专题4.2 角（举一反三讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题4.2 角（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 角的概念】 2 【题型2 钟面角】 3 【题型3 方位角】 4 【题型4 度分秒的换算】 5 【题型5 与角平分线的有关计算】 6 【题型6 角的大小比较】 7 【题型7 尺规作角】 8 【题型8 与余角或补角有关的计算】 9 【题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用】 9 【题型10 角n等分线的有关计算】 11 【题型11 三角板中的角度计算】 12 【题型12 旋转成动角问题】 13 知识点1 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 知识点2 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 【题型1 角的概念】 【例1】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【变式1-1】（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【变式1-2】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【变式1-3】如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【题型2 钟面角】 【例2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·周测）如图，2时20分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？再过1小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？时针转动的度数是多少？ 【变式2-3】小明去看电影，他在影片刚放映时看了一下手表，影片结束时又看了一下手表，他发现两次看手表的时刻，时针和分针刚好交换了一次，已知这部电影的时间在小时之间，则影片片长为 分钟． 知识点3 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 【题型3 方位角】 【例3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 【变式3-2】有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 知识点4 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 【题型4 度分秒的换算】 【例4】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式4-2】学习了角的常用度量单位后，乐乐发现度、分、秒之间可以相互换算，乐乐计算出某一时刻闹钟的时针和分针的夹角是108000″，此时这个夹角等于（　　） A．5° B．15° C．30° D．60° 【变式4-3】（24-25七年级上·天津西青·期末）在同一平面内有，，则的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 知识点5 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 【题型5 与角平分线的有关计算】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，平分，则 ． 【变式5-2】如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 知识点6 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 【题型6 角的大小比较】 【例6】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式6-1】 （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 【变式6-2】如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【题型7 尺规作角】 【例7】如图，已知两个角和，求作一个角． 【变式7-1】如图，点C在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，长为半径的弧 B．以点C为圆心，长为半径的弧 C．以点E为圆心，长为半径的弧 D．以点E为圆心，长为半径的弧 【变式7-2】如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【题型8 角n等分线的有关计算】 【例8】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【变式8-1】如图所示，若点A，O，B在一条直线上，平分，，当时，等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    【变式8-3】如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【题型9 三角板中的角度计算】 【例9】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【变式9-1】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【题型10 旋转成动角问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数； (3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【变式10-1】如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 【变式10-2】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【变式10-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 角（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 角的概念】 2 【题型2 钟面角】 4 【题型3 方位角】 7 【题型4 度分秒的换算】 10 【题型5 与角平分线的有关计算】 12 【题型6 角的大小比较】 15 【题型7 尺规作角】 18 【题型8 角n等分线的有关计算】 25 【题型9 三角板中的角度计算】 31 【题型10 旋转成动角问题】 34 知识点1 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 知识点2 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 【题型1 角的概念】 【例1】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 【变式1-1】（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【变式1-3】如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【答案】21 【分析】本题主要考查了角的规律探索．找出以为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照七条射线角的个数的计算方法即可得到答案． 【详解】解：以为始边的角有6个， 以为始边的角有5个， 以为始边的角有4个， 以为始边的角有3个， 以为始边的角有2个， 以为始边的角有1个， 故共有锐角：（个）． 故答案为：21． 【题型2 钟面角】 【例2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算，理解题意是解决本题的关键． 根据一小时等于60分钟和一小时分针转进行求解即可． 【详解】解：∵一小时等于60分钟， ∴15分钟为小时， ∵一小时分针转， ∴小时转， 故选D． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·周测）如图，2时20分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？再过1小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？时针转动的度数是多少？ 【答案】2时20分：再过1h是3时20分：时针转动的度数： 【分析】本题考查了钟面角，角的计算，掌握钟面角的计算是解题的关键． 结合钟表图形，根据时针一小时转，一分钟转，分针一小时转，一分钟转计算即可． 【详解】解：因为当时间为时分时，时针指向点和点之间的靠近刻度的处，分针指向刻度， 故时针与分针之间所成的较小角度为：． 再过小时是时分，同理可得时针与分针之间所成的较小角度为：． 时针转动的度数：． 所以时分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是，再过小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是，时针转动的度数是． 【变式2-3】小明去看电影，他在影片刚放映时看了一下手表，影片结束时又看了一下手表，他发现两次看手表的时刻，时针和分针刚好交换了一次，已知这部电影的时间在小时之间，则影片片长为 分钟． 【答案】 【分析】本题考查钟面角． 当钟表的时针和分针位置互换时，两针在该时间段内转过的角度之和是的整数倍． 【详解】解：设影片时长为分钟．分针每分钟走，时针每分钟走． 两针转过的角度之和为为． 根据题意，两针位置互换，则其转过的角度之和应为的整数倍，即（为正整数）． 可得． 因为， 所以， 解得． 因为正整数，故． 所以（分钟）． 因此影片片长为分钟． 故答案为：． 知识点3 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 【题型3 方位角】 【例3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了方位角和角的和差运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据方位角和角的和差运算的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：如图： ∵射线的方向为南偏西， ∴， ∵， ∴， 即射线表示的方向南偏东． 故答案为：南偏东； 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 【答案】 西 540 北偏西 60 600 北偏西 30 200 【分析】本题考查了方向角在生活中的实际应用．根据示意图中的方向指示，结合台风从生成地经A市到B市的实际运行方向和距离解答即可． 【详解】解：（1）根据“上北下南，左西右东”的地图方向，可知：台风从生成地开始沿着正西方向移动了，然后沿着北偏西移动了， 到达了A市． 故答案为：西；540；北偏西；；600． （2）同样由“上北下南，左西右东”，可知：接着，台风又改变方向，沿北偏西方向移动了，到达了B市． 