精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

内江一中初2026届初三（上）数学12月月考试题 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列式子中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可． 【详解】．A.当时， 不是二次根式，不符合题意； B. 不是二次根式，不符合题意； C. 不是二次根式，不符合题意； D. 是二次根式，符合题意； 故选Ｄ． 【点睛】本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 2. 投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（ ） A. 掷得的点数是2 B. 掷得的点数是奇数 C. 掷得的点数小于7 D. 掷得的点数是大于3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是确定事件、随机事件的概念，根据“确定事件指在一定条件下，一定发生的事件”，即可求解． 【详解】解：A、掷得的点数是2是随机事件，故本选项不符合题意； B、掷得的点数是奇数是随机事件，故本选项不符合题意； C、掷得的点数小于7是确定事件，故本选项符合题意； D、掷得的点数是大于3是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件可设，，代入即可求出答案． 详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：D． 4. 一元二次方程的根是（ ） A 0或 B. 0 C. D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， 或， 解得或， 故选：A． 5. 如图，某中学学校门口有一棵与地面垂直的树，为了测量其高度，在距离树底端米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正切的定义可得，即可求解． 【详解】在中，米，为，， 米． 故选D． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根 且， 且 故选：C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0． 7. 乐山市为创建全国文明城市，计划进行绿地建设，若前年绿地面积为122公顷，计划今年建设绿地面积为476公顷，求这两年绿地面积的平均增长率．设这两年绿地面积的平均增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设这两年绿地面积的平均增长率为，则去年绿地面积为公顷，则今年建设绿地面积为公顷，据此列出方程即可． 【详解】解：设这两年绿地面积的平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 8. 河堤的横断面如图所示，堤高是5米，迎水斜坡的坡度，那么斜坡的长是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坡度比的应用，熟练掌握坡度比的公式是解题的关键，利用坡度比代入即可得到答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：B． 9. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取格点D，连接，利用勾股定理计算出、和，从而根据勾股定理逆定理可判断，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由勾股定理可知，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值．利用数形结合的思想是解题关键． 10. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的值，从而可以求出x+y的算术平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数算术平方根，正确根据二次根式有意义的条件出x、y的值是关键． 11. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出，由得出就可以得出就可以求出结论． 【详解】解：∵，由勾股定理，得． ∵与关于成轴对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键． 12. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB；其中正确的是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由△BPC是等边三角形，得出∠ABE＝∠DCF＝30°，可得结论①正确；证明△DEP∽△BED，可得结论④正确；由∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB可得结论③正确；进而可结论②正确． 【详解】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， 在正方形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90° ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴（ASA）， ∴AE＝BE＝CF；故①正确； ∵PC＝CD，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝75°， ∴∠FDP＝15°， ∵∠DBA＝45°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠EDP＝∠EBD， ∵∠DEP＝∠DEP， ∴△DEP∽△BED， ∴＝，即ED2＝EP•EB，故④正确； ∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB， ∴△PDE∽△DBE，故③正确； ∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°， ∴∠BPD＝135°，故②正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 二次根式有意义时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，算术平方根的性质，整式的加减混合运算．观察数轴可得，然后根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】解：观察数轴得： ， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，以点为位似中心，将放大得，已知，若，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据可得与的位似比为，据此把点C横纵坐标都乘以3即可得到的横纵坐标，进而得到答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，将放大得，且， ∴与的位似比为， ∴当时，则的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 __ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式的化简，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，二次根式的化简，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． （2）原式整理后，利用公式法解方程即可． 【详解】（1） ； （2） ，， 解得，． 18. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC； （2）已知AD=5，求AB． 【答案】（1）见解析；（2）AB=10. 【解析】 【分析】（1）证明△DOE∽△COB即可解决问题． （2）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可解决问题. 【详解】（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3， ∴OC＝4，＝，＝， ∴＝， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴△DOE∽△COB， ∴∠ODE＝∠OCB， ∴DE∥BC． （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 20. 某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： （1）参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． （2）补全条形统计图； （3）等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，以及树状图法求概率，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据B等级条形统计图和扇形统计图的数据即可求解，根据C等级所占比例即可求解：然后根据“D等级”的人数所占的百分比即可求出m； （2）计算出A等级的人数即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：参加体能测试的学生共有：（名）； 表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为：； ∴； 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：等级的人数为：（人） 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种， ∴恰好是一男一女的概率是：． 21. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求海轮所在的处与灯塔的距离．（结果精确到海里）【参考数据：，，】 【答案】海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形；过点作于点．，解，求得，解，即可求解． 详解】解：过点作于点． 由题意可知，， ，． 在中，，，． ． 在中，，． （海里）． 答：海轮所在的处与灯塔的距离约为海里． B卷（共60分） 四、填空（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，．已知，，则BC的长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得结论. 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴， 在中，点D是边AB的中点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键. 23. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：，，解方程可得，进一步可得结论． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ∴ ∴， ∴ 解得，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-，两根之积等于”是解题的关键． 24. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可． 【详解】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D， 设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴， ∵OB=4OA， ∴BD=4m，OD=4n， 因为点A在反比例函数的图象上，则mn=1， ∵点B在反比例函数的图象上，B点的坐标是（-4n，4m）， ∴k=-4n•4m=-16mn=-16． 故答案为：-16． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式． 25. 已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数值定义、等面积法求线段长等知识，过点作，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出及，在中，求出，从而得到当三点共线，且时，有最小值为，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-胡不归问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰中，是边上的高， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 在中，，则， ， 如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为， 由等面积可知，则， 故答案为：8． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3或8 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可． （1）由，得到，根据，，，证明，即可证得； （2）根据，得到，由（1）根据相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）知， ∴，即 ∴或8． 27. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． （1）求a取值范围． （2）是否存在实数a使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． （3）求使为负整数的实数a的整数值． 【答案】（1）且；（2）存在，；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据判别式及一元二次方程的定义即可得出a的取值范围； （2）由x1，x2是一元二次方程的两个实数根，可得x1+x2，，又由-x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值； （3）把x1+x2，代入整理后的，进而可得出结论． 【详解】（1）由题知，原方程有两个实数根， 故且， 即 且， ∴且． （2）由得： ， 由原方程知：，， ∴， 解得：， 经检验a=24是方程的解且符合题意， 故a=24． （3）， 由（2）知：，， ∴ ， ， ∵为负整数， ∴， 解得：， ∴a的值为． 【点睛】本题考查的是根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 28. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明，则； （3）过点A作，延长交于点G，首先根据，可得，则，再由（2）同理得，得，进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2026届初三（上）数学12月月考试题 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列式子中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（ ） A. 掷得的点数是2 B. 掷得的点数是奇数 C. 掷得的点数小于7 D. 掷得的点数是大于3 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根是（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 0或 5. 如图，某中学学校门口有一棵与地面垂直的树，为了测量其高度，在距离树底端米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知关于x一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 乐山市为创建全国文明城市，计划进行绿地建设，若前年绿地面积为122公顷，计划今年建设绿地面积为476公顷，求这两年绿地面积的平均增长率．设这两年绿地面积的平均增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 河堤的横断面如图所示，堤高是5米，迎水斜坡的坡度，那么斜坡的长是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 9. 由小正方形组成网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知，则值为（ ） A 3 B. 9 C. D. 11. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB；其中正确的是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 二次根式有意义时，的取值范围是______． 14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______． 15. 如图，以点为位似中心，将放大得，已知，若，则的坐标为______． 16. 如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 __ ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC； （2）已知AD=5，求AB． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 20. 某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： （1）参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． （2）补全条形统计图； （3）等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 21. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求海轮所在的处与灯塔的距离．（结果精确到海里）【参考数据：，，】 B卷（共60分） 四、填空（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，．已知，，则BC的长是___________． 23. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则________． 24. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为_____________． 25. 已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为__________． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 27. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． （1）求a的取值范围． （2）是否存在实数a使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． （3）求使为负整数的实数a的整数值． 28. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $