四川省内江市第一中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

内江一中初2026届初三（上）数学12月月考试题 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（    ） A．掷得的点数是2 B．掷得的点数是奇数 C．掷得的点数小于7 D．掷得的点数是大于3 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根是（    ） A．0或 B．0 C． D．0或 5．如图，某中学学校门口有一棵与地面垂直的树，为了测量其高度，在距离树底端米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．乐山市为创建全国文明城市，计划进行绿地建设，若前年绿地面积为122公顷，计划今年建设绿地面积为476公顷，求这两年绿地面积的平均增长率．设这两年绿地面积的平均增长率为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 8．河堤的横断面如图所示，堤高是5米，迎水斜坡的坡度，那么斜坡的长是（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（    ）．    A． B． C． D． 10．已知，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 11．如图，在ΔABC中，∠B＝90°，，，将ΔABC沿折叠，使点C落在ΔABC边上处，并且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①AE＝CF；②∠BPD＝135°；  ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB；其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．二次根式有意义时，的取值范围是 ． 14．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 15．如图，以点为位似中心，将ΔABC放大得，已知，若，则的坐标为 ． 16．如图，在ΔABC中，平分，D是的中点，，，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17．（8分）（1）计算： （2）解方程： 18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC；    （2）已知AD=5，求AB． 19．（10分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两根分别为，，且，求的值． 20．（10分）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： (1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． (2)补全条形统计图； (3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 21． （12分）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求海轮所在的处与灯塔的距离．（结果精确到海里）【参考数据：，，】 B卷（共60分） 四、填空（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22．如图，在ΔABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，．已知，，则BC的长是 ． 23．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 24．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 25．已知：如图等腰ΔABC中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26．如图，在ΔABC中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 27．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． （1）求a的取值范围． （2）是否存在实数a使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． （3）求使为负整数的实数a的整数值． 28．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D C A B C A 题号 11 12 答案 B D 1．D 【详解】．A.当时， 不是二次根式，不符合题意；     B. 不是二次根式，不符合题意；     C. 不是二次根式，不符合题意； D. 是二次根式，符合题意； 故选Ｄ． 2．C 【详解】解：A、掷得的点数是2是随机事件，故本选项不符合题意； B、掷得的点数是奇数是随机事件，故本选项不符合题意； C、掷得的点数小于7是确定事件，故本选项符合题意； D、掷得的点数是大于3是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 3．D 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：D． 4．A 【详解】解： ， ， 或， 解得或， 故选：A． 5．D 【详解】在中，米，为，， 米． 故选D． 6．C 【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根 且， 且 故选：C． 7．A 【详解】解：设这两年绿地面积的平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 8．B 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：B． 9．C 【详解】解：如图，取格点D，连接，    由勾股定理可知，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10．A 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 11．B 【详解】解：∵，由勾股定理，得． ∵与关于成轴对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．D 【详解】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， 在正方形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90° ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴（ASA）， ∴AE＝BE＝CF；故①正确； ∵PC＝CD，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝75°， ∴∠FDP＝15°， ∵∠DBA＝45°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠EDP＝∠EBD， ∵∠DEP＝∠DEP， ∴△DEP∽△BED， ∴＝，即ED2＝EP•EB，故④正确； ∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB， ∴△PDE∽△DBE，故③正确； ∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°， ∴∠BPD＝135°，故②正确； 故选：D． 13． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14．/ 【详解】解：观察数轴得： ， ∴ ， 故答案为：． 15． 【详解】解：∵以点为位似中心，将放大得，且， ∴与的位似比为， ∴当时，则的坐标为， 故答案为：． 16．2 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 17．（1）；（2）， 【详解】（1） ； （2） ，， 解得，． 18．（1）见解析；（2）AB=10. 【解析】（1）证明△DOE∽△COB即可解决问题． （2）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可解决问题. 19．(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， （2）解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 20．(1)；； (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：参加体能测试的学生共有：（名）； 表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为：； ∴； 故答案为：；，； （2）解：等级的人数为：（人） 补全条形统计图如下： （3）解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种， ∴恰好是一男一女的概率是：． 21．海里 【详解】解：过点作于点． 由题意可知，， ，． 在中，，，． ． 在中，，． （海里）． 答：海轮所在的处与灯塔的距离约为海里． 22．6 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴， 在中，点D是边AB的中点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6. 23．8 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ∴ ∴， ∴ 解得，， 故答案为：8． 24． 【详解】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D， 设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴， ∵OB=4OA， ∴BD=4m，OD=4n， 因为点A在反比例函数的图象上，则mn=1， ∵点B在反比例函数的图象上，B点的坐标是（-4n，4m）， ∴k=-4n•4m=-16mn=-16． 故答案为：-16． 25．8 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰中，是边上的高， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 在中，，则， ， 如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为， 由等面积可知，则， 故答案为：8． 26．(1)见解析 (2)3或8 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴，即 ∴或8． 27．（1）且；（2）存在，；（3） 【详解】（1）由题知，原方程有两个实数根， 故且， 即 且， ∴且． （2）由得： ， 由原方程知：，， ∴， 解得：， 经检验a=24是方程的解且符合题意， 故a=24． （3）， 由（2）知：，， ∴ ， ， ∵为负整数， ∴， 解得：， ∴a的值为． 28．1．（1）见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $