度数为； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 9．（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或 【分析】（1）根据三分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】解：（1）∵是的三分线，，， ∴， 故答案为：； （2），是的四分线，， ， 为的三分线， ①当时，， ， ②当时，， ， 综上所述，的度数为或， （3）∵射线、是的两条四分线， ∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°， 如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=, ∠BOD=80°，∠COD=20°， α=30°-20°=10°； 如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时， ∠COD=∠BOC=15°， α=30°+15°=45°； 如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时， ∠COD=∠BOC=45°， α=30°+45°=75°； 如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=, ∠COD=80°， α=30°+80°=110°； 的值为或或或 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想． 10．(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，4 【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：是， ， ， ， ，， ， ， ， 是， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是； （3）解：是， ， 同理，是， ， ， ， ， ， ， 又m是正整数， ， ，， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义． 11．(1) (2)当或时，． (3)16或或32 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，然后根据中点的定义即可解答； （2）①结合数轴用t表示出M、N表示的数即可；②先根据题意表示出，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （3）先根据角平分线的定义求得，再表示出,再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． （2）解：①设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 综上，当或时，． （3）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； ②当时，， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和差关系及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练运用这些性质和关系，通过设未知数、列方程等方法来求解角度． （1）先根据平行线性质求出的度数，再利用角平分线求出和，最后通过角度关系求出． （2）先根据已知条件求出与的度数，再分别求出与的度数，最后根据角的和差关系求出的度数． （2）根据已知条件先分别表示出和，最后根据列出方程求解． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ， ； ∵，， ， ； ， ； （2）解：， ∴设， ， ； ， ， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，． 13．（1）；（2）①或；②或或或 【分析】本题是有关角的计算，考查了角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． （1）根据，，即可求解； （2）①分类讨论，当或时，当时，分别按照角度的和差计算求解； ②分类讨论，按照在左侧和在下方，根据题意，分别按照角度的和差计算求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）①如图： 当或时， 此时平分， ∴， ∴； 当时， 此时， ∴， ∵，， ∴， 综上所述：的度数为或； ②当在左侧，如图： 当， ∴， ∴； 当， ∴， ∴； 当， ∴； 当在下方时，如图， 此时只能是， ∴， ∴， 综上所述：的度数为：或或或． 14．(1)，；或 (2)是的“倍角”， 理由见解析； (3)①是的“倍补角”， 理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系，掌握“倍角”， “倍补角”的定义是解题的关键； （1）根据题意得出，进而求得，当时，同理根据角度的和差关系可得；然后根据“倍角”定义写出一组“倍角”即可求解； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴； 若，则 ∵射线平分， ∴， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 故答案为：，． 图1中的一组存在“倍角”关系的角可以是：或 （2）是的“倍角”，理由如下， 设 ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即是的“倍角” （3）①是的“倍补角”，理由如下； 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴，即是的“倍补角”； ②如图所示，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 如图所示，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角” 当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 当时，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 综上所述，时，是的“倍补角” 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $