第19章实数高频考点分类复习 （10大考点+60题训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

该初中数学讲义以“实数”单元高频考点为核心构建知识体系，通过10个分类考点系统梳理算术平方根、立方根、无理数等内容，用对比表格呈现平方根与立方根的定义及性质，结合数轴作图题直观展示实数与几何的联系，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，如“类比探索四次方根”综合题培养推理意识，数轴表示无理数题型发展几何直观，阅读理解题提升运算能力。基础题与综合题结合适配不同学生，助力教师实施精准复习教学，提升单元复习效率。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 第19章实数高频考点分类复习 考点01：算术平方根与平方根 1. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 2. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】． 故答案为：． 3. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可． 【详解】解：没有意义，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，正确，故C符合题意；D不符合题意 故选C 4. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算正确，符合题意； D、，故选项D计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：， ∴， 即的平方根是． 6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键； 首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分． 【详解】根据题意得： ， ， ， ， ， 把代入中得 ， ， ， 整数部分为：2． 考点02：立方根 7. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 8. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 9. 下列说法中，正确的是（　　） A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 一个非零数的立方根与这个数同号 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根是非负数 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的定义和性质，逐项分析即可． 【详解】解：A、一个数的立方根有1个，故原说法错误，该选项不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号选项，正确，该选项符合题意； C、负数有立方根，但负数没有平方根，故原说法错误，该选项不符合题意； D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键． 10.下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 11、（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 12. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入为36时，输出的值是． 故答案为：． 13.已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 考点03：无理数 14. （2023-24金山区七年级下期中）下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：A． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C．，整数，属于有理数，故本选项不合题意； D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意． 故选D． 15. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：题中给出的数，属于无理数的有：，，， ∴无理数的个数为：3个， 故选：B． 16. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：3.1416，，是有理数； ，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数． 故答案为：4． 17.在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误； 实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确； 两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误； 循环小数是有理数，故④正确； 综上可知，错误的序号是①③， 故答案为：①③． 18.下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意； C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意； D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意； 故选：D 19．已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 20．已知为整数，当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即更接近 ∴ ∴ 故答案为：． 考点04：实数与数轴 21．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 22.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 23. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意列得：， 则两点间距离为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴表示两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于较大的数字减去减小的数字，根据题意列出正确的算式是解本题的关键． 24. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键； 根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可． 【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x， 又点C和点B关于点A成中心对称， ， 解得：， 故答案为： ． 25. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点． 【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2， ∴点A对应的数是． 当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是， 当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是， ∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个， 故答案为：4． 26．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理求得的长，再结合数轴即可解答． 【详解】解：如图：，则， ∵A点表示， ∴M点表示的数为： ． 故答案为：． 27. 我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： （1）如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． （2）如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． （3）如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）； （3）所画正方形见解析；点P见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； （1）由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理得，由画图知，则由即可得A、B两点表示的数； （3）由，即可画出面积为5的正方形；在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点，那么点P表示的数即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴由勾股定理得， 由画图知， ∴， ∴A点表示的数为；B点表示的数为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：∵， ∴所画正方形的边长为，其面积为5； 如图，在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点， ∵， ∴， ∴ RN5点P表示的数为． 考点05：实数的绝对值 28.化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 29. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 30.实数的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 31.的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 32.如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 考点06：实数的大小比较 33. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小． 【详解】解：∵16＜17， ∴4＜， ∴﹣4＞﹣， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次根式大小的比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．比较两个负数，绝对值大的反而小 34. （2023-24金山区七年级下期中）比较大小：________（填“”或“=”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知两个负数相比较，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 根据负数比较大小的法则解答即可． 【详解】解： ， ， 故答案为： 35. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先对二次根式进行变形，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解答此题的关键． 36.（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 37.为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 38.阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据． （1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小； （2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：< （2），， ， ， ， ， ． 考点07：实数的运算 39. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算：二次根式性质、完全平方公式、零指数幂，解题关键是熟练掌握实数的相关运算． 根据二次根式性质、完全平方公式、零指数幂进行运算即可． 【详解】解：原式 ． 40. 计算：|﹣|++（+1）． 【答案】 【解析】 【分析】先去绝对值符号、计算立方根和乘法，再计算加减可得． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的性质、立方根的定义和乘法分配律． 41. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算括号内的乘法，再计算除法即可 【详解】解： 42. 计算： ． 【答案】1 【解析】 【分析】先逆用积的乘方，再运用平方差公式进行计算即可 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用，平方差公式是解题的关键． 43. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和二次根式的混合运算，根据完全平方公式去括号后再合并即可 【详解】解： 44. 计算：. 【答案】4- 【解析】 【分析】先去根式和计算0次方，再相加即可. 【详解】 =3-+1 =4-. 【点睛】考查了二次根式的运算，解题关键抓住进行计算. 45. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先去括号，然后合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式. 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 46. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减可得． 【详解】解：原式 考点08：实数的估计与近似数 47. 的整数部分是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法求出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 48. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合与运算，无理数的估算，先判断出，进而得出，根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 49. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 50. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 负数没有方根； B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应； C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； D. 近似数0.0360有3个有效数字． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，实数与数轴，有效数字，根据相关知识逐项判断即可 【详解】解：A、负数有立方根，故选项A说法错误，不符合题意； B、数轴上的每一个点都与一个实数相对应，故选项B说法错误，不符合题意； C、平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，1和，故选项C说法错误，不符合题意； D、近似数0.0360有3个有效数字,说法正确，符合题意． 故选：D 51.把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似值，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 52.近似值精确到 位． 【答案】十 【分析】本题考查判断近似值的精确数位，将科学记数法还原，确定数字8所在的数位即可． 【详解】解：，8是十位数字， ∴近似值精确到十位； 故答案为：十． 53.下列由四舍五入法得到近似值，各精确到哪一位： ⑴ 0.0233 ； ⑵ 3.10 ； ⑶ 4.50万 ； ⑷ 3.04×104 ； 【答案】 万分位； 百分位； 百位； 百位 【详解】解：（1） 0.0233精确到万分位； （2） 3.10精确到百分位； （3） 4.50万精确到百位； （4） 3.04×104精确到百位； 考点09：科学记数法 54．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的计算，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 55．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．也考查了有效数字． 【详解】解： 故答案为：． 56．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为______ 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：67313万． 57.2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似值和科学记数法，先将原数精确到千位，再用科学记数法表示为（其中，n为整数）的形式即可求解． 【详解】解：51717精确到千位是52000， ． 故答案为：． 58.《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似值是 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，也考查了近似值． 【详解】解：数731017改写成精确到万位的近似值是万， 万， 故答案为：． 考点10：综合解答题 59．本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． （1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）根据定义求一个数的四次方根； （4）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①∵ ∴的四次方根是； ②0的四次方根是0； ③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）①； 故答案为：； ②， ∴． 故答案为：． 60. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： （1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． （2）求代数式的最小值是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【小问1详解】 解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． 【小问2详解】 如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 第19章实数高频考点分类复习 考点01：算术平方根与平方根 1. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____． 2. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________． 3. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根． 6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分． 考点02：立方根 7. 的平方根是____． 8. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________． 9. 下列说法中，正确的是（　　） A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 一个非零数的立方根与这个数同号 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根是非负数 10.下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 11. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________． 12.（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 13.已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 考点03：无理数 14. （2023-24金山区七年级下期中）下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 15. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 16. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个． 17.在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 18.下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 19．已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 20．已知为整数，当最小时， ． 考点04：实数与数轴 21．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 22.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 23. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________． 24. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________． 25. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个． 26．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 27. 我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： （1）如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． （2）如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． （3）如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 考点05：实数的绝对值 28.化简的值为（   ） A． B． C． D． 29. 计算________． 30.实数的绝对值为 ． 31.的相反数是 ，绝对值是 ． 32.如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 考点06：实数的大小比较 33. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）． 34. （2023-24金山区七年级下期中）比较大小：________（填“”或“=”或“”）． 35. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ． 36.（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 37.为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 38.阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 考点07：实数的运算 39. 计算：． 40. 计算：|﹣|++（+1）． 41. 计算： 42. 计算： ． 43. 计算： 44. 计算：. 45. 计算： 46. 计算： 考点08：实数的估计与近似数 47. 的整数部分是________． 48. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________． 49. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 50. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ） A. 负数没有方根； B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应； C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； D. 近似数0.0360有3个有效数字． 51.把圆周率精确到，其近似值为 ． 52.近似值精确到 位． 53.下列由四舍五入法得到近似值，各精确到哪一位： ⑴ 0.0233 ； ⑵ 3.10 ； ⑶ 4.50万 ； ⑷ 3.04×104 ； 考点09：科学记数法 54．用科学记数法表示为 ． 55．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 56．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为______ 57.2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似值是 ． 58.《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似值是 ．（用科学记数法表示） 考点10：综合解答题 59．本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 60. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： （1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． （2）求代数式的最小值是________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $