第3章 一元一次方程 讲义 【期末复习冲刺】2025-2026学年沪教版(五四制）六年级数学上册

该初中数学讲义通过考点分类框架系统构建一元一次方程知识体系，覆盖等式性质、定义、解、解方程等10个高频考点，按“基础概念-解法辨析-综合应用”递进呈现，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 练习设计分层创新，基础题巩固运算能力（如等式性质辨析），综合题融入古代“多人乘车”问题（培养模型意识）和“美好方程”新定义题（发展创新意识），助力不同学生提升。附错题分析与解题模板，支持学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章一元一次方程高频考点分类复习 考点01：等式的性质 考点02：一元一次方程的定义 考点03：一元一次方程的解 考点04：解一元一次方程 考点05：解一元一次方程步骤辨析 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 考点07：与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 考点08：同解方程 考点09：一元一次方程与实际问题 考点10：一元一次方程的新定义 考点01：等式的性质 1.（2024-25闵行区六年级期末）下列根据等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，解决问题的关键是在利用性质二时注意除数不能为0．利用等式的基本性质进行一一判定即可． 【详解】解：选项A：等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，显然不等，故A错误． 选项B：左边为，右边为．由，右边可化为，即，仅当时成立，故B错误． 选项C：等式两边同时乘以同一数，等式仍成立（无论是否为0），故C正确． 选项D：等式两边同时除以时，需，但题目未说明非零，故D错误． 故选：C． 2.（2024-25徐汇六年级期末）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 3.（2024-25大同中学六年级期末）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 考点02：一元一次方程的定义 4. （2024-25宜山中学区六年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且），据此求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 5. （2024-25建平中学六年级上期末）下列方程中，一元一次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A.方程整理后为，不含未知数，不符合一元一次方程定义，不符合题意； B. ，方程中含有2个未知数，不一元一次方程，不符合题意； C. ，未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；        D. 是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 6. （2024-2025下奉贤区期末）下列是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可． 【详解】解：A．是一元一次方程； B．含2个未知数，不是一元一次方程； C．不是等式，不是一元一次方程； D．含2个未知数，不是一元一次方程； 故选A． 7. （2024-2025崇明区期末）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此定义解题． 【详解】解：A.该方程符合一元一次方程的形式，故A正确； B.该方程中未知数的最高次幂为2，不是一元一次方程，故B错误； C.该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故C错误； D.该方程是分式方程，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 考点03：一元一次方程的解 8. （2024-25学年宝山实验中学六年级上期末）如果，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以或， 解得或． 故答案为：4或． 9. （2024-2025下奉贤区期末）如果是关于的方程的解，那么的值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将代入中，可得到关于的方程，解出即可得出答案. 【详解】解：∵是关于的方程的解 ∴将代入中得： ，解得：； 故答案为：2. 【点睛】本题考查一元一次方程的解，如果题中已知方程的解，就可以将x的值代入原方程，然后就可以求出方程中所含参数的值. 10．（2024-2025青浦区六年级上期末试卷）如果关于x的一元一次方程2（x﹣t）﹣7＝x的解是x＝3，那么t的值是 　　． 【分析】将x＝3代入方程2（x﹣t）﹣7＝x，得到关于t的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：将x＝3代入方程2（x﹣t）﹣2＝x， 得2（3﹣t）﹣2＝3， 解得t＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 11. （2024学年文绮中学六年级期末）当_______时，方程的解是． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解一元一次方程；将代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程的解是 ∴ 移项得， 合并同类项得： 化系数为1， 故答案为：． 12. 下列方程中其解是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次方程，掌握一元一次方程解的概念是解决此题关键．分别求出各项中方程的解，即可作出判断． 【详解】解：A、方程， 移项合并得：， ∴，符合题意； B、方程， 解得：，不合题意； C、方程， 去分母得：，不合题意； D、方程， 去括号，移项合并得：， 解得：，不合题意， 故选：A． 13．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）列方程中，解为x＝3的方程是（　　） A．4x+1＝3x﹣2 B． C． D． 【分析】把x＝3分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【解答】解：把x＝3代入方程4x+1＝3x﹣2，左边＝4×3+1＝13，右边＝3×3﹣2＝7，左边≠右边，所以x＝3不是方程4x+1＝3x﹣2的解，因此选项A不符合题意； 把x＝3代入方程3x﹣1，右边＝8，左边≠右边，所以x＝3不是方程3x﹣1的解，因此选项B不符合题意； 把x＝3代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以x＝3不是方程的解，因此选项C不符合题意； 把x＝3代入方程，左边，右边＝2，左边＝右边，所以x＝3是方程的解，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 考点04：解一元一次方程 14.解方程： 解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 15．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）解方程：1． 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程1， 去分母得：5（2x﹣1）＝10﹣2（x﹣3）， 去括号得：10x﹣5＝10﹣2x+6， 移项合并得：12x＝21， 解得：x． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 16．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）解方程：． 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：，即6﹣3y， 去分母，得30﹣15y＝﹣（y+2）， 去括号，得30﹣15y＝﹣y﹣2， 移项、合并同类项，得﹣14y＝﹣32， 将系数化为1，得y． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 17 （2025嘉定区六年级期末）解方程： 【答案】 【解析】 【分析】解一元一次方程，分别去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求出方程的解． 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握并灵活运用解一元一次方程的步骤是解题的关键． 18. （2025嘉定区六年级期末）解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， ． 19. （2024学年文绮中学六年级期末）解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可求解．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：， ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 20.（2024-2025下奉贤区期末） 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程；按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去括号， 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 考点05：解一元一次方程步骤辨析 21. （2024-2025下奉贤区期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； C、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； D、如果，那么，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 22．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两边同乘以15去分母即可得出答案． 【详解】解：方程两边同乘以15得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母，即利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程． 23. （2024-2025崇明区期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数基本性质，得：， 故选：B． 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 24. 关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为__________． 【答案】8或10 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 25. （2025嘉定区六年级期末）已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【分析】把方程移项合并同类项， x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可． 【详解】解∶mx=2-x (m+1 ) x=2， 当m+1≠0，即m≠-1时，解得∶， 由x整数，得到m+1=或m+1=， 解得∶ m=0或m=-2或m= l或m=-3， ∴m的非负整数值为0和1， 故答案为∶ 0和1． 【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键． 26. （2025嘉定区六年级期末）适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】想办法去掉绝对值符号，分三种情况，对原式进行讨论，分别对应三个一元一次方程，解方程即可求出a的值. 【详解】当时，原方程可化为，解得，不符合题意； 当时，原方程可化为，恒成立，则 ； 当时，原方程可化为，解得，不符合题意； 综上所述，符合的a有4个 故选B 【点睛】本题主要考查含绝对值的一元一次方程，分情况讨论思想的应用是解题的关键. 27．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 考点07：与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 28．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，是方程的解， ∴， 解得：， 则原方程为：， 解得：， 故选：A 29．小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案． 【详解】解：设被污染的正整数为，则有， ∴， 解得， ∵这个方程的解是正整数， ∴是正整数，且为正整数， ∴或或， ∴当或时，不是正整数， 时，，符合题意， ∴被污染的正整数是2． 30.嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 考点08：同解方程 31. （2024-2025崇明区期末）已知关于的方程与有相同的解，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再将解代入，进行求解即可． 【详解】解：由得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 32．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）已知关于x的方程与3（x+1）＝4x+6的解相同，求m的值． 【分析】先求出方程3（x+1）＝4x+6的解，再根据同解方程的定义把x＝﹣3代入关于x的方程中，即可求出m的值． 【解答】解：解方程3（x+1）＝4x+6得x＝﹣3， 根据同解方程的定义把x＝﹣3代入关于x的方程中，得， 解得m＝﹣21． 【点评】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 考点09：一元一次方程与实际问题 33. 甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出辆汽车给乙队，则可得方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．表示出抽调后两车队的汽车辆数，然后根据两车队汽车一样多列出方程即可． 【详解】解：设由甲队调出辆汽车给乙队，则甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