角度的计算 练习2024-2025学年北师大版数学七年级上册

初中数学微专题：计算角的度数 类型一：逐角计算 例1：已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC=20°，∠AOE=25°，则∠BOC的度数为（ ） A．90° B．100° C．80° D．70° 分析： 通过观察图形，可以得到∠BOC=∠BOD+∠DOC，借助于角平分线的性质可得∠BOC=∠AOD，∠DOC已知，因此求出∠AOD即可． 巩固练习1 1.如图，已知ON,OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON=20°，∠AOM=35°，则∠AOB的度数为（ ） A.15° B.40° C.55° D.70° 2.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数． 3.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE＝150°，∠AOB＝40°．求∠AOD的度数． 类型二：整体思想 例2：如图，已知直线AE，点O是直线AE上一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，求∠BOD的度数． 分析： 通过读题，不难发现已知条件中没有给角的度数，但问题却是求解角的度数，在解题过程中要注意挖掘图形中隐藏的条件。 巩固练习2 1.已知∠AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC．如图，若∠AOB＝120°，求∠EOF的度数. 类型三：方程思想 例3：如图，已知∠AOC:∠BOC=1:5，OD平分∠AOB,且∠COD=36°，求∠AOB的度数． 分析： 题目中给出了角度的比值，可以根据比值设未知数，根据角平分线的定义以及角的和差关系求出未知数的值，问题即可求解。 巩固练习3 1.问题，如图，已知∠AOC=2∠BOC，OD平分∠AOB，∠COD=19°，求∠AOB的度数． 探究：小明同学想到了用方程的思想解决这个问题，他设∠BOC=x°，然后通过题中等量关系列出方程，将几何问题转化为方程问题． 你能否按照小明同学的思路，求出∠AOB的度数？ 2.如图，BD平分∠ABC，∠CBE：∠ABE＝5：3，且∠DBE＝15°，求∠ABC和∠ABE的度数． 3.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数． 类型四：分类讨论 例4：若∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数是（ ） A．60° B．60°或10° C．35°或25° D．120° 分析： 根据角平分线的定义求出∠BOD、∠BOE，因为题目中只给出了∠BOC的度数，而对于另一条边OC却没有给出限制性条件，所以需要分类讨论，分边OC在∠AOB外部与内部两种情况讨论求解． 巩固练习4 1.已知一条射线OA，如果从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=70°，∠BOC=20°，则∠AOC的度数是 　 　． 2.解答题： （1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数； （2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）. 3.如图，∠AOB＝90°，直线CD经过点O，∠BOD＝110°． （1）求∠AOC的度数； （2）若∠AOE＝3∠AOC，试画出∠AOE，并求出∠EOC的度数． 类型五：折叠问题 例5：如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°．则∠BAD的度数为 　　． 分析： 设出∠BAE的度数，根据题意即可表示出∠BAD的度数，再利用折痕的角平分线作用进行等角的转化以及正方形的内角等于90°即可建立方程，求出未知数的值，即可求出∠BAD的度数. 巩固练习5 1.如图，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF=　 　度． 类型一：逐角计算 例1：解：∵OE是∠AOC的角平分线且∠AOE=25°， ∴∠AOC=2∠AOE=50°， ∵∠DOC=20°， ∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=50°+20°=70°， ∵OD是∠AOB的角平分线， ∴∠BOC=∠AOD=70°， ∴∠BOC=∠BOD+∠DOC=70°+20°=90°.故选：A． 巩固练习1 1.解：，， ， 分别平分．， ， ，故选：． 2.解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠COB＝∠AOB＝45°， ∵∠COD＝90°， ∴∠BOD＝45°， ∵∠BOD＝3∠DOE， ∴∠DOE＝15°， ∴∠BOE＝30°， ∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°． 3.解：∵OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝40°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝80°， ∴∠EOC＝∠AOE﹣∠AOC＝70°， 又∵OD是∠COE的平分线， ∴， 又∵∠AOE＝150°， ∴∠AOD＝∠AOE﹣∠EOD＝150°﹣35°＝115°． 类型二：整体思想 例2：解：∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠BOC=∠AOC， ∵OD是∠EOC的平分线， ∴∠DOC=∠EOC， ∵∠AOC+∠EOC=∠AOE=180°， ∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=∠AOC+∠EOC=∠AOE=×180°=90° 巩固练习2 1.解：∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠EOC=∠BOC， ∵OF是∠AOC的平分线， ∴∠FOC=∠AOC， ∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°， ∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠BOC+∠AOC=∠AOB=×120°=60° 类型三：方程思想 例3：解：由题意，可设，． ． 平分， ． ． ． ． 巩固练习3 1.解：设， 平分， ， ， ， ， 解得， ， ． 2.解：设∠CBE为5x0，则∠ABE为3x0， ∠ABC＝∠CBE+∠AB＝（5x0+3x0）＝8x0， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝4x0， 又∵∠ABE+∠DBE＝∠ABD，∠DBE＝15°， 即3x+15＝45 解得x＝15， ∴∠ABC＝8×15＝120o，∠ABE＝3×15＝45o． 3.解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x． ∴∠AOB＝3x． 又OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝1.5x． ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°． ∴x＝40° ∴∠AOB＝120°． 类型四：分类讨论 例4：解：∵∠AOB=70°，OD平分∠AOB， ∴∠BOD=∠AOB=×70°=35°， ∵∠BOC=50°，OE平分∠BOC， ∴∠BOE=∠BOC=×50°=25°， ①如图1，在外部时，， ②如图2，在内部时，， 所以的度数是或． 故选：． 巩固练习4 1.解：①如图1，射线在的外部时， ，， ； ②射线在的内部时， ，， ． 综上所示，的度数为：或． 故答案为：或． 2.解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠AOB， ∴ ∵OE分别平分∠AOC，∠AOC＝40°． ∴ ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝60°﹣20°＝40°． （2）若射线OC在∠AOB的内部，如图2 ∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC． ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝＝（m﹣n）°． 所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE＝（n﹣m）°． 若射线OC在∠AOB外部时，如图3 ∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC． ∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝＝（n+m）°． 所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE＝（n+m）°． 3.解：（1）∵∠BOD＝110°， ∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝70°． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°． （2）由（1）得，∠AOC＝20°． ∴∠AOE＝3∠AOC＝20°×3＝60°． ∴∠AOE的位置如图所示： 当E位于E1时，∠EOC＝∠AOE﹣∠AOC＝60°﹣20°＝40°； 当E位于E2时，∠EOC＝∠AOE+∠AOC＝60°+20°＝80． 综上：∠EOC＝40°或80°． 类型五：折叠问题 例5： 解：如图所示，由折叠可知∠BAE=∠B’AE， 设∠BAE=∠B’AE=x°， ( B ’ )则∠BAD=x°+48°， ∵∠DAB’=∠BAD+∠BAE+∠B’AE=90°， ∴x+48°+x+x=90° 解得x=14° ∴∠BAD=x°+48°=62°. 巩固练习5 1.解：四边形是正方形． ． 沿折叠得到． ． ． 同理，． ． 故答案为：450． ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$