故答案为：北偏西；；200． 【变式3-2】有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的运算是解题关键．根据题意画出图形，再根据方向角的运算求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 则这两条射线组成的角的度数为， 故选：A． 【变式3-3】如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，角平分线的定义，垂直的定义，熟悉掌握角度的运算是解题的关键． 根据，，是的平分线，求出的度数，即可判断A和B，再求出的度数，通过垂直的定义求出即可判断C和D． 【详解】解：∵，，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴射线的方向为北偏东或东偏北，故A和B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向为西偏南或南偏西，故C错误，D正确； 故选：D． 知识点4 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 【题型4 度分秒的换算】 【例4】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，度、分、秒单位的换算，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义求出余角，再进行单位换算即可． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 【变式4-2】学习了角的常用度量单位后，乐乐发现度、分、秒之间可以相互换算，乐乐计算出某一时刻闹钟的时针和分针的夹角是108000″，此时这个夹角等于（　　） A．5° B．15° C．30° D．60° 【答案】C 【详解】【分析】根据1度=3600秒，进行转化即可. 【详解】108000″=108000÷3600(度)= 30° 故选C： 【点睛】本题考核知识点：角度的换算.解题关键点:熟记角度的转换进率. 【变式4-3】（24-25七年级上·天津西青·期末）在同一平面内有，，则的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线OC在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 知识点5 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 【题型5 与角平分线的有关计算】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识．由角的和差关系可求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ，， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式5-2】如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线有关的角的计算．根据角平分线的定义和角的和差可得，再把代入计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 知识点6 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 【题型6 角的大小比较】 【例6】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 【变式6-1】 （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 【答案】（1）内部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜ 【分析】（1）根据图形及角度关系即可判断； （2）根据图形及角度关系即可判断； （3）根据图形及角度关系即可判断． 【详解】由图可知：（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＜∠AOB 故答案为：内部；＜； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC=∠AOD 故答案为：=； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA． 故答案为：∠BOC；外部；＜． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 【变式6-2】如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ 【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可； （2）用量角器测量比较即可． 【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法， 可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α． （2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°， 把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ． 【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 【题型7 尺规作角】 【例7】如图，已知两个角和，求作一个角． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查作一个角等于已知角的作法．先依次作，再作，则就是所求的角． 【详解】解：如图 所以，就是所求的． 【变式7-1】如图，点C在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，长为半径的弧 B．以点C为圆心，长为半径的弧 C．以点E为圆心，长为半径的弧 D．以点E为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，尺规作一个角等于已知角，解题关键是掌握上述知识． 根据同位角相等两直线平行，得出，由此判断作图方法． 【详解】解：通过作，依据同位角相等两直线平行，得到，所以作图痕迹中弧是以点E为圆心，长为半径的弧， 故选：D． 【变式7-2】如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式7-3】如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 【题型8 角n等分线的有关计算】 【例8】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式8-1】如图所示，若点A，O，B在一条直线上，平分，，当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．同时考查了邻补角定义．根据角平分线可得，进而可得，再利用角之间的比例关系可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式8-2】如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了角的和差，几何图形中角的计算，正确分情况讨论是解题关键．分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ， ； ②当时，射线是的“平衡线”， ， ， ； ③当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式8-3】如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或 ，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 【题型9 三角板中的角度计算】 【例9】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 【变式9-1】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于．根据三角形的内角和定理求出，，即可求出答案． 【详解】解：，， ，， ， 故选：A． 【变式9-3】（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题题主要考查了几何图形中角度的计算，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）由，求出的度数，由即可得出； （2）由，求出的度数，由即可求出； （3）由于，即可得，所以． 【详解】（1）由题可知：，， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴． 【题型10 旋转成动角问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数； (3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时， 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）根据题意可得，，则，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； （2）解：，， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴当时候，． 【变式10-1】如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 【答案】 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据余角的定义求出答案即可； （2）设运动时间为，根据题意分情况进行讨论． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）设运动时间为， 根据题意可得， 当时， 此时 解得； 当时， 此时解得； 综上所述，或秒时，度． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线，一元一次方程的应用等知识，根据角的运算，角平分线，一元一次方程的应用逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， ∴，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， ∴整个运动过程中，存在的情况，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， 当时，，， 则， 解得， ∴当时，两射线的旋转时间为或秒，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，， ∴，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式10-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $