精品解析：海南省儋州市某校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年高二上学期数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】，所以. 故选：B 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误. 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减， 故在区间上为减函数，B正确； C选项，当时，，故， 所以关于中心对称，C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误. 故选：AB 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】 如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求． 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是． 故答案为：． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【小问1详解】 由题意，，则； 【小问2详解】 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. （2卷） 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. （1）求与的夹角余弦值 （2）求证平面 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量的异面直线夹角公式求解即可； （2）法一求出面的法向量，再利用空间向量关系证明即可；法二取中点，连接，，利用中位线证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； 【小问1详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，故，， ， ， 与的夹角余弦值为. 小问2详解】 法一：设平面的法向量为， 由（1）得，，， 则有，令，得， 即平面. 法二：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 18. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 【答案】（1），中位数是分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数. （2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率. 【小问1详解】 依题意，，解得. 前三组的频率为， 所以中位数为分. 【小问2详解】 的频率为，的频率为，两者的比例是， 所以抽取的名学生中，中的有人，记为； 在中的有人，记为； 从中抽取人，基本事件有， 共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是： ，共种，故所求概率为. 19. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， 【小问2详解】 平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设， ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都真命题 D. 和都是真命题 3. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角60° D. 直线与直线的距离是 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. （2卷） 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. （1）求与的夹角余弦值 （2）求证平面 18. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 19. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$