微专题2 三角恒等变换与解三角形 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换与解三角形核心考点，涵盖三角函数式化简求值、性质研究及正余弦定理应用等高考热点，按“基础变换—性质应用—解三角形综合”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、典例精讲、真题训练和分层练习四个环节，帮助学生突破公式应用、边角互化等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合高考真题与模拟题，采用“考点解析—方法提炼—精准练习”教学策略，如在解三角形面积问题中，引导学生通过向量数量积与正余弦定理结合建立模型，培养数学思维与数学语言表达能力。分层设计单选、多选、解答题训练，配合即时反馈机制，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微专题2　三角恒等变换与解三角形 近几年高考：1.利用三角恒等式及其变换对三角函数式化简、求值是高考命题的热点,常以选择题、填空题的形式考查,难度中档偏下. 2.利用三角恒等变换研究三角函数的性质,是高考常见题型,多为中档题. 3.应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长等的计算,既有选择、填空题,也有解答题,难度为中档或偏下. 一、高考真题 1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,=,则=(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题得cos α=2cos 2-1=2×-1=-, 因为0<α<π,所以sin α==, 所以=(sin α-cos α)=×=. 2.(2024·全国甲卷)已知=,则tan =(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 答案　B 解析　根据题意有=, 即1-tan α=, 所以tan α=1-, 所以tan ===2-1. 3.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 答案　A 解析　由题意,得cos A===, 因为0°<A<180°,所以A=45°. 4.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　) A.sin C=sin 2A+sin 2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 答案　ABC 解析　由cos 2A+cos 2B+2sin C=1-2sin 2A+1-2sin 2B+2sin C=2,得sin 2A+sin 2B=sin C,A正确; 由cos Acos Bsin C=可知A,B皆为锐角; 若A+B<,则sin 2A+sin 2B<sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合题意, 若A+B>,则sin 2A+sin 2B>sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合题意, 所以C=A+B=, 所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0, 又cos Acos Bsin C=cos Acos B=, 所以sin Asin B=. 因为S△ABC=AC·BCsin C=AC·BC=,所以AC·BC=, 所以AB2===2, 故AB=,B正确; (sin A+sin B)2=sin 2A+sin 2B+2sin Asin B=1+2sin Asin B=1+2×=, 所以sin A+sin B=,C正确; AC2+BC2=AB2=2,D错误.故选ABC. 5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角, tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　由题知tan (α+β)===-2, 即sin(α+β)=-2α+β), 又sin 2(α+β)+cos 2(α+β)=1, 可得sin(α+β)=±. 由2kπ<α<2kπ+,k∈Z, 2mπ+π<β<2mπ+,m∈Z, 得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z. 又tan (α+β)<0,所以α+β是第四象限角, 故sin(α+β)=-. 6.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解　(1)由余弦定理得cos C==, 又0<C<π,∴C=, ∴B=sin C=,∴cos B=. 又0<B<π,∴B=. (2)由(1)得A=π-B-C=, 由正弦定理=, 得=,∴a=c. ∴△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+, 解得c=2. 二．典型例题 1　化简、求值 例1 (1)的值为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·合肥模拟)已知tan α=2,则=(　　) A.- B.-3 C.3 D.±3 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)= ==. (2)因为tan α=2, 所以= = = ==-3. 训练1 (1)(2025·广东部分名校模拟)的值为　　　　.  (2)(2025·兰州诊断)已知α∈,β∈,若sin(α+β)=,cos β=,则cos α=　　　　.  答案　(1)2　(2)- 解析　(1)tan 80°-tan 20° =tan (80°-20°)(1+tan 80°·tan 20°) = = = = =, 所以=2. (2)由α∈,β∈, 得α+β∈, 而sin(α+β)=,故α+β∈, ∴cos(α+β)=-=-, 由cos β=,β∈, 可得sin β=, 则cos α=cos [(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β =-×+×=-. 2.求角问题 例2 (1)(2025·九江二模)已知α,β ∈,cos(α-β)=,tan α·tan β=,则α+β=　　　　.  (2)已知α∈,且4cos α-tan =,则α=　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)因为cos(α-β)=, tan α·tan β=, 所以 解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 又α,β∈,所以α+β∈(0,π), 所以α+β=. (2)4cos α-tan =4cos α- =4cos α-= ==, 所以2sin 2α=α+cos α=2. 因为α∈, 所以2α∈,α+∈, 则2α=α+或2α+α+=π, 得α=(舍去)或α=. 训练2 (1)(2025·盐城模拟)已知tan (β-α)=,tan α=-,α,β∈(0,π),则2β-α的值是(　　) A.- B. C. D.- (2)(2025·长春摸底)若α,β∈,且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是(　　) A.2α+β= B.2α-β= C.α+β= D.α-β= 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)法一　因为tan (β-α)=, tan α=-<0,α,β∈(0,π), 所以α∈,tan β=tan [(β-α)+α]==∈(0,1), 可知β∈,则2β-α∈(-π,0), 又因为tan 2β===, 所以tan (2β-α)===1, 所以2β-α=-.故选D. 法二　因为tan (β-α)=, tan α=-<0,α,β∈(0,π), 所以α∈,tan β=tan [(β-α)+α]==∈(0,1), 可知β∈,则2β-α∈(-π,0), 所以tan (2β-α)=tan [(β-α)+β]===1, 所以2β-α=-.故选D. (2)因为α,β∈,所以sin α≠0. 由(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β, 可得2sin 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β, 即sin α(1+sin β)=cos αcos β. 所以sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), 所以cos(α+β)=, 因为α,β∈,所以π<α+β<2π, 且-<-α<0, 根据函数y=cos x的图象易知α+β=-α+2π, 则2α+β=. 3.利用正、余弦定理求边或角 例3 (1)(2025·广州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=acos B+bcos A=1, sin C=,则(　　) A.b=1 B.b= C.c= D.c= (2)(2025·安徽A10名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,且=2(1+B),则B=(　　) A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)法一　因为a=acos B+bcos A, 所以由正弦定理可得 sin A=sin Acos B+sin Bcos A, 即sin A=sin(A+B)=sin C, 又sin C=,所以sin A=, 因为A,C∈(0,π)且A+C∈(0,π), 所以A=C=,所以B=, 又a=1,所以c=1,b==.故选B. 法二　根据三角形中的射影定理c=acos B+bcos A. 因为a=acos B+bcos A=1,所以有a=c=1, 所以△ABC是等腰三角形,sin C=sin A=, 故A=C=, 则B=,所以b=. (2)由=2(1+B)及正弦定理得=2(1+B), 即b2=2a2(1+B), 由a=c及余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=2a2(1-cos B), ∴2a2(1+B)=2a2(1-cos B), ∴B=-cos B,∴tan B=-. 又0<B<π,∴B=. 训练3 (1)(2025·赣州调研)在△ABC中,AB=,AC=2,C=120°,则sin A=(　　) A. B. C. D. (2)(2025·烟台质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)∵AB=,AC=2,C=120°, ∴由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C可得BC2+2BC-3=0, 解得BC=1(负值舍去), ∴由正弦定理可得sin A==. (2)因为2bcos C=a(2-c), 所以2abcos C=a2(2-c), 由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C, 则a2+b2-c2=a2(2-c), 则a2+c2-b2=a2c, 又a2+c2-b2=2accos B, 所以a2c=2accos B, 又B=,所以a=1. 4.三角形的面积问题 例4 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin Acos B+bsin Acos A=acos C. (1)求角C的大小; (2)若a=3,且·=1,求△ABC的面积. 解　(1)法一　因为asin Acos B+bsin Acos A=acos C, 所以根据正弦定理得 sin Asin Acos B+sin Asin Bcos A=Acos C, 因为sin A≠0, 所以sin Acos B+sin Bcos A=C, 即sin(A+B)=C,即sin C=C. 因为cos C≠0,所以tan C=. 因为0<C<π,所以C=. 法二　由三角形内的射影定理知 acos B+bcos A=c, 所以asin Acos B+bsin Acos A=(acos B+bcos A)sin A=csin A=acos C, 又由正弦定理得sin Csin A=Acos C, 因为sin A≠0,所以sin C=C, 因为cos C≠0,所以tan C=, 因为0<C<π,所以C=. (2)·=bccos A=1. 因为a2=b2+c2-2bccos A, 所以b2+c2=9+2bccos A=11.① 因为c2=a2+b2-2abcos C, 所以b2-c2=2abcos C-a2 =2×3×b×-32=3b-9.② 联立①②可得2b2-3b-2=0, 解得b=2(负根舍去), 故△ABC的面积为 absin C=×3×2×=. 训练4 如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2,AB=. (1)求角A的大小; (2)若△BCD的面积为,求BC. 解　(1)因为cos A=2 =2=2=sin A, 可得tan A==1, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)作BE⊥AC,垂足为E, 在△ABD中,由A=, AB⊥BD,知△ABD为等腰直角三角形, 因为AB=,所以BD=,AD=2,BE=1, 由△BCD的面积为BE·CD=, 解得CD=1, 可得AC=AD+CD=3, 所以BC==. 【精准强化练习2】 一、单选题 1.(2025·山东名校联考)已知=,则的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　= =-=2sin 2-1=-. 2.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=7,b=3,c=5,则(　　) A.△ABC为锐角三角形 B.△ABC为直角三角形 C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定 答案　C 解析　由于cos A===<0, 故A为钝角,进而△ABC为钝角三角形. 3.(2025·河南名校联考)已知α∈,=,则tan α=(　　) A. B. C.2 D.4 答案　A 解析　由=得sin 2α=, 所以2sin αcos α=, 则=,即=, 解得tan α=4或tan α=. 又α∈,所以0<tan α<1,所以tan α=. 4.(2025·北京门头沟区模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120°,a=,b-c=1,则△ABC的面积为(　　) A.B. C. D. 答案　A 解析　cos A===-, 解得c=2(负值舍去),则b=3, 所以S△ABC=bcsin A=×2×3×=. 5(2025·宁波调研)已知=,那么tan =(　　) A.- B.±2 C. D.2 答案　B 解析　因为=, 所以===, 则=±=±, 所以tan ==±2. 6.(2025·池州模拟)已知角α,β∈(0,π),tan (α+β)=,cos β=,则角2α+β=(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵β∈(0,π),cos β=, ∴β∈,sin β=,tan β=, 由tan (α+β)===, 解得tan α=,∴α∈,且0<α+β<, ∴tan (2α+β)=tan [(α+β)+α]===1, ∵2α+β∈,∴2α+β=. 7.(2025·重庆段测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc=a2.若b=,a=3B,则C=(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中,由b2+c2+bc=a2及余弦定理得cos A==-, 又0<A<π,所以A=, 又b=,a=3B, 所以由正弦定理得sin B====, 而sin B>0,解得sin B=, 又0<B<,所以B=, 所以C=π-A-B=. 8.(2025·西安模拟)在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方向.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B则向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标,接着A改向向西偏北方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A.7千米 B.8千米 C.9千米 D.10千米 答案　D 解析　结合题意作出图形,AC=BC=18,AB=14,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=, 在△ABC中,由余弦定理得cos θ==, 因为cos 2==,且>0, 所以=, 在△ABM中,由余弦定理得==,解得MB=10. 二、多选题 9.(2025·昆明诊断)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足下列条件的三角形有两个解的是(　　) A.c=54,b=39,C=120° B.b=11,a=20,B=30° C.a=2,b=6,A=30° D.b=26,c=15,C=30° 答案　BD 解析　对于A,sin B==<1, 又b<c,只有一解,不合题意; 对于B,sin A==<1, 又asin B<b<a,则有两解,符合题意; 对于C,sin B==>1, 则B不存在,无解,不合题意; 对于D,sin B==<1, 又bsin C<c<b,则有两解,符合题意. 10.(2025·清远质检)已知tan α-tan β=tan (α-β),其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z),则下列结论一定正确的是(　　) A.sin αsin β=0 B.sin(α-β)=0 C.cos(α-β)=0 D.sin 2α+cos 2β=1 答案　BD 解析　因为tan α-tan β=tan (α-β), 其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z), 所以tan α-tan β=- = ==, 所以sin(α-β)=0或cos(α-β)=cos αcos β, 即sin(α-β)=0或sin αsin β=0. 因为α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z), 所以sin αsin β≠0,所以sin(α-β)=0,B正确,A错误; 因为sin(α-β)=0,所以α-β=nπ,n∈Z, 所以cos(α-β)=±1,C错误; 因为α-β=nπ,n∈Z, 所以sin 2α+cos 2β=sin 2(nπ+β)+cos 2β=sin 2β+cos 2β=1,D正确. 11.(2025·湖南教研联盟联考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=b(a+b),则(　　) A.c<b B.C=2B C.B∈ D.∈(0,3) 答案　BCD 解析　对于A,因为c2=b(a+b),a+b>c>0, 所以c2>bc,所以c>b,所以A错误; 对于B,因为c2=b(a+b), 所以由余弦定理得cos B=====, 所以由正弦定理得cos B=, 所以sin C=2sin Bcos B=sin 2B, 因为C∈(0,π),2B∈(0,2π), 所以C=2B或C+2B=π, 若C+2B=π,则A=B, 所以a=b,此时c2=b(a+b)=a2+b2, 所以C=,则A=B=, 此时C=2B,所以B正确; 对于C,由选项B可知C=2B, 所以B+C=3B∈(0,π), 所以B∈,所以C正确; 对于D,由正弦定理得 ==== ==cos 2B+ =2cos 2B-1+2cos 2B=4cos 2B-1, 因为B∈, 所以cos B∈, 所以cos 2B∈, 所以4cos 2B∈(1,4), 所以4cos 2B-1∈(0,3), 所以∈(0,3),所以D正确. 三、填空题 12.=　　　　.  答案　- 解析　法一　 = = = =-. 法二　= ==-. 法三　 = ==-. 13.已知+=,则=　　　　.  答案　- 解析　法一　因为+=, 所以-=. 两边平方得1-=, 则=, 故==-=-. 法二　由+ =2==, 得=, ∴=2cos 2-1=2×-1=-. 14.(2025·武汉质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin Asin B=,且△ABC的面积为,则边c的值为　　　　.  答案　 解析　因为cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin A·sin B, 所以1-sin 2C-(1-sin 2B)+sin 2A=sin Asin B, 即sin 2B+sin 2A-sin 2C=sin Asin B, 由正弦定理角化边得b2+a2-c2=ab, 所以cos C===, 又C∈(0,π),所以C=, 由正弦定理===,即=, 即c2=ab. 又△ABC的面积S△ABC=absin C=, 所以ab=4,则c2=6,解得c=. 四、解答题 15.(2025·温州模拟)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2csin B=b. (1)求角C的大小; (2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC的面积. 解　(1)由2csin B=b得2sin C·sin B=B, 又B为三角形内角,所以sin B>0,得sin C=, 又C为三角形内角,所以C=. (2)由tan A=-tan (B+C)=tan B+tan C 得-=tan B+tan C, 又tan B+tan C≠0, 所以tan Btan C=2,故B,C∈, 由(1)得C=,tan C=1,所以tan B=2, 所以tan A=tan B+tan C=3, 又A为三角形内角,所以sin A=. 由正弦定理== 解得c=, 又tan B=2,且B为三角形内角, 故sin B=, 所以S△ABC=acsin B=×2××=. 16.(2025·成都段考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0. (1)求角A的大小; (2)若a=2,△ABC的面积为,判断△ABC的形状. 解　(1)由正弦定理知sin Acos C+Asin C-sin B-sin C=0, 而sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C), ∴sin Acos C+Asin C-sin(A+C)-sin C=0, 即Asin C-cos Asin C-sin C=0, 又C∈(0,π),∴sin C≠0, ∴A-cos A=2=1, 即=, 又0<A<π, ∴A-∈. ∴A-=,则A=. (2)由题意得 ∴ 将b=代入b2+c2=8, 整理得c4-8c2+16=0, 则c2=4, 即c=2(c=-2舍去),则b=2, ∴a=b=c=2, ∴△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题2　三角恒等变换与解三角形 近几年高考：1.利用三角恒等式及其变换对三角函数式化简、求值是高考命题的热点,常以选择题、填空题的形式考查,难度中档偏下. 2.利用三角恒等变换研究三角函数的性质,是高考常见题型,多为中档题. 3.应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长等的计算,既有选择、填空题,也有解答题,难度为中档或偏下. 一、高考真题 1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,=,则=(　　) A. B. C. D. 2.(2024·全国甲卷)已知=,则tan =(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 3.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 4.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　) A.sin C=sin 2A+sin 2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角, tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  6.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 二．典型例题 1　化简、求值 例1 (1)的值为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·合肥模拟)已知tan α=2,则=(　　) A.- B.-3 C.3 D.±3 训练1 (1)(2025·广东部分名校模拟)的值为　　　　.  (2)(2025·兰州诊断)已知α∈,β∈,若sin(α+β)=,cos β=,则cos α=　　　　.  2.求角问题 例2 (1)(2025·九江二模)已知α,β ∈,cos(α-β)=,tan α·tan β=,则α+β=　　　　.  (2)已知α∈,且4cos α-tan =,则α=　　　　.  训练2 (1)(2025·盐城模拟)已知tan (β-α)=,tan α=-,α,β∈(0,π),则2β-α的值是(　　) A.- B. C. D.- (2)(2025·长春摸底)若α,β∈,且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是(　　) A.2α+β= B.2α-β= C.α+β= D.α-β= 3.利用正、余弦定理求边或角 例3 (1)(2025·广州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=acos B+bcos A=1, sin C=,则(　　) A.b=1 B.b= C.c= D.c= (2)(2025·安徽A10名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,且=2(1+B),则B=(　　) A. B. C. D. 训练3 (1)(2025·赣州调研)在△ABC中,AB=,AC=2,C=120°,则sin A=(　　) A. B. C. D. (2)(2025·烟台质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 4.三角形的面积问题 例4 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin Acos B+bsin Acos A=acos C. (1)求角C的大小; (2)若a=3,且·=1,求△ABC的面积. 训练4 如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cos A=2,AB=. (1)求角A的大小; (2)若△BCD的面积为,求BC. 【精准强化练习2】 一、单选题 1.(2025·山东名校联考)已知=,则的值为(　　) A. B.- C. D.- 2.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=7,b=3,c=5,则(　　) A.△ABC为锐角三角形 B.△ABC为直角三角形 C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定 3.(2025·河南名校联考)已知α∈,=,则tan α=(　　) A. B. C.2 D.4 4.(2025·北京门头沟区模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120°,a=,b-c=1,则△ABC的面积为(　　) A.B. C. D. 5(2025·宁波调研)已知=,那么tan =(　　) A.- B.±2 C. D.2 6.(2025·池州模拟)已知角α,β∈(0,π),tan (α+β)=,cos β=,则角2α+β=(　　) A. B. C. D. 7.(2025·重庆段测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc=a2.若b=,a=3B,则C=(　　) A. B. C. D. 8.(2025·西安模拟)在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方向.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B则向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标,接着A改向向西偏北方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A.7千米 B.8千米 C.9千米 D.10千米 二、多选题 9.(2025·昆明诊断)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足下列条件的三角形有两个解的是(　　) A.c=54,b=39,C=120° B.b=11,a=20,B=30° C.a=2,b=6,A=30° D.b=26,c=15,C=30° 10.(2025·清远质检)已知tan α-tan β=tan (α-β),其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z),则下列结论一定正确的是(　　) A.sin αsin β=0 B.sin(α-β)=0 C.cos(α-β)=0 D.sin 2α+cos 2β=1 11.(2025·湖南教研联盟联考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=b(a+b),则(　　) A.c<b B.C=2B C.B∈ D.∈(0,3) 三、填空题 12.=　　　　.  13.已知+=,则=　　　　.  14.(2025·武汉质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin Asin B=,且△ABC的面积为,则边c的值为　　　　.  四、解答题 15.(2025·温州模拟)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2csin B=b. (1)求角C的大小; (2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC的面积. 16.(2025·成都段考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0. (1)求角A的大小; (2)若a=2,△ABC的面积为,判断△ABC的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $