2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷01（苏教版）（扬州专用）

2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第5章第2节+复数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 5．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 8．过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 11．已知数列满足，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 13．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 14．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则下列说法正确的是 ①．曲线C与直线有3个公共点    ②．曲线C上任意两点距离最大值为4 ③．的最大值为    ④．曲线C所围成图形面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程 16．抛物线C：与直线：相切． (1)求抛物线C的方程． (2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 17．已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 19．已知为有穷实数数列．对于实数，若中满足，且存在，使得，则称为－连续可表数，将所有－连续可表数构成的集合记作． (1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； (2)求所有的负整数，使得存在数列满足； (3)设数列与数列满足，，，.证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C A A A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/0.5 13． 14．②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. 【详解】（1）由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： （2）设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有，解得：， 故的外接圆的方程是 （3）圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【详解】（1）联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. （2）由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 17．（15分） 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 18．（17分） 【答案】(1) (2)（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【分析】（1）根据离心率公式即可求解， （2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，根据三角形的面积公式即可求解得解（ⅰ），对于（ⅱ），根据求根公式可得方程的根，猜测T所在的直线方程即为，然后利用，代入斜率公式化简验证猜想即可求解，或者利用思路2，联立两直线方程可得，代入两根化简可得求解，或者利用设点法，根据斜率公式或者向量共线的坐标关系，化简求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 19．（17分） 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列举可求，举例数列满足即可； （2）法一，按集合中最大最小元素的符号进行讨论，分最小元素、最大元素、三类讨论满足题意条件的可能性，再对有可能的取值举例验证； 法二，先对可能的取值举例，再对其他情况用反证法证明其不符合要求； （3）利用等式与不等式的性质得，结合放缩法对比两相等集合确定，再转化为，进而分析出，故得证. 【详解】（1）数列，所有－连续可表数构成的集合， 则， 则． 令数列，所有连续可表数构成的集合， 设， 则，故， 数列是一个与A不同的数列，且满足. （2）若数列满足，不妨设. 假设数列只有两项，则中至多3个元素， 这与中有4项矛盾，故假设错误， 所以数列至少3项，即. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则； ③当时，由，. 综上所述，可能的取值有. 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 综上所述，满足题意所有的整数有； 法二：当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，假设满足， 得， 则且中存在某项或连续若干项的和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾， 故不存在数列满足； 当时，假设满足， 则，且， 中存在若干连续的项和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾. 故不存在数列满足. 综上所述，满足题意所有的整数有. （3），， 由题意可知中最小和最大元素分别为和； 中最小和最大元素分别为和. 因为，所以， 故， 由，则， 因为，由，所以， 又，是连续项之和中最大的连续可表数. 故中比大，且比小的元素只可能是 连续项之和或， 由，， 又 ， 所以. 即， 则，由知，而， 所以，故. 故得证. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（扬州专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第5章第2节+复数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 5．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 8．过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 11．已知数列满足，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 13．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 14．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则下列说法正确的是 ①．曲线C与直线有3个公共点    ②．曲线C上任意两点距离最大值为4 ③．的最大值为    ④．曲线C所围成图形面积为（2）若函数（为常数）在上有个零点，则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程 16．抛物线C：与直线：相切． (1)求抛物线C的方程． (2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 17．已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 19．已知为有穷实数数列．对于实数，若中满足，且存在，使得，则称为－连续可表数，将所有－连续可表数构成的集合记作． (1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； (2)求所有的负整数，使得存在数列满足； (3)设数列与数列满足，，，.证明： 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：A 2．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出平行时参数a的值，再由充分不必要条件定义即可得解. 【详解】由题直线的斜率为，在y轴上截距为2， 若直线与直线平行， 则或， 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 3．已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 4．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】由分组求和及等差数列的前n项和公式即可直接求得答案. 