2.1.3 方程组的解集 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦方程组解集，涵盖定义、解法（代入、加减消元）、解集情况（无解、有限解、无数解）及应用。课堂导入通过知识回顾（一元二次方程解与韦达定理）和探究问题（从一元到多元方程解集）搭建支架，衔接前后知识。 其亮点是以多样例题（二元一次到二次方程组）展示消元法等，结合GeoGebra信息技术求解，用数学思维（推理、运算）和语言（符号、模型）引导学生，提升练习含实际应用，小结系统梳理方法，助学生掌握解题逻辑，为教师提供结构化教学资源。

第二章 等式与不等式 2.1.3方程组的解集 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 1. 方程组解集的定义（公共解的集合）； 2. 二元一次方程组的核心解法（代入、加减消元法）； 3. 解集的 3 种情况（无解、有限解、无数解）； 4.判断方程组解集是有限集还是无限集 5.能正确列出方程组.在实际情景中分析问题，构建方程组模型 2 知识回顾 1.一元二次方程有几个解？ (0个、1个或2个) 2.解一元二次方程的常用方法？ (直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等） 3.当一元二次方程的解集不是空集时,可得韦达定理： （x1+x2= ， x1x2=） 4.韦达定理的前提条件 （a≠0且方程有时根） 3 探究新知 2.将x－y=1看成含有两个未知数x，y 的方程，则此方程的解集是无限集。 比如：{（2，1）}、{（3，2）}、{（5，4）}、{（7，6）}…… 1.关于x的一元一次方程ax+b=c（a,b,c是常数）解集中元素个数？ (0个或1个) 3.一元二次方程解集中元素个数？ (0个、1个或2个) 定义 方程组：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 如 x－ y =1 x＋y =3 x－y＋z=1 x＋y－3z=5 x²＋y²=5 y=x＋1 探究 方程组解的求法及方程组的解集是否是无限集。 3x+2y+z=39， 2x+3y+z=34， x+2y+3z=26， 4 求方程组的解集 方程组解集定义：方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 例1 求方程组 的解 x－ y =1 ① x＋y =3 ② 解 通过①＋②可以消去y，得到x=2; ②－①可以消去x，得到 y=1， 从而得出这个方程组的解为 (x，y)=(2，1). 因此，方程组 的解集是 x－ y =1 x＋y =3 {(x，y) | x－y=1}∩{(x，y)| x+y=3}={(2，1)}. 一组解（加减消元法） 5 学以致用 已知A={(x,y)|x+y=6},B={(x,y)|x-2y=0},求A∩B 解 令 解得 ∴ A∩B={(4,2)} x+y=6 x-2y=0 x=4 y=2 我们知道： 方程组的解集就是每个方程的解集的交集 二元一次方程组的解就是两条直线的交点，因为只有交点，即在第一条直线上，又在第二条直线上.（一条直线的解，就是这条直线上的所有点） 1 2 6 求方程组的解集 例2 求方程组 的解集 解 将方程x－5y＝2变形，得x＝2＋5y. 把x＝2＋5y代入方程3x＋2y＝－11中， 得3(2＋5y)＋2y＝－11，解得y＝－1. 把y＝－1代入x＝2＋5y中，得x＝－3. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－1)}． 一组解（代入消元法） 7 求方程组的解集 例3 求方程组 的解集 3x+2y+z=39 ① 2x+3y+z=34 ② x+2y+3z=26 ③ 解 通过①-②可以消去z,得x-y=5 ④ 通过 ②×3-③可以消去z，得5x+7y=76 ⑤ 通过④×7+⑤k可以消去y，得x= 将x带入④，可得y= 将x带入①，可得z= 由此可解得这个方程组的解集为：{(，，)} 一组解（加减消元法） 8 求方程组的解集 例4 求方程组 的解集 x－y＋z=1 x＋y－3z=5 解 如果我们将z看成已知数，就可以解得 x=z+3，y=2z+2 这样一来，方程组的解集可以写成 A={(x，y，z) | x=z+3，y=2z十2，z∈R}. 不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集 无限组解（加减消元法） 9 求方程组的解集 例5 求方程组 的解集 2组解（代入消元法） 解 将②代入①，整理得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1. 所以原方程的解集为 {（1，2），（-2，-1）} x2+y2=5 ① y=x+1 ② 例6 求方程组 的解集 x2+y2=2 ③ (x-1)2+(y-2)2=1 ④ 2组解（消二次项后代入消元法） 解 由③—④ 整理得x+2y-3=0. ⑤ 由⑤解的x=3-2y.带入③，并整理，得5y2-12y+7=0，解得y=1或y= 利用④可知，y=1时，x=1；y= 时，x= 因此，原方程得解集为{（1，1），（）} 10 方程组的解 探究1 解方程组的常用方法？ (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示 出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元方程组 为一元方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 (2)加减法：对某些二元方程组可通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知 数，得到一个一元方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称 为加减消元法，简称加减法。 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，解集为无限集.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 探究2 什么情况下方程组的解集是个无限集？ 11 用信息技术手段求解 solve命令是人给计算机下达得命令，比如：人命令计算机，求二元二次方程组 的解集。可以下达如下命令： solve[(x^2+y^2=5,y=x+1),(x,y)] 这条命令的结果，计算机就会显示输出：{{x=1,y=2},{x=-2,y=-1}} x2+y2=5 y=x+1 利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集。 在动态数学软件 GeoGebra中的“运算区”用 solve 命令，就可以得到方程和方程组的解集信息。操作方法如下： 12 二元二次方程组求解步骤 (1)“二·一”型方程组的解法：代入消元法（即代入法）. (2)“二·二”型方程组的解法. ① 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元 一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程联立，组成两个“二·一”型方程 组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. ② 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次 方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元 一次方程组成新的方程组，可以得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组， 所得的解都是原方程组的解. ③ 两个二元二次方程作差，将二次项消去，从而得到一个二元一次方程，再将其代入两 个二元二次方程中的一个，求解一元二次方程即可. 注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程 组时，既不要漏解，也不要增解. 13 提升练习 14 提升练习 2.求方程组 的解集. x2-y2=-3 ① x+y+1=0 ② 15 提升练习 3.求方程组 的解集. 解 将①分解为 ,则原方程组可化为两个新方程组: 解得或或或 原方程组的解集为,,,, }. 16 提升练习 4.求方程组 解 由②得 , 或 , 或 解得或或 原方程组的解集为{,,,, }. 17 提升练习 5.求方程组 的解集. 解,得,即 . 解得或 原方程组的解集为, . 18 提升练习 6.求方程组 方法1 ,得 , 即,所以 , 故或 , 所以或解得或 所以原方程组的解集为, . 方法2 得,则 ③,将③代入②可得,则 ,与③联立 可得或 所以原方程组的解集为， . 19 提升练习 7．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为_________. （7，－2）　 20 提升练习 8.已知方程组的解集中含有两个元素，求 的取值范围. 解 由 消去并整理,得 , 由题意得解得 当 时，原方程组的解集中含有两个元素. 21 提升练习 9.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人。分别求出该市今年外来和外出旅游的人数。 22 提升练习 10.求方程组 的解集: 方法1 由①，得 ④,由②，得 ⑤, 把④和⑤代入③，得,解得 . 所以, . 所以这个三元一次方程组的解集为 . 方法2 ，得 ④, ④与②组成二元一次方程组解得 把代入①，得,所以 . 所以这个三元一次方程组的解集为 . 23 课堂小结 ●求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是加减消元、代入消元. ●当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集是无限集;将其中一 些未知数看成常数，那么其他未知数能用这些未知数表示出来. ●“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程 组时，既不要漏解，也不要增解. ●列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系， 一般来说有几个未知量就必须列出几个方程. ●消元的方法有代入消元法与加减消元法 ●用加减消元法时，不要漏乘常数项 24 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝－11，,x－5y＝2；)) 解 由②，得y＝2x－1，③ 把③代入①，得x2－4(2x－1)2＋x－3(2x－1)－1＝0， 整理得15x2－11x＋2＝0， 解这个方程，得x＝eq \f(1,3)或x＝eq \f(2,5)， 把x＝eq \f(1,3)代入③，得y＝－eq \f(1,3)，把x＝eq \f(2,5)代入③，得y＝－eq \f(1,5)， 所以原方程组的解集为{(x，y)|(eq \f(1,3)，－eq \f(1,3))或(eq \f(2,5)，－eq \f(1,5))}． 1.求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4y2＋x－3y－1＝0　①，,2x－y－1＝0　　　　　②))的解集. 解 由方程①，得(x＋y)·(x－y)＝－3，③ 由方程②，得x＋y＝－1，④ 联解③④，得x－y＝3，⑤ 联解④⑤，得x＝1，y＝－2， 所以原方程组的解集为{(1，－2)}． 解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，　　　　①,x－y－9＝0，　　　　②)) ①＋②得2x－14＝0，即x＝7， ①－②得2y＋4＝0，即y＝－2. 解 设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人． 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝20，,1＋30%x＋1＋20%y＝226，)) 解这个方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝80.)) 所以(1＋30%)x＝130，(1＋20%)y＝96. 故该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人． $