2026年中考数学总复习讲义 ：一元二次方程及其应用

该初中数学讲义聚焦一元二次方程及其应用这一中考核心专题，系统梳理概念、解法、根的判别式及应用四大考点，构建“定义-方法-应用”的逻辑体系。通过考点解析、易错警示、示例演示和同步练习，形成“梳理-指导-训练”的完整教学流程，助力学生突破解法选择、实际应用等难点。 亮点在于“易错诊断+分层突破”策略，如针对配方法中“漏加一次项系数一半的平方”等易错点设置警示，结合增长率问题实例培养学生的数学思维和应用意识。同步练习涵盖选择、解答等题型，配合即时反馈，能在短时间内强化解题技能，帮助教师精准把控复习节奏，提升学生的应考能力。

一元二次方程及其应用 一、知识梳理 考点一：一元二次方程的概念 （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程叫做一元二次方程。 （2）标准形式：（其中、、是常数，且），为未知数。是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 （3）核心特征：① 单未知数；② 未知数最高次数为2；③ 整式方程（分母不含未知数）；④ 二次项系数不为0。 （4）【易错警示】① 忽略的条件，如不是一元二次方程；② 未化简直接判断，如化简后为，是一元一次方程。 （5）示例：、是一元二次方程；（分母含未知数）、（二元）不是。 考点二：一元二次方程的解法 1、直接开平方法： （1）适用条件：方程可化为（）的形式。 （2）解题步骤：① 把常数项移到等号右边，整理为；② 当时，两边直接开平方得；③ 解得（时无实数解）。 （3）示例：解方程，开平方得，解得，。 2、配方法： （1）核心思路：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。 （2）解题步骤：① 二次项系数化为1（方程两边同除以）；② 移项（常数项移到等号右边）；③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）；④ 化为标准平方形式；⑤ 开平方求解。 （3）示例：解方程，① 系数已为1；② 移项得；③ 配方得，即；④ 开平方得；⑤ 解得，。 （4）【易错警示】配方时漏加一次项系数一半的平方，或二次项系数不为1时直接配方。 3、公式法： （1）求根公式：对于一元二次方程（），当时，根为。 （2）解题步骤：① 化为标准形式，确定、、的值；② 计算判别式；③ 当时，代入公式求解；时无实数解。 （3）示例：解方程，，，，，解得。 4、因式分解法： （1）核心思路：将方程化为两个因式的积等于0的形式，即，则或。 （2）适用条件：方程右边为0，左边可因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）。 （3）示例：解方程，提公因式得，解得，；解方程，用平方差公式得，解得，。 （3）【易错警示】因式分解后未令每个因式为0，直接求解导致漏解。 考点三：根的判别式 1、定义：对于一元二次方程（），叫做根的判别式。 2、符号意义： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根（记作）； ：方程无实数根。 3、核心应用：① 判断方程实数根的个数；② 由根的情况求字母系数的取值范围。 4、【易错警示】忽略二次项系数的前提，仅根据判断系数取值范围。 考点四：一元二次方程的应用 1、解题核心：找出实际问题中的等量关系，列出一元二次方程，求解后检验解是否符合实际意义。 2、常见应用题型及等量关系： 增长率问题：最终量=初始量×增长率（为增长次数）； 利润问题：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价； 几何图形问题：面积公式（如长方形面积=长×宽，圆面积=）； 传播问题：传播总量=初始人数×每人传播人数（为传播轮次）。 3、解题步骤：审（找等量关系）→ 设（未知数）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 验（符合实际）→ 答（写答案）。 4、【易错警示】① 增长率问题中混淆“增长次数”与“年数”；② 几何问题中单位不统一；③ 未检验解的实际合理性（如长度、人数为正数）。 二、同步练习 1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，-5，1 B. 3，5，1 C. ，，1 D. ，，1 3、用直接开平方法解方程，解得（ ） A. B. C. ， D. ， 4、方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5、一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 6、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7、用因式分解法解方程，结果正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8、某商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则这个百分率是（ ） A. 10% B. 20% C. 19% D. 21% 9、解方程：。 10、解方程：（用公式法）。 11、若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 12、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 13、一个长方形的长比宽多2cm，面积为80cm²，求这个长方形的长和宽。 参考答案 1、C 【解析】A是分式方程，B化简后为一元一次方程，D是二元一次方程，C符合一元二次方程定义。 2、A 【解析】一元二次方程标准形式中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，注意符号，故选A。 3、C 【解析】开平方得，解得，即，。 4、A 【解析】移项得，配方得，即。 5、A 【解析】，方程有两个不相等的实数根。 6、A 【解析】，解得。 7、A 【解析】因式分解得，解得，。 8、A 【解析】设降价百分率为，列方程，解得，（舍去）。 9、解：配方得，开平方得，解得。 10、解：，，，，，解得，。 11、解：由题意得且，解得，即且。 12、解：设每件衬衫降价元，列方程，化简得，因式分解得，解得，，答：每件衬衫应降价10元或20元。 13、解：设宽为cm，则长为cm，列方程，化简得，因式分解得，解得，（舍去），长为cm，答：长方形的长为10cm，宽为8cm。 学科网（北京）股份有限公司 $