【详解】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 5．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 【答案】B 【分析】根据相切的性质以及面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得圆C：的圆心为，半径为3，， 根据题意可得四边形的面积为，则， 因为，故的最小值为， 因为时，取得最小值， 所以点到直线的距离为，解得或. 故选：B. 8．过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点在的角平分线上， 利用线线垂直证出四边形进而证出为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线、 、三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与 的关系式得出双曲线的离心率. 【详解】如图， 设的内切圆的圆心为，则在的平分线上， 过点分别作于，于， 由得出四边形为正方形， 设，直线的方程为，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数求导法则求导即可逐项判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 11．已知数列满足，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由递推公式依次求出即可判断；对于B，计算即可判断；对于C，将放缩成，利用等比数列求和公式即可判断；对于D，法一，由C可得，借助等比数列求和公式验证即可；法二，由B可知，由可得，利用裂项相消法计算判断. 【详解】对于A，由已知得，，，故A错误； 对于B，因为， 所以，即是递增数列，故B正确； 对于C，由AB知，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，（方法一）由C知， 所以， 两式相减所以，所以， 所以. （方法二）由B知，因为， 所以当时，，所以.， 所以当时， ， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】求导，并得到时，，根据平行关系和导数几何意义得到方程，求出答案. 【详解】，当时，， 的斜率为，故，解得. 故答案为： 13．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则下列说法正确的是 ①．曲线C与直线有3个公共点    ②．曲线C上任意两点距离最大值为4 ③．的最大值为    ④．曲线C所围成图形面积为 【答案】②③ 【分析】联立曲线C与直线的方程，根据公共解的个数判断①选项；求出曲线C与轴的交点坐标，数形结合可判断②选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断③选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断④选项. 【详解】曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 在曲线C上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线C上， 所以，曲线C关于轴对称，同理可知，曲线C关于轴、原点对称， 对于①选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线C与直线只有个公共点，①错； 对于②选项，在曲线C的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线C交轴于点、、， 结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为，②对； 对于③选项，当取最大值，结合图形及对称性不妨，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以 ，其中， 因为，所以， 因为，则，故， 故当时， 取到最大值为，③对； 对于④选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为2的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线C所围成图形面积为，④错. 故答案为：②③. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. 【详解】（1）由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： （2）设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有，解得：， 故的外接圆的方程是 （3）圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 16．（17分）抛物线C：与直线：相切． (1)求抛物线C的方程． (2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【详解】（1）联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. （2）由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 17．（15分）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 18．（17分）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【分析】（1）根据离心率公式即可求解， （2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，根据三角形的面积公式即可求解得解（ⅰ），对于（ⅱ），根据求根公式可得方程的根，猜测T所在的直线方程即为，然后利用，代入斜率公式化简验证猜想即可求解，或者利用思路2，联立两直线方程可得，代入两根化简可得求解，或者利用设点法，根据斜率公式或者向量共线的坐标关系，化简求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 19．（17分）已知为有穷实数数列．对于实数，若中满足，且存在，使得，则称为－连续可表数，将所有－连续可表数构成的集合记作． (1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； (2)求所有的负整数，使得存在数列满足； (3)设数列与数列满足，，，.证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列举可求，举例数列满足即可； （2）法一，按集合中最大最小元素的符号进行讨论，分最小元素、最大元素、三类讨论满足题意条件的可能性，再对有可能的取值举例验证； 法二，先对可能的取值举例，再对其他情况用反证法证明其不符合要求； （3）利用等式与不等式的性质得，结合放缩法对比两相等集合确定，再转化为，进而分析出，故得证. 【详解】（1）数列，所有－连续可表数构成的集合， 则， 则． 令数列，所有连续可表数构成的集合， 设， 则，故， 数列是一个与A不同的数列，且满足. （2）若数列满足，不妨设. 假设数列只有两项，则中至多3个元素， 这与中有4项矛盾，故假设错误， 所以数列至少3项，即. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则； ③当时，由，. 综上所述，可能的取值有. 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 综上所述，满足题意所有的整数有； 法二：当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，假设满足， 得， 则且中存在某项或连续若干项的和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾， 故不存在数列满足； 当时，假设满足， 则，且， 中存在若干连续的项和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾. 故不存在数列满足. 综上所述，满足题意所有的整数有. （3），， 由题意可知中最小和最大元素分别为和； 中最小和最大元素分别为和. 因为，所以， 故， 由，则， 因为，由，所以， 又，是连续项之和中最大的连续可表数. 故中比大，且比小的元素只可能是 连续项之和或， 由，， 又 ， 所以. 即， 则，由知，而， 所以，故. 故得证. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $