2026年九年级数学中考总复习：二元一次方程组及其应用

二元一次方程组及其应用 一、知识梳理 考点一：二元一次方程（组）的概念 （1）二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做二元一次方程。 （2）二元一次方程的标准形式：（其中、、是常数，且、），、为未知数。 （3）二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。（注：方程组中未知数的个数与方程个数不一定相等，但二元一次方程组核心是含两个未知数，且每个方程含未知数的项次数为1） （4）二元一次方程组的标准形式：（其中、、、、、是常数，且与不同时为0，与不同时为0） （5）核心特征：① 含两个未知数；② 每个方程中含未知数的项次数为1；③ 所有方程均为整式方程。 （6）【易错警示】① 判断二元一次方程时，忽略“含未知数的项的次数为1”，如（的次数为2）不是二元一次方程；② 认为二元一次方程组必须含两个方程，如也是二元一次方程组（含两个未知数，项次数为1）。 （7）示例：、是二元一次方程；、是二元一次方程组；（分母含未知数）、（项次数为2）不是二元一次方程。 考点二：二元一次方程（组）的解 （1）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。（二元一次方程有无数组解） （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。（二元一次方程组通常只有一组解，也可能无解或有无数组解） （3）【易错警示】① 检验二元一次方程组的解时，需将解代入方程组的所有方程，仅满足一个方程的不是方程组的解；② 混淆“二元一次方程的解”与“二元一次方程组的解”，前者无数组，后者通常唯一。 （4）示例：检验是否为的解：代入第一个方程，（成立）；代入第二个方程，（成立），故是方程组的解。 考点三：二元一次方程组的解法 （1）代入消元法： 核心思路：将其中一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程求解。 解题步骤： 变：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（如或）； 代：将变形后的方程代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求出的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值； 验：将两个未知数的值代入原方程组，检验是否为公共解（可选，确保解题正确）。 示例：用代入消元法解方程组 解：由①得 ③；将③代入②得；去括号得；合并同类项得；解得；将代入③得；故方程组的解为。 （2）加减消元法： 核心思路：通过将两个方程的两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，转化为一元一次方程求解（前提：两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数）。 解题步骤： 找：找出方程组中某一未知数的系数的最小公倍数； 化：在两个方程的两边分别乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数； 加减：将两个方程的两边相加（系数互为相反数时）或相减（系数相等时），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值； 验：将两个未知数的值代入原方程组，检验是否为公共解（可选）。 示例：用加减消元法解方程组 解：①×3得 ③；②×2得 ④；③+④得；解得；将代入②得；解得；故方程组的解为。 （3）【易错警示】① 代入消元时，漏乘括号内的项（如将代入时，错写为是正确的，漏写负号为则错误）；② 加减消元时，系数化相等或相反时漏乘方程两边的所有项；③ 相减时符号出错（如，错算为）。 考点四：二元一次方程组的应用 （1）解题核心：找出题目中的两个等量关系，根据等量关系设两个未知数，列出二元一次方程组求解（相较于一元一次方程，更适合含两个未知量的问题）。 （2）常见应用题型及等量关系（与一元一次方程应用题型一致，核心是找两个等量关系）： 和差倍分问题：两个未知量的和/差/倍关系（如：甲+乙=20，甲=2乙+5）； 行程问题：路程=速度×时间（如：相遇问题中，甲路程+乙路程=总路程；追及问题中，快者路程-慢者路程=初始距离，同时含两个未知速度或时间）； 工程问题：工作量=工作效率×工作时间（如：甲工作量+乙工作量=总工作量，含两个未知工作效率或时间）； 利润问题：利润=售价-进价，总利润=单件利润×数量（含两个未知进价或售价）； 配套问题：配套数量比=部件数量比（如：1个零件配2个配件，零件数量×2=配件数量，同时含两个未知生产人数或效率）； 数字问题：两位数=十位数字×10+个位数字（如：一个两位数，十位与个位数字之和为8，交换位置后新数比原数大18，含两个未知数字）。 （3）解题步骤：审（找两个等量关系）→ 设（两个未知数）→ 列（二元一次方程组）→ 解（方程组）→ 验（符合题意）→ 答（写答案）。 （4）【易错警示】① 设未知数时未明确区分两个未知量，漏写单位；② 找错等量关系，导致列出的方程组与题意不符；③ 忽略实际情境对未知数的限制（如人数、速度为正数，数字为0-9的整数）。 二、同步练习 1、下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3、用代入消元法解方程组时，从①变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4、方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5、用加减消元法解方程组时，为消去，可将（ ） A. ①×3+②×2 B. ①×3-②×2 C. ①×2+②×3 D. ①×2-②×3 6、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7、甲、乙两人相距36km，相向而行，若甲比乙先走2小时，两人相遇时甲比乙多走4km；若乙比甲先走2小时，两人相遇时乙比甲多走12km，则甲、乙两人的速度分别为（ ） A. 8km/h、6km/h B. 6km/h、8km/h C. 7km/h、5km/h D. 5km/h、7km/h 8、解方程组： 9、当为何值时，方程组的解满足？ 10、某商场购进A、B两种商品共100件，花费3100元，其中A种商品每件30元，B种商品每件35元，求A、B两种商品各购进多少件？ 11、A、B两地相距480km，一列快车从A地出发，每小时行驶80km，一列慢车从B地出发，每小时行驶60km，若两车同时出发，相向而行，多少小时后两车相距40km？ 12、一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，现甲、乙两队合作若干天后，乙队因另有任务离开，剩下的工程由甲队单独做2天完成，求甲、乙两队合作了多少天？ 参考答案 1、C 【解析】A选项的次数为2，不是二元一次方程；B选项分母含未知数，是分式方程；C选项符合二元一次方程定义；D选项项次数为2，不是二元一次方程。 2、D 【解析】A选项含三个未知数，不是二元一次方程组；B选项的次数为2，不是；C选项分母含未知数，是分式方程组；D选项符合二元一次方程组定义。 3、B 【解析】由①变形得，A选项符号错误，C、D变形复杂，代入消元优先变形为形式，故选B。 4、A 【解析】用加减消元法，①+②得，解得，将代入①得，，故选A。 5、A 【解析】要消去，需使的系数相等或相反，①中的系数为4，②中为-6，最小公倍数为12，故①×3得，②×2得，两式相加消去，故选A。 6、A 【解析】配套关系：螺母数量=2×螺钉数量，工人总数，螺钉数量，螺母数量，故，选A。 7、A 【解析】设甲速度为km/h，乙为km/h，第一种情况：甲走小时，乙走小时，，，解得，；第二种情况：乙走小时，甲走小时，，，解得，；联立得，选A。 8、解：用加减消元法，①+②得，解得，将代入①得，解得，故方程组的解为。 9、解：将方程组中两个方程相加得，两边除以3得，已知，则，解得。 10、解：设A商品购进件，B商品购进件，列方程组，由①得，代入②得，，，，则，答：A商品购进80件，B商品购进20件。 11、解：设小时后两车相距40km，分两种情况：① 未相遇时相距40km，，，；② 相遇后相距40km，，，，答：小时或小时后两车相距40km。 12、解：设甲、乙两队合作了天，总工作量为1，甲效率，乙效率，列方程，通分得，，作量甲1天完成）：，答：甲、乙两队合作了天。 学科网（北京）股份有限公司 $