精品解析：海南省儋州市2025-2026学年高二上学期学业监测数学试题

儋州市2025年秋季学期高二年级学业监测试题 数学 考生注意： 1.本试卷共150分，考试时间120分钟. 2.作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 2. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是 A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分.） 9. 已知空间向量，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与同向的单位向量是 10. 已知直线和圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 当时，直线被圆截得弦长等于2 D. 当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C. 若曲线表示椭圆，且焦距为，则或 D. 若曲线表示双曲线，则它的渐近线方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 13. 已知向量，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为__________. 14. 天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.）、 15. 某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： （1）两人都获奖的概率； （2）两人中恰有一人获奖的概率； （3）两人中至少有一人获奖的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的右焦点为，过焦点的直线与椭圆交于两点，且弦长，求直线的斜率. 18. 某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. （1）求该抛物线形拱门方程； （2）一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 19. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市2025年秋季学期高二年级学业监测试题 数学 考生注意： 1.本试卷共150分，考试时间120分钟. 2.作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 2. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的乘法公式求出，再由和事件的概率公式求. 【详解】因为事件相互独立， 所以， 所以， 故选：A 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 4. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的半焦距为，求出抛物线的焦点坐标，即可求，由椭圆离心率可求，再根据可求，即可得椭圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为, 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， 所以. 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 6. 甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为和棋概率为，乙获胜概率为，所以甲获胜概率是，故选C. 考点：概率． 7. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解. 【详解】连接， 由于分别为的中点，故，又，因此, 因此或其补角即为所成角， 由于，故， 因此， 故选：A 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】通过椭圆与双曲线的定义得到焦点弦长的和与差，结合余弦定理建立等式，联立推导得出、与的关系，代入离心率表达式计算得结果. 【详解】设，，由椭圆定义得，由双曲线定义得（不妨设）. 由余弦定理，，即. 由得，代入上式得，故. 由，得，即. 联立得，整理得. 因，，故，， 则. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分.） 9. 已知空间向量，则下列结论正确有（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与同向的单位向量是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式，可判定A正确；根据空间向量的数量积的坐标运算公式，可判定B错误；根据向量的夹角公式，可判定C错误；根据同向的单位向量的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 10. 已知直线和圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 当时，直线被圆截得的弦长等于2 D. 当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用圆心到直线的距离等于半径求解判断B，根据半弦长、半径、弦心距的关系求解判断C，由直线过圆心判断D. 【详解】由圆可知圆心，半径， 对于A，方程可化为， 由得，故直线恒过定点，故A正确， 对于B，当与圆相切时，则圆心到直线距离，解得， 即存在，使得直线与圆相切，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心到直线距离， 则直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，当时，直线方程为，圆心在直线上，故圆上存在2个点到直线的距离等于1，故D错误. 故选：AB 11. 已知曲线，则下列结论正确是（ ） A. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C. 若曲线表示椭圆，且焦距为，则或 D. 若曲线表示双曲线，则它的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程及性质，对各选项逐一进行分析. 【详解】对于A，当时，曲线方程为，此时曲线是焦点在轴上的双曲线，故A错误， 对于B，当时，曲线符合焦点在轴上的椭圆的标准方程，故B正确， 对于C，若曲线表示椭圆，则且， 当焦点在轴上时，，则，又焦距为， ，，即， 当焦点在轴上时，，则，又焦距为， ，，即， 综上，或，故C正确， 对于D，若曲线表示双曲线，则，此时曲线方程为， 它的渐近线方程为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质即可得解. 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又为正方形，，所以， 则， 在中，. 故答案为： 13. 已知向量，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示列式，再结合二次函数的最值求解. 【详解】因点在直线上运动，可设， 所以，， 所以. 所以当时，取得最小值. 此时点坐标为. 故答案为： 14. 天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可得. 【详解】至少有一个地区降雨的概率为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.）、 15. 某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： （1）两人都获奖的概率； （2）两人中恰有一人获奖的概率； （3）两人中至少有一人获奖的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B，两人都获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式可得答案； （2）两人中恰有一人获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式可得答案； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，然后由对立事件概率计算公式可得答案. 【小问1详解】 设甲，乙获奖分别为事件A，B.则， 两人都获奖为事件，则； 【小问2详解】 两人中恰有一人获奖为事件， 则 ； 【小问3详解】 两人至少有一人获奖的对立事件为，则两人至少有一人获奖的概率为：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）0 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由底面可得，进而得到平面，然后得到平面，最后由面面垂直的判定定理即可求解. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接，则为的中点， 又点为棱中点，所以，因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 依题意，底面，底面，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以； 因为，点为棱的中点，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以平面平面； 所以平面与平面夹角为，即平面与平面夹角的余弦值为0. 17. 已知椭圆的右焦点为，过焦点的直线与椭圆交于两点，且弦长，求直线的斜率. 【答案】 【解析】 【分析】分直线的斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式可得，结合已知可求得直线的斜率. 【详解】由椭圆，得椭圆，所以， 解得，所以椭圆的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，与椭圆两交点， 所以，故不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消去得，， 整理得，因为直线过椭圆焦点，必有, 设，则由韦达定理得， 所以 又因为，所以，所以， 所以，解得. 所以，直线的斜率. 18. 某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. （1）求该抛物线形拱门的方程； （2）一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 【答案】（1）； （2）米. 【解析】 【分析】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，分析抛物线所过点的坐标即可代入求解； （2）过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点，求出点的纵坐标，然后可得，结合实际意义可得. 【小问1详解】 按照题目要求建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知，抛物线的标准方程为，且过点， 则，解得，由实际意义可知，， 所以该抛物线形拱门的方程为. 【小问2详解】 由对称性可知，当货车的左右两侧的车厢距离抛物线的对称轴米时，可通过的车辆高度最大. 过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点， 令，代入得， 所以，由实际意义可知货车车厢的最大允许高度为米. 19. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助离心率定义与所过点计算即可得； （2）设出点、坐标，再利用向量性质可得点、坐标关系，利用双曲线方程计算可得、坐标，即可得直线的斜率，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $