综合与实践二《制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件围绕“制作最大容积无盖长方体收纳盒”，从手工课情境导入，通过裁剪折叠操作抽象出数学问题，关联长方体展开折叠、字母表示数等知识，搭建从直观到代数再到规律探究的学习支架。 其亮点在于以项目式学习引导学生经历“实际问题—数学抽象—模型建立—数据探究”过程，培养数学眼光的抽象能力、空间观念，数学思维的运算推理，数学语言的模型与数据意识，如用代数式表示容积并通过数据规律发现最大容积条件，助力学生提升实践能力，为教师提供结构化教学流程。

综合与实践二 制作一个尽可能大的无盖的长方体形收纳盒 2024版北师大数学七年级数学上册 学习目标 1.通过动手操作能掌握用正方形纸片制作无盖长方体收纳盒的裁剪方法，经历“从实际问题抽象出数学问题—建立数学模型—综合运用已有知识解决问题”的过程. 2.解决问题的过程中，能推导无盖长方体收纳盒的容积代数式，并计算不同高度下的容积，提升知识综合应用能力. 3.能通过数据探究，发现无盖长方体收纳盒容积随高度变化的规律，找到容积尽可能大的设计方案,能全程参与项目式学习，逐步积累数学实践活动的相关经验. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 手工课要做无盖长方体收纳盒装文具，大家都想让自己的盒子装最多东西，那怎么设计这个盒子，才能让它的容积最大呢？今天咱们就一起用数学方法解决这个实际问题！ 问题:如何对正方形硬纸板进行裁剪与参数设计,使制成的无盖长方体收纳盒的容积尽可能大？ 4 问题构建 问题1:手工课上,老师给每人发了一张边长20cm正方形硬纸板,要求制作一个无盖长方体收纳盒.怎样才能折成一个无盖长方体盒子？ 追问:刚才的操作关联了本学期学习的哪个知识？ 长方体的展开与折叠 问题构建 问题2:收纳盒要“尽可能大”,这里的大指什么？ 收纳盒 数学抽象 长方体 体积大 追问:生活中还有哪些地方需要设计最大容积的容器？ 纸箱 鱼缸 问题构建 问题3:如何用正方形纸板裁剪出无盖长方体的展开图？ 剪去4个相同的小正方形作为高，剩余部分折成长方体底面,如右图所示. 追问1:剪去的小正方形边长与长方体高、底面的长、宽有什么关系？ 小正方形的边长=长方体的高 长方体底面是正方形，所以长和宽相等. 长方体的长+2个小正方形边长=20 问题构建 追问2:我们已经设小正方形边长,你能用含的代数式表示底面正方形的边长吗？这里关联了本学期学习过的哪个知识点？ 长方体的高: 底面正方形边长：20-2 字母表示数、列代数式 追问3:如果用V表示长方体的体积，你能用含的代数式表示V吗？ V= (20-2)(20-2)或V= 问题构建 随着的改变,V的变化有规律吗？分小组进行探究. 用一张边长为20cm的正方形纸片制作一个无盖长方体形盒子，无盖长方体形盒子的高度按整数值从小到大变化，将相应长方体形盒子的容积填入下表： /cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V/ 当=1时，V= 追问4:以上运算属于本学期学习过的哪种运算？ 代数式求值 协作破冰 /cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 问题4:观察表中数据,随着高的增大,容积V有怎样的变化规律？ 随着高的增大,容积V先增大后减小 追问1:为了得到长方体收纳箱的最大体积，目前表格中的哪个数据是最大的？ =3时，V=588 追问2:这个588一定是最大体积吗？你是怎样判断的？ 不一定，比3大的数可能超过588，需要计算验证. /cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 协作破冰 根据条形统计图回答后续的问题 标题 盒子容积 V/cm3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 协作破冰 追问3:高度未必都是整数值，你估计在哪个范围内取值时V最大？ 3＜＜4 追问4:改变的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体形盒子吗？你是怎么做的？ =3.2cm，V=591.88 =3.3cm，V=592.55 =3.4cm，V=592.42 =3.5cm，V=591.5 3.3＜＜3.4之间 追问5:观察上面的数据，对于的范围，你估计的结果是什么？ 3.3＜＜3.4 协作破冰 追问6:观察老师提供的数据表格，大胆猜想，我们需要的最大的容积值对应的是多少？ /cm 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 V/ 592.50 592.58 592.61 592.59 592.53 592.42 592.27 592.07 591.83 /cm 3.331 3.332 3.333 3.334 3.335 3.336 3.337 3.338 3.339 V/ 592.61 592.61 592.61 592.61 592.61 592.60 592.60 592.59 592.58 由上面三组表格数据的变化趋势不难看出，=3.33333…… 用分数表示可得：=，此时V=592.60，是边长为20cm正方形做出的最大体积的盒子 教师示范 追问7:如果正方形纸片的边长不是20cm呢？ 当正方形纸片边长为10cm,研究可得：当=时，V最大. 当正方形纸片边长为20cm,研究可得：当=时，V最大. 当正方形纸片边长为40cm,研究可得：当=时，V最大. 当正方形纸片边长为100cm,研究可得：当=时，V最大. 无论正方形纸片的边长是多少，按照刚才的研究思路，我们都可以得出最大容积对应的得值，如果有足够的数据支持，应该可以借助第三章学习过的探索规律找到答案. 追问8:借助探索规律，猜想，当正方形纸片边长为时，怎样制作容易最大？ 当时，V最大 教师示范 1.填空：用边长acm的正方形纸板制作无盖长方体，高为hcm，则底面边长为 cm，容积V= cm³（用含a,h的代数式表示） 2.计算：当a=20，h=2时，V=______cm³ 3.判断：h越大，V一定越大（ ） 4.若h取非整数值，如何找到V最大时的h？ 答案：a-2h；(a-2h)²h 答案：(20-4)²×2=16²×2=512 答案：× 根据刚才的研究过程，回答下列问题： 巩固拓展 1.我们经历了怎样的探究过程？ 2.遇到的最大困难是什么？如何克服？ 3.用到了哪些数学知识？ 4.这个探究对以后学数学有什么启发？ 反思研究的全部过程，回答下列问题： 从“怎么裁剪”→“怎么表示容积”→“算数据找规律”→“试非整数求最大” 整式运算、代数式、数据观察、估算思想，关联第三、五、六章 如“计算量大”→分工计算；“规律不明显”→画图观察数据趋势；“非整数不会算”→教师示范试值法 “用数学解决实际问题”“变量间的关系需要具体分析” 第五小组研究报告示例 巩固拓展 巩固拓展 问题5:通过两节综合与实践活动课的学习，开展综合与实践活动的一般步骤是怎样的？ 确定主题 /问题 设计方案 实践操作/ 收集数据 撰写研究报告 得出结论 分析数据 /找规律 反思与拓展 反思总结 1.在“设计最大容积收纳盒”的整个探究过程中，你认为最关键的步骤是什么？为什么？ 2.探究过程中你遇到了哪些问题（比如计算、裁剪、规律分析）？是通过什么方法解决的？ 3.这节课后，你觉得数学知识在解决“让收纳盒装更多物品”这类实际问题时，起到了怎样的作用？ 作业设计 一、基础巩固作业： 每个人交一份手工作业，一个无盖的长方体形收纳纸盒. 二、素养类作业 撰写关于制作无盖的长方体形收纳盒的研究报告. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $