2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，系统涵盖配方法的“化移配解”步骤、根的判别式应用及韦达定理，通过“逐点清”结构衔接知识脉络，从基础变形到综合应用搭建学习支架。 其亮点在于采用“概念解析—微点练明—思维建模”教学法，结合数学思维的推理能力（如判别式充要条件分析）和运算能力（配方法步骤拆解），数学语言的模型意识（代数式变形含两根和与积）。实例中“微点练习”拆解配方步骤，“典例”用韦达定理求代数式值，助力学生深化理解，教师可借系统练习提升教学效率。

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学] 课时目标 掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用;理解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 逐点清(二)　一元二次方程根的 判别式的应用 逐点清(三)　一元二次方程根与 系数的关系的应用 4 课时检测 逐点清(一) 配方法解一元二次方程 01 多维理解 (1)“化”:将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1; (2)“移”:将常数项移到方程右边; (3)“配”:方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数; (4)“解”:若右边是非负数，则直接开平方求解;若右边是一个负数，则此方程无实数解. 1.用配方法解一元二次方程x2-6x=1时，方程两边应同时加上 (　 ) A.3　 B.9 C.6 D.36 微点练明 解析:x2-6x=1两边应同时加上9，变为(x-3)2=10. √ 2.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0，此方程可变形为 (　 ) A.(x+2)2=1 B.(x+2)2=9 C.(x-2)2=9 D.(x-2)2=1 √ 解析:由x2+4x-5=0可得x2+4x=5，则x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9. 3.用配方法解下列方程: (1)3x2-6x+2=0; 解:方程两边同除以3，得x2-2x+=0. 移项，得x2-2x=-. 配方，得x2-2x+(-1)2=-+(-1)2， 即(x-1)2=，∴x-1=±. ∴x1=1+，x2=1-， ∴方程的解集为. (2)-x2+x-=0. 解:方程两边同除以-，得x2-5x+=0.移项， 得x2-5x=-.配方，得x2-5x+=-+，即=， ∴x-=±.∴x1=，x2=， ∴方程的解集为. 逐点清(二)　一元二次方程根的 判别式的应用 02 多维理解 　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是_______，通常用符号__来表示.利用根的判别式，不解方程就可以判断方程根的情况:当 _____时，方程有两个不相等的实数根;当_____时，方程有两个相等的实数根;当_____时，方程没有实数根. 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，设这个方程的两根为x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=___. b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ Δ<0 - |微|点|助|解| 　　只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其根的判别式为Δ=b2-4ac.(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”;(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ=0”;(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”;(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”. 1.对于任意实数k，关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为 (　 ) A.有两个相等的实数根 　　B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 　　D.无法确定 √ 微点练明 解析:所给的一元二次方程中，a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，故Δ=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2>0.所以此方程有两个不相等的实数根. 2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根. (1)求m的取值范围; 解:关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根，分两种情况讨论: ①当m+1=0，即m=-1时，原方程是一元一次方程，此时方程为-2x-4=0，必有实数根; ②当m+1≠0，即m≠-1时，原方程是一元二次方程，Δ=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12≥0，解得m≥-且m≠-1. 综上可知，m的取值范围为. (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根. 解:∵关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0，解得m=-. ∴方程为-x2-3x-=0. 两边同时乘以-2，得x2+6x+9=0，即(x+3)2=0，解得x1=x2=-3. 故当m=-时，方程有两个相等的实数根-3. 逐点清(三)　一元二次方程根 与系数的关系的应用 03 [典例]　(1)已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，求+的值; [解]　由题知，Δ>0，x1+x2=-6，x1x2=3， ∴+====10. (2)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根. ①求k的取值范围; [解]　∵关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根， ∴Δ≥0， 即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0， 解得k≤，即k的取值范围为. ②若此方程的两实数根x1，x2满足+=11，求k的值. [解]　由题知，x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1， ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3. ∵+=11，∴2k2-6k+3=11， 解得k=4或k=-1， ∵k≤，∴k=-1. |思|维|建|模| 　　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值. [提醒]　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. 1.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为 (　 ) A.5 B.-1 C.2 D.-5 针对训练 √ 解析:设另一个根为x0，则-2+x0=-3，即x0=-1. 2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值; 解:根据题意，得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， 解得m≥-.∴m的最小整数值为-2. (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)2+m2=21，求m的值. 解:根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m2-2. ∵(x1-x2)2+m2=21，∴(x1+x2)2-4x1x2+m2=(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21. 整理得m2+4m-12=0，解得m1=2，m2=-6. ∵m≥-，∴m的值为2. 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是 (　 ) A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.(x-6)2=44 D.(x-3)2=1 √ 解析:由x2-6x-8=0，得x2-6x+32-32-8=0.整理得(x-3)2-17=0， 即(x-3)2=17. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知关于x的方程x2-mx+1=0有两个相等的实数根，下列选项中m可以取的值是 (　 ) A.4 B.2 C.0 D.-1 √ 解析:由已知，得Δ=m2-4=0，即m=±2，所以选项中m可以取的值是2. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.若关于x的一元二次方程(k-2)x2+x+k2-4=0有一个根是0，则k的值是 (　 ) A.-2 B.2 C.0 D.-2或2 √ 15 14 解析:由已知，得k2-4=0且k-2≠0，解得k=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (　 ) A. 　　B. C.(-∞，0)∪ 　　D.∪(0，+∞) 解析:若满足题意，则需m≠0，且Δ=(2m+1)2-4m2=4m2+4m+1-4m2=4m+1>0，解得m>-，且m≠0. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.一元二次方程x2+2x-6=0的根是(　 ) A.x1=x2= 　　B.x1=0，x2=-2 C.x1=，x2=-3 　　D.x1=-，x2=3 √ 解析:由求根公式得x===-±2， ∴x1=，x2=-3. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为 (　 ) A.4 B.-4 C.3 D.-3 解析:由题知，x1+x2=-b，x1x2=-3，则x1+x2-3x1x2=-b-3×(-3)=5， 解得b=4. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1，x2.若+=4m，则m的值是(　 ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 √ 15 14 解析:由题知，解得m>-1且m≠0. ∵x1+x2=，x1x2=，∴+===4m，∴m=2或m=-1. ∵m>-1且m≠0，∴m=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 (　 ) A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c 解析:∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简得(a-c)2=0，所以a=c. 15 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2+x+c-a=0的解集只有一个元素，且方程3cx+2b=2a的根为x=0，则△ABC的形状为(　 ) A.等腰但不等边三角形 　　B.直角三角形 C.等边三角形 　　D.钝角三角形 解析:因为方程x2+x+c-a=0的解集只有一个元素，所以Δ= -4××=0，即a+b=2c　①.又因为方程3cx+2b=2a的根为x=0，所以a=b　②.由①②可得a=b=c，即△ABC为等边三角形. 15 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(多选)等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2-8x-1+m=0的两根，则m的值为 (　 ) A.15 B.16 C.17 D.18 解析:①当3为底时，则a=b.因为a，b是关于x的一元二次方程x2-8x-1+m=0的两根，所以a+b=8，解得a=b=4，此时三角形的三边为3，4，4，这样的三角形存在，所以ab=m-1=16，得m=17;②若3为腰长时，则a，b中有一个为3，不妨设a=3，因为a，b是关于x的一元二次方程x2-8x-1+m=0的两根，所以a+b=8，得b=8-3=5，此时三角形三边为3，3，5，这样的三角形存在，所以ab=m-1=15，得m=16.综上，m=17或m=16. 15 14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)设x1，x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根(x1<x2)，且x1+x2=1，则x1=____，x2=___.  解析:由题知，x1+x2=m=1，则原方程为x2-x-6=0，解得x1=-2，x2=3. 15 14 -2 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根， 且-=10，则a=____.  解析:由题知，x1+x2=5，x1x2=a.∵-=(x1+x2)(x1-x2)=10，∴x1-x2=2，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=25-4a=4，∴a=. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(5分)若关于x的方程(x-2a)(ax+1)+4=0的解集为，则实数a的值为____.  解析:关于x的方程(x-2a)(ax+1)+4=0，可化为ax2+(1-2a2)x-2a+4=0.因为方程(x-2a)(ax+1)+4=0的解集为，所以2和是方程ax2+ (1-2a2)x-2a+4=0的两个实数根，可得=2×，解得a=. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(10分)已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围; (3分) 14 15 解:由题知，⇒ ∴k<且k≠1， 故k的取值范围为(-∞，1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数?如果存在，求出k的值;如果不存在，请说明理由. (7分) 14 15 解:若x1+x2=0，即-=0，k=. 由(1)可知，这样的k不存在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(10分)已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根. (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?并求此菱形的边长; (4分) 14 15 解:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD. 又∵Δ=m2-4=m2-2m+1=(m-1)2， ∴当(m-1)2=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形. 把m=1代入x2-mx+-=0，得x2-x+=0， ∴x1=x2=，∴菱形ABCD的边长是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少? (6分) 14 15 解:把x=2代入x2-mx+-=0， 得4-2m+-=0，解得m=. 把m=代入x2-mx+-=0， 得x2-x+1=0.解得x1=2，x2=，∴AD=. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的周长是2×=5. 本课结束 $$