微专题1 三角函数的图象与性质 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦三角函数图象与性质核心考点，涵盖图象变换、解析式确定、性质应用等高考重点，按考查要求分选择填空及解答题模块组织。通过考点梳理、真题解析、典型例题分类讲解和分层练习，帮助学生系统构建知识网络，突破图象变换、参数求解等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于以高考真题为导向，创新采用“真题感知-方法提炼-强化应用”教学流程，如典型例题中通过多选题型训练学生数学思维，分层练习覆盖基础到综合应用。注重培养学生用数学眼光观察图象特征、用数学思维分析性质规律，设置精准强化练习保障复习效果，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微专题1　三角函数的图象与性质 近几年高考：三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查: 1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式,常以选择题、填空题的形式考查; 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以客观题或作为解答题的其中一问考查. 一、高考真题 1.(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan 的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知a-=,k∈Z, 得a=+,k∈Z, 因为a>0,所以取k=0,得a的最小值为. 2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为函数y=2的最小正周期T=, 所以函数y=2在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象, 所以作出函数y=2与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案　BC 解析　对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z, 又g≠0,故A错误; 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确; 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确; 对于D,f(x)图象的对称轴方程满足2x=+kπ,k∈Z, 即x=+,k∈Z, g(x)图象的对称轴方程满足2x-=+kπ,k∈Z, 即x=+,k∈Z, 故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC. 4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-x在[0,π]上的最大值是　　　　.  答案　2 解析　由题意知f(x)=sin x-x=2, 当x∈[0,π]时,x-∈, ∴∈, 于是f(x)∈[-,2], 故f(x)在[0,π]上的最大值为2. 5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  答案　- 解析　对比正弦函数y=sin x的图象易知,点为“五点法”画图中的第五点, 所以ω+φ=2π.① 由题知|AB|=xB-xA=, 两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=, 解得ω=4. 代入①,得φ=-, 所以f(π)==-=-. 二．典型例题 1.三角函数图象的变换 例1 (多选)(2025·保定质检)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=,则下面结论正确的是(　　) A.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 答案　AD 解析　对于A,曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度, 得到曲线y=,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到曲线y===,故A正确; 对于B,把曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度,得到曲线y=, 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y===的图象,不是曲线C2,故B错误; 对于C,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线y=== =的图象,不是曲线C2,故C错误; 对于D,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线y====,故D正确. 训练1 (1)(2025·福建十一校联考)已知函数f(x)=2,要得到函数g(x)=sin 2x-2cos 2x+1的图象,只需将f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 (2)(2025·安康调研)将函数f(x)=2的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)f(x)=2·=2==2x, g(x)=sin 2x-2cos 2x+1=sin 2x-cos 2x ==, 故将f(x)的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象. (2)将函数f(x)=2的图象向左平移m(m>0)个单位长度, 得y=2的图象, 因为y=2的图象关于原点对称, 所以2m-=kπ,k∈Z, 即m=+,k∈Z,当k=3时,得m=, 使m=+=,m=+=π, m=+=的整数k不存在. 2.三角函数的图象与解析式 例2 (1)函数f(x)=2+m(0<ω<4)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  (2)已知f(x)=2tan (ωx+φ),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为,则f的值为　　　　.  答案　(1)-2　(2)- 解析　(1)由题图可知m==-1, 且f(x)的图象过点(1,0), 则ω-=+2kπ(k∈Z), 即ω=π+2kπ(k∈Z). 因为0<ω<4,所以ω=π, 所以f(x)=2-1, 所以f=2-1=2-1=-2-1=-2. (2)由f(0)=, 可得2tan φ=,tan φ=, 又|φ|<,所以φ=. 因为f(x)图象的一个对称中心为, 故ω+ =,k∈Z,得ω=3k-1,k∈Z. 因为T∈,所以<<π, 解得<ω<4,所以ω=2. 故f(x)的解析式为f(x)=2tan , 所以f=2tan =-. 训练2 (1)(2025·武汉模拟)函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　.  (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则φ=　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0, 则sin(2x+φ)=-, 根据题图知x=-为函数零点, 且零点在上升区间, 则2×+φ=2kπ-,k∈Z, 则φ=2kπ+,k∈Z, 因为|φ|<π,则k=0,φ=. (2)由f(x)的最大值为2,得A=2, 由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为, 得=×2,解得ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+φ), ∴g(x)=f=2=2. ∵g(x)为偶函数,∴+φ=+kπ(k∈Z), 解得φ=+kπ(k∈Z), 又|φ|<,∴φ=. 3.三角函数的性质 例3 (1)(多选)(2025·扬州调研)已知函数f(x)=|sin x|+,则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象为中心对称图形 C.函数f(x)在上单调递增 D.关于x的方程f(x)=a在[-π,π]上至多有3个解 (2)(2025·厦门质检)将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在上单调递减,则ω的取值范围为　　　　.  答案　(1)AC　(2) 解析　(1)当-π≤x≤0时,f(x)=-sin x+=x-x=, 函数f(x)在上单调递增,函数值从-增大到1; 在上单调递减,函数值从1减小到. 当0<x≤π时,f(x)=sin x+=x+x= , 函数f(x)在上单调递增,函数值从; 在上单调递减, 函数值从减小到-,函数f(x)在[-π,π]上的图象,如图. 对于A,f(x+2π)=|sin(x+2π)|+=|sin x|+=f(x), 结合函数f(x)在[-π,π]上的图象,得2π是f(x)的最小正周期,A正确; 对于B,观察函数f(x)在[-π,π]上的图象,知函数f(x)在[-π,π]上的图象不是中心对称图形,B错误; 对于C,由函数f(x)在上单调递增,f(x)的最小正周期是2π,得函数f(x)在上单调递增,C正确; 对于D,观察函数f(x)在[-π,π]上的图象,得当<a<1时,f(x)=a有4个解,D错误.故选AC. (2)将f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位长度后, 得g(x)==的图象, 当x∈时,ωx+∈, 因为g(x)在上单调递减, 则<+≤, 解得0<ω≤. 训练3 (1)(多选)(2025·河北名校联考)已知函数f(x)=(ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是(　　) A.ω的取值范围是 B.函数f(x)在上单调递增 C.x=不可能是函数y=f(x)的图象的一条对称轴 D.f(x)的最小正周期可能为 (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|≤,-为f(x)的零点,且f(x)≤恒成立,f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的最大值为　　　　.  答案　(1)AC　(2)15 解析　(1)A中,x∈[0,π]时,ωx+∈, 由函数f(x)=(ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心得, ωπ+∈[2π,3π), 解得ω∈,A正确; B中,x∈时,ωx+∈, 由A可知ω∈, 故+∈, 而>,故函数f(x)在上不一定单调,B错误; C中,假设x=为函数f(x)图象的一条对称轴, 令ω+=+kπ,k∈Z, 解得ω=+4k,k∈Z, 又+4k∈,故k∈, 又k∈Z,故无解, 故x=不可能是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,C正确; D中,ω∈,故f(x)的最小正周期T=∈, 故f(x)的最小正周期不可能为,D错误.故选AC. (2)由题意知f(x)在x=处取得最值, 又f=0, 所以-=·T(n∈N*), 即=·,解得ω=2n-1,n∈N*, 又f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以T≥-=,即≥, 解得ω≤16,故ω的最大值为15. 【精准强化练习1】 一、单选题 1.已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为(　　) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为 答案　D 解析　函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos 2x-1)=-2cos 2x+cos x+1=-2+, 又cos x∈[-1,1],故f(x)的最大值为. 2.(2025·长沙模拟)将函数g(x)=2的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数h(x)的图象,若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的一个单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得h(x)=2=2, 因为f(x)与h(x)的图象关于x轴对称, 所以f(x)=-h(x)=-2, 令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 取k=0,则≤x≤,故选C. 3.(2025·宿迁二调)已知函数f(x)=sin x+cos x的极值点与g(x)=tan 的零点完全相同,则ω=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　f(x)=sin x+cos x=, 由x+=kπ+, 得x=kπ+,k∈Z,① 对于g(x)=tan , 由ωx+=kπ, 得ωx=kπ-,k∈Z, 依题意ω≠0 , 所以x==-,k∈Z,② 由于函数f(x)=sin x+cos x的极值点与g(x)=tan 的零点完全相同, 对比①②可得ω=-1.故选B. 4.(2025·广州质检)设函数f(x)=cos(x+φ),其中|φ|<.若∀x∈R,都有f=f,则y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　∀x∈R,都有f=f, 所以x=是y=f(x)图象的一条对称轴, 所以+φ=kπ(k∈Z), 因为|φ|<,所以φ=-. 所以f(x)=. 在平面直角坐标系中画出f(x)=与y=x-1的图象,如图所示, 可知y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点个数为3. 5.(2025·山东新高考联测)已知f(x)=cos(2x+φ),|φ|<,f(x)的一个极值点是,则(　　) A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递减 答案　C 解析　由题意知=±1,解得+φ=kπ,k∈Z, 即φ=-+kπ,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=-,f(x)=. 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 当k=0时,得到f(x)在上单调递增,故C正确,D错误. 令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 当k=0时,得到f(x)在上单调递减,故A错误,B错误.故选C. 6.(2025·杭州调研)已知函数f(x)=2-2+,将函数f(x)的图象各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若方程2g(x)-m=1在x∈上有两个不同的解x1,x2,则x1+x2的值为(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　根据题意可得f(x)=x+x=, 所以g(x)==, 因为0≤x≤,所以≤2x+≤, 所以g(x)在上单调递增,在上单调递减, g(0)=g=,g=1,g=-1, 方程2g(x)-m=1,即g(x)=有两个不同的解x1,x2,且x1,x2关于直线x=对称, 所以x1+x2=2×=.故选A. 7.(2025·天津调研)已知f(x)=+,x=φ(0<φ<π)是函数f(x)图象的一条对称轴,g(x)=,则下列说法中正确的是(　　) A.x=是g(x)图象的一条对称轴 B.为g(x)图象的一个对称中心 C.g(x)图象与y轴的交点为(0,) D.g(x)在上单调递增 答案　B 解析　f(x)==, 令+=+kπ,k∈Z, 解得x=+2kπ,k∈Z, 由x=φ(0<φ<π)是f(x)图象的一条对称轴, 可得φ=, ∴g(x)=, ∴g===0, 故A错误,B正确; 又g(0)==1, 所以g(x)图象与y轴的交点为(0,1),故C错误; 当-≤x≤时,0≤2x+≤π, 由余弦函数性质,知g(x)在上单调递减,故D错误. 8.(2025·荆州模拟)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,图象的一个最高点为M,图象与x轴的一个交点为N,且点M,N之间的距离为5,则f=(　　) A.B.2 C. D.2 答案　D 解析　由题知函数f(x)的最大值为4. 设f(x)的最小正周期为T, 依题意,得42+=MN2=25,解得T=12, 所以=12,解得ω=, 所以f(x)=4, 又点N在函数f(x)的图象上, 所以f=4=0, 结合图象,知×+φ=+2kπ(k∈Z), 解得φ=+2kπ(k∈Z), 又0<φ<,则φ=, 所以f(x)=4, 所以f=4=4=2. 二、多选题 9.(2025·南京质检)已知x1,x2是函数f(x)=tan (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)的两个零点,且|x1-x2|的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,则φ的可能值为(　　) A. B. C.- D. 答案　ABC 解析　由题意得函数f(x)的最小正周期T=,则=,解得ω=3, 所以f(x)=tan (3x+φ). 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=tan =tan 的图象,要使该图象关于原点对称, 则+φ=,k∈Z, 所以φ=-+,k∈Z, 又-π<φ<π,所以当k=0时,φ为-; 当k=1时,φ为;当k=2时,φ为. 故选ABC. 10.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　　) A.f(x)=3 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)<的解集为(k∈Z) D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 答案　ABC 解析　由题图知A=3,函数f(x)的最小正周期T==4=π,解得ω=2, 由f=-3,得2·+φ=-+2nπ,n∈Z, 而|φ|<,则n=0,φ=-, 因此f(x)=3,A正确; 对于B,当x∈时,2x-∈,而正弦函数y=sin x在上单调递增, 因此f(x)在上单调递增,B正确; 对于C,由f(x)<,得<, 则-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z, 所以f(x)<(k∈Z),C正确; 对于D,将f(x)的图象向左平移个单位长度, 得y=3=3=3cos 2x的图象, y=3cos 2x为偶函数,其图象关于y轴对称,D错误.故选ABC. 11.(2025·苏锡常镇四市二调)已知函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|,则(　　) A.f(x)的图象关于点(π,0)对称 B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)的最小值为-2 D.f(x)=在[0,2π]上有四个不同的实数解 答案　BD 解析　法一　f(0)=2,f(2π)=2,f(2π)+f(0)≠0, 则f(x)不可能关于(π,0)对称,A错误; y1=sin x+cos x的周期为2π, y2=|sin x-cos x|的周期为π, 则f(x)=y1+y2的周期为2π,B正确; 当0≤x≤时,f(x)=2cos x, 当<x≤时,f(x)=2sin x; 当<x≤2π时,f(x)=2cos x,f(x)min=-, f(x)=在[0,2π]有4个根,C错误,D正确.故选BD. 法二　易知f(x)可化简为f(x)=2max{sin x,cos x},作出2sin x和2cos x的图象,取位于上方的部分即可. 可知A错误,B正确,C错误. 对于D,计算知2sin x与2cos x在(0,π)内的交点坐标为,而<<2,可见f(x)与y=在[0,2π]内确实有四交点,∴D正确.故选BD. 三、填空题 12.(2025·银川质检)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得的图象关于y轴对称,写出一个符合条件的φ的值:　　　　.  答案　-(答案不唯一) 解析　由题意可知,所得的图象对应的函数解析式为g(x)==, 又g(x)的图象关于y轴对称, 所以+φ=+kπ,k∈Z, 解得φ=kπ-,k∈Z, 令k=0,得φ=-. 13.(2025·北京卷改编)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为　　　　.  答案　4 解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx=(ω>0), 设函数f(x)的最小正周期为T, 由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*), 所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*); 又函数f(x)在上存在零点, 且当x∈时,ωx+∈, 所以+≥π,即ω≥3,故ω=4即为所求. 14.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图,f(x1)=f(x2)=-,则=　　　　.  答案　 解析　由题意可知f(0)=2sin φ=1, 即sin φ=. 因为0<φ<,所以φ=, 即f(x)=2, 又f=2=0, 即+=2kπ+π(k∈Z), 可得ω=+(k∈Z), 设该函数的最小正周期为T, 由题图可知>, 即>5,解得0<ω<, 所以令k=0,得ω=, 即f(x)=2, 令x+=mπ+(m∈Z), 得x=1+3m(m∈Z), 由题图知x1+x2=-4,得x2=-4-x1, 且f(x1)=2=-, 则== ==-=-×=. 四、解答题 15.(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 解　(1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π, 所以φ=. (2)g(x)=f(x)+f=+cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x =2x-2x==. 因为x∈R,所以当=1时,g(x)max=, 当=-1时,g(x)min=-, 所以g(x)的值域为[-,]. 令2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z). 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z), 单调递减区间为(k∈Z). 16.已知函数f(x)=ωx+φ)+2sin 2-1(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)-m=0在上有两个不同的根,求m的取值范围. 解　(1)∵函数f(x)=ωx+φ)+ 2sin 2-1=ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2为偶函数, ∴φ-=kπ+,k∈Z, 又0<φ<π,可得φ=, ∴f(x)=2=2cos ωx. ∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 ×=, ∴ω=2,∴f(x)=2cos 2x. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2的图象,再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2的图象. 若g(x)-m=0在上有两个不同的根,则方程=上有两个不同的根,即函数y=的图象与直线y=上有两个不同的交点. ∵4x-∈, ==,cos 0=1, ∴≤<1,∴1≤m<2. 故m的取值范围为[1,2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题1　三角函数的图象与性质 近几年高考：三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查: 1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式,常以选择题、填空题的形式考查; 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以客观题或作为解答题的其中一问考查. 一、高考真题 1.(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan 的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-x在[0,π]上的最大值是　　　　.  5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  二．典型例题 1.三角函数图象的变换 例1 (多选)(2025·保定质检)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=,则下面结论正确的是(　　) A.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 训练1 (1)(2025·福建十一校联考)已知函数f(x)=2,要得到函数g(x)=sin 2x-2cos 2x+1的图象,只需将f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 (2)(2025·安康调研)将函数f(x)=2的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 2.三角函数的图象与解析式 例2 (1)函数f(x)=2+m(0<ω<4)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  (2)已知f(x)=2tan (ωx+φ),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为,则f的值为　　　　.  训练2 (1)(2025·武汉模拟)函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　.  (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则φ=　　　　.  3.三角函数的性质 例3 (1)(多选)(2025·扬州调研)已知函数f(x)=|sin x|+,则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象为中心对称图形 C.函数f(x)在上单调递增 D.关于x的方程f(x)=a在[-π,π]上至多有3个解 (2)(2025·厦门质检)将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在上单调递减,则ω的取值范围为　　　　.  训练3 (1)(多选)(2025·河北名校联考)已知函数f(x)=(ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是(　　) A.ω的取值范围是 B.函数f(x)在上单调递增 C.x=不可能是函数y=f(x)的图象的一条对称轴 D.f(x)的最小正周期可能为 (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|≤,-为f(x)的零点,且f(x)≤恒成立,f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的最大值为　　　　.  【精准强化练习1】 一、单选题 1.已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为(　　) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为 2.(2025·长沙模拟)将函数g(x)=2的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数h(x)的图象,若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的一个单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·宿迁二调)已知函数f(x)=sin x+cos x的极值点与g(x)=tan 的零点完全相同,则ω=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(2025·广州质检)设函数f(x)=cos(x+φ),其中|φ|<.若∀x∈R,都有f=f,则y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·山东新高考联测)已知f(x)=cos(2x+φ),|φ|<,f(x)的一个极值点是,则(　　) A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递减 6.(2025·杭州调研)已知函数f(x)=2-2+,将函数f(x)的图象各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若方程2g(x)-m=1在x∈上有两个不同的解x1,x2,则x1+x2的值为(　　) A. B. C. D.π 7.(2025·天津调研)已知f(x)=+,x=φ(0<φ<π)是函数f(x)图象的一条对称轴,g(x)=,则下列说法中正确的是(　　) A.x=是g(x)图象的一条对称轴 B.为g(x)图象的一个对称中心 C.g(x)图象与y轴的交点为(0,) D.g(x)在上单调递增 8.(2025·荆州模拟)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,图象的一个最高点为M,图象与x轴的一个交点为N,且点M,N之间的距离为5,则f=(　　) A.B.2 C. D.2 二、多选题 9.(2025·南京质检)已知x1,x2是函数f(x)=tan (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)的两个零点,且|x1-x2|的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,则φ的可能值为(　　) A. B. C.- D. 10.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　　) A.f(x)=3 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)<的解集为(k∈Z) D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 11.(2025·苏锡常镇四市二调)已知函数f(x)=sin x+cos x+ |sin x-cos x|,则(　　) A.f(x)的图象关于点(π,0)对称 B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)的最小值为-2 D.f(x)=在[0,2π]上有四个不同的实数解 三、填空题 12.(2025·银川质检)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得的图象关于y轴对称,写出一个符合条件的φ的值:　　　　.  13.(2025·北京卷改编)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为　　　　.  14.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图,f(x1)=f(x2)=-,则=　　　　.  四、解答题 15.(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 16.已知函数f(x)=ωx+φ)+2sin 2-1(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)-m=0在上有两个不同的根,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $