精品解析：河南省开封市尉氏县第三高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

尉氏三中2025—2026学年上学期高二第二次月考 数学试题 命题人：孙永杰 审题人：吕景兰 考试时长：120分钟 满分150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点若平面的一个法向量为则（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 6. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 8. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. ，曲线都不表示圆 B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆 C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线的焦距为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 13. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 14. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 17. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尉氏三中2025—2026学年上学期高二第二次月考 数学试题 命题人：孙永杰 审题人：吕景兰 考试时长：120分钟 满分150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列通项公式代入即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 可得， 所以. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角； 【详解】解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：A 3. 已知点若平面的一个法向量为则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 4. 已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】如图； 因为，，所以， 因为二面角的余弦值是， 所以， 即， 所以 ， 所以，即的长为2． 故选：C． 5. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 6. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程求出，根据可得答案. 【详解】设，则，解得，即，， 因为，所以，可得， ，解得. 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据得，再根据抛物线定义得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，设， 因为，所以，所以， 因为A、B是抛物线上异于原点O的两点，所以， 又因为抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：A 8. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意直线与圆相离，根据圆的性质知共圆且，根据 知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，即可求出直线的方程. 【详解】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，空间中，三个不共面的向量构成基底，利用基底定义求解；对于B，由得到是钝角或求解；对于C，由关于平面对称的点，则横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数求解；对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或，若，则，从而得解. 【详解】对于构成空间的一个基底，则不共面， 因为，所以必共面，故A正确； 对于B，当时，则是钝角或，故B错误； 对于C，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； 对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或；若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可判断A选项；根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可判断BCD. 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，；  当​时，； 当​时，；  可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. ，曲线都不表示圆 B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆 C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线的焦距为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由求解判断；D.由当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线求解判断. 【详解】解：若方程表示圆，则，无解， 所以，曲线都不表示圆，故A正确； 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，无解， 所以不存在m，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，无解， 所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； D. 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，故曲线的焦距为定值，故D正确， 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 由等差数列的性质可得，所以. 故答案为：18. 方法二：设等差数列的公差为. 由，得. 整理得. 因为，所以. 故答案为：18. 13. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积. 【详解】由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为. 故答案为：. 14. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出焦点，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． 【小问2详解】 点到直线的距离为， 则的面积． 17. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系后写出，再设出点，则，写出，再运用向量夹角公式列出方程，即可求得，继而求得； （3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设，则， 所以，而， 设直线与所成角为， 则， 解得或（舍去）.所以， 所以线段的长度为. 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取平面的一个法向量为. 设是平面的一个法向量， 则即， 取平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 19. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线交于，两点，点在椭圆内， ①若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $