精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第三次质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 3. 时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则=（ ） A. B. C. D. 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 8. 函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是第一或第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角 11. 已知若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 13. 已知是方程的两根，则________. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且有意义． （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 17. 已知函数的定义域为，且在该定义域上为偶函数，，. （1）求，的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第三次质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，即可根据选项逐一求解. 【详解】， 故，，，不是的子集，C正确，ABD错误. 故选：C 2. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 3. 时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的概念和角度与弧度制的转换即可得到答案. 【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了， 所以转过的弧度数为. 故选：B. 4. 函数，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式得，根据余弦函数的图象即可求解. 【详解】由诱导公式得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“同族函数”的定义，结合各选项函数的性质判断即可. 【详解】对于A，函数是定义域为R上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，A不是； 对于B，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，B不是； 对于C，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，C不是； 对于D，函数与函数的解析式相同，值域都为， 因此函数能被用来构造“同族函数”，D是. 故选：D 6. 已知，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合同角关系及角的范围求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为，故， 又， 所以，， 又， 所以. 故选：A. 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 8. 函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是第一或第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角的概念、弧长公式、扇形面积公式、三角函数的定义，即可分别求解． 【详解】对于A选项，若，则角的终边在第一象限、第二象限或轴正半轴，A错； 对于B选项，因为圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，由三角函数的定义可得，C对； 对于D选项，若是第一象限角，即， 所以， 若为偶数，设，则， 此时为第一象限角， 若为奇数，设，则， 此时为第三象限角， 综上所述，若是第一象限角，则是第一或第三象限角，D对. 故选：BCD. 11. 已知若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象可得：，，所以，则ABC选项可得，然后，则，利用函数的单调性求解可得D. 【详解】作出函数的图象，如下图所示： 方程有四个不同的解， 则，，故A错误，C正确； ，所以，故B正确； 设，所以， 因为，所以，则， 则的取值范围为， 故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 13. 已知是方程的两根，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与关系，结合同角的三角函数关系式进行化简即可. 【详解】， 因为是方程的两根， 所以， 因此， 所以 故答案为： 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且有意义． （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 【答案】（1）第四象限角 （2）， 【解析】 【分析】（1）由式子有意义得到，，从而判断所在的象限即可； （2）由三角函数的定义求解即可. 【小问1详解】 由，所以， 由有意义，可知，所以是第四象限角． 【小问2详解】 )因为，所以， 得，又为第四象限角，故，从而， . 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 【答案】（1）； （2）最小值，；最大值1， 【解析】 【分析】（1）将化为，根据最小正周期公式即可求得最小正周期，根据正弦函数的单调性即可求得单调递减区间； （2）根据x的范围，确定的范围，根据正弦函数的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由于，故的最小正周期为； 令，即， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以， 由于函数在上单调递增，在上单调递减，， 又， 故当，即时，取到最大值； 当，即时，取到最小值. 17. 已知函数的定义域为，且在该定义域上为偶函数，，. （1）求，的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）由在上是偶函数可得对称轴为轴，即，从中求出的值，根据定义域关于原点对称解出的值，从而得解. （2）根据奇偶函数的定义求出为奇函数，求出时的单调性，将转化为，从而利用奇函数和单调性，计算得到实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在上是偶函数，所以， 且定义域关于原点对称，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得，因为函数的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数. 当时，，设为对勾函数， 在上为单调递减函数， 在上为单调递增函数， 又，为奇函数，且图象连续，所以在上单调递增. 由，即， 又因为在上单调递增，则，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）模型①③不符合，选模型②，解析式为 （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 【答案】（1）2025 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“1－1－泊点”定义有，则，得，根据周期函数得，求得答案. （2）依题意，有解，法一：，求M的最大值；法二：利用齐次化，，利用基本不等式求M的最大值；法三：联立，即在上有解，换元，利用二次函数求出最大值； （3）依题意，转化为在定义域内恰有2个解，分类讨论求得答案. 【小问1详解】 因为任意，， 所以，所以， 所以为周期为2 的周期函数， 所以． 【小问2详解】 因为是的“－M－泊点”， 所以在上有解， 因为，所以， 法一：因为， 当且仅当时，即时取得等号， 所以，所以M的最大值为． 法二：因为 令，，所以， 当且仅当，即时取得等号，此时， 所以M的最大值为． 法三：因为在上有解， 即在上有解， 设，所以在区间上有解， 因为函数在上关于对称， 所以解得，所以M的最大值为． 【小问3详解】 因为函数恰有2个“1－1－泊点”， 所以在定义域内恰有2个解， 因为， ①当时，则， 所以，即，所以，舍去； ②当时，所以， 即（*）， ③当时，， 所以，即（**）； 依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解； （i）对于（*）式，令，， 设，所以在上递增，，， 所以关于m的方程在上解的情况如下： （a）当，即时，（*）没有实数根； （b）当，即时，（*）没有实数根； （c）当即0＜t＜2，（*）只有一个实数根. （ii）对于（**）式，令，， 设， 因为 函数的对称轴为，由（i）得： （a）当时在内需2个零点，且， 所以即，无解； （b）当时，在内需2个零点， 但，至多一个零点，舍去； （c）当时，在内需1个零点，且， 所以在上递增， 所以即，解得 所以 综上所述，t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $