2026年中考数学总复习讲义 ：一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程叫做一元二次方程。
（2）标准形式：
（其中
、
、
是常数，且
），
为未知数。是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
（3）核心特征：① 单未知数；② 未知数最高次数为2；③ 整式方程（分母不含未知数）；④ 二次项系数不为0。
（4）【易错警示】① 忽略的条件，如
不是一元二次方程；② 未化简直接判断，如
化简后为
，是一元一次方程。
（5）示例：
、
是一元二次方程；
（分母含未知数）、
（二元）不是。
1、直接开平方法：
（1）适用条件：方程可化为
（
）的形式。
（2）解题步骤：① 把常数项移到等号右边，整理为；② 当时，两边直接开平方得
；③ 解得
（
时无实数解）。
（3）示例：解方程
，开平方得
，解得
，
。
2、配方法：
（1）核心思路：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。
（2）解题步骤：① 二次项系数化为1（方程两边同除以）；② 移项（常数项移到等号右边）；③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）；④ 化为标准平方形式；⑤ 开平方求解。
（3）示例：解方程
，① 系数已为1；② 移项得
；③ 配方得
，即
；④ 开平方得
；⑤ 解得，
。
（4）【易错警示】配方时漏加一次项系数一半的平方，或二次项系数不为1时直接配
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方。
3、公式法：
（1）求根公式：对于一元二次方程（），当
时，根为
。
（2）解题步骤：① 化为标准形式，确定、、的值；② 计算判别式
；③ 当
时，代入公式求解；
时无实数解。
（3）示例：解方程
，
，
，
，
，解得
。
4、因式分解法：
（1）核心思路：将方程化为两个因式的积等于0的形式，即
，则
或
。
（2）适用条件：方程右边为0，左边可因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）。
（3）示例：解方程
，提公因式得
，解得
，
；解方程
，用平方差公式得
，解得
，
。
（3）【易错警示】因式分解后未令每个因式为0，直接求解导致漏解。
1、定义：对于一元二次方程（），叫做根的判别式。
2、符号意义：
：方程有两个不相等的实数根；
：方程有两个相等的实数根（记作
）；
：方程无实数根。
3、核心应用：① 判断方程实数根的个数；② 由根的情况求字母系数的取值范围。
4、【易错警示】忽略二次项系数的前提，仅根据
判断系数取值范围。
1、解题核心：找出实际问题中的等量关系，列出一元二次方程，求解后检验解是否符合实际意义。
2、常见应用题型及等量关系：
增长率问题：最终量=初始量×
增长率
（
为增长次数）；
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