第1讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第1讲　三角函数的图象与性质 【考情分析】　三角函数的图象主要涉及图象变换及由图象确定函数解析式；三角函数的性质主要涉及求解三角函数值、参数值、最值、单调区间等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度中等或偏下. 　　 考点一　图象与解析式 【例1】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（）＝（　　） A. B. C.1 D.0 （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　已知图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【训练1】　（1）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝2cos（2x－） B.f（x）＝2cos（x－） C.f（x）＝2cos（2x－） D.f（x）＝2cos（3x－） （2）（2025·河南洛阳一模）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝对称，则φ＝　　　　. 考点二　单调性与最值 【例2】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，且圆x2＋y2＝r2（r＞0）内恰好包含f（x）的三个极值对应的点，则r的取值范围是（　　） A.［2，） B.（，］ C.（，3] D.［，） （2）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【规律方法】　（1）求三角函数单调区间的方法：把三角函数化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）或f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x或y＝cos x相应的单调区间解不等式即可； （2）求最值可化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的最值问题，常利用三角函数的单调性解决. 【训练2】　下列关于函数f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x说法正确的是（　　） A.（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 B.f（x）的值域为[－1，] C.f（x）在区间［，］上单调递减 D.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 突破点　ω，φ的范围问题 【例3】　（1）设函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0），若f（x＋π）＝f（x）恒成立，且f（x）在［0，］上存在零点，则ω的最小值为（　　） A.8　　　B.6 C.4　　　D.3 （2）将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度得到f（x）的图象，若函数f（x）在区间［0，］上单调递增，且f（x）的最大负零点在区间（－，－）上，则φ的取值范围是（　　） A.（，］ B.（，］ C.（，） D.（，） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【变式】　〔创新命题角度〕已知a＝（sin ωx，cos ωx－），b＝（cos ωx，cos ωx＋）（ω＞0），若函数f（x）＝a·b在区间[0，π]上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数ω的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，） C.［，］ D.［，） 【规律方法】　求ω取值范围的一般思路 【训练3】　（1）（2025·福建厦门期中）若直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为（　　） A.7 B.9 C.11 D.15 （2）（2025·湖南常德一模）已知函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数ω的取值范围是（　　） A.（，］ B.（，］ C.（，］ D.（，1］ 真题体验 1.（2023·天津高考5题）已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x） 2.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7sin的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 3.（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝sin＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝（　　） A.1 B. C. D.3 4.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　专题一　第1讲 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　三角函数的图象与性质 【例1】　（1）B　（2）－　解析：（1）设函数f（x）的最小正周期为T，由图知T＝－＝可得T＝π，则＝π即ω＝2，由f（）＝sin（2×＋φ）＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，则φ＝，故f（x）＝sin（2x＋），由题意g（x）＝f（x＋）＝sin（2x＋），故g（）＝sin（2×＋）＝sin＝.故选B. （2）由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－. 【训练1】　（1）A　（2）　解析：（1）由图象可知A＝2，＝＋＝，所以T＝π，故ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x＋φ），由f（x）图象过点（，2），所以2cos（2×＋φ）＝2，即cos（＋φ）＝1，所以＋φ＝2kπ（k∈Z），由于－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－）.故选A. （2）因为函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），将f（x）的图象向右平移个单位长度可得f（x－）的图象，因为f（x－）的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝对称，所以f（π－x）＝f（x－），即sin（2π－2x＋φ）＝sin（－2x＋φ）＝sin（2x－＋φ），所以－2x＋φ＋2x－＋φ＝2kπ＋π（k∈Z）或2x－＋φ＋2x－φ＝2kπ（k∈Z）恒成立，化简可得2φ＝2kπ＋（k∈Z）或4x＝2kπ＋（k∈Z）（不是对任意实数x恒成立），解得φ＝kπ＋（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝. 【例2】　（1）B　（2）BC　解析：（1）由已知f（x）在x＝2处取得最小值，∴sin（2ω＋）＝－1，∴2ω＋＝2kπ－（k∈Z），解得ω＝kπ－（k∈Z），∵函数f（x）在（1，2）上单调递减，∴≥1，即≥1，∴0＜ω≤π，当k＝1时，ω＝，T＝3，符合条件，∴f（x）＝sin（x＋）.由图象知y轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，∴r的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点（2，－1）到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点（－，1）到原点的距离，即r∈（，］.故选B. （2）A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C正确；D选项，根据正弦函数的性质可知f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D错误.故选B、C. 【训练2】　B　令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以当kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），由kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1，]；令sin 2x＜0，即π＋2kπ＜2x＜2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以当＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝－sin 2x＋cos 2x＝－sin（2x－），由＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1，]；综上可得，f（x）＝｜sin 2x｜＋cos 2x＝ 且f（x）的值域为[－1，]，故B正确；作出函数f（x）的大致图象，由图可知f（x）不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；因为f（）＝sin（2×＋）＝，f（0）＝sin（2×0＋）＝1，f（）＝sin（2×＋）＝－1，由图可知f（x）在［，］上单调递减，在［，］上单调递增，则f（x）在［，］上不单调，故C错误；f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故D错误.故选B. 【例3】　（1）C　（2）B　解析：（1）函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ωx＋）（ω＞0），设函数f（x）的最小正周期为T，由f（x＋π）＝f（x）可得kT＝π（k∈N*），所以T＝＝（k∈N*），即ω＝2k（k∈N*）；又函数f（x）在［0，］上存在零点，且当x∈［0，］时，ωx＋∈［，＋］，所以＋≥π，即ω≥3.综上，ω的最小值为4.故选C. （2）f（x）＝sin（2x－2φ），令2x－2φ＝kπ＋，则x＝＋＋φ，k∈Z.故y轴右侧的第一条对称轴为x＝φ＋，左侧第一条对称轴为x＝φ－， 【点拨】 函数f（x）在区间D上单调递增， 则区间D是f（x）单调递增区间的子区间 所以所以≤φ≤，令f（x）＝0， 则2x－2φ＝kπ，故x＝＋φ，k∈Z， 【点拨】 若φ＞0，f（x）的最大负零点一般是 当k＝－1时取得 最大的负零点为x＝φ－，所以－＜φ－＜－，即＜φ＜，综上，＜φ≤.故选B. 【变式】　B　f（x）＝a·b＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋），由于x∈[0，π]，可得2ωx＋∈［，2ωπ＋］，由于函数f（x）恰好有5个最大值，4个最小值，则4×2π＋≤2ωπ＋＜4×2π＋，解得≤ω＜.故选B. 【训练3】　（1）C　（2）B　解析：（1）因为直线x＝是y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，所以ω－＝kπ＋，k∈Z，整理可得ω＝kπ＋＋，即ω＝4k＋3，k∈Z.由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin（ωx－）在［－，］上单调递增.因为函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，所以＜，解得ω＞9.因为ω＝4k＋3，k∈Z且ω＞9，所以ω的最小值为11.故选C. （2）当x∈（－π，π）时，ω＞0，ωx－∈（－ωπ－，ωπ－），由函数f（x）在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称轴，｜－ωπ－｜＞｜ωπ－｜，得 或 解得或则＜ω≤，所以实数ω的取值范围是（，］. 真题体验 1.B　由三角函数的最小正周期T＝，可得y＝sin（x）与y＝cos（x）的最小正周期为4，而y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期为8，故排除C、D；因为函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，所以f（x）在x＝2处取得最值.对于A，f（2）＝sin（×2）＝sin π＝0；对于B，f（2）＝cos（×2）＝cos π＝－1，所以f（x）的解析式可能为f（x）＝cos（x）.故选B. 2.A　法一（通解）　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以区间是函数f（x）的单调递增区间.故选A. 法二（优解）　因为＜＜＜π，但f＝7sin ＝7，f＝7sin＜7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f＝7sin π＝0，f＝7sin＝－＜0，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f＝7sin＝－7sin＞－7，f＝7sin＝－7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除D.故选A. 3.A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin（ ω＋）＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A. 4.[2，3）　解析：法一　由f（x）＝cos ωx－1＝0，得cos ωx＝1.设g（x）＝cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cos t，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 法二　函数f（x）＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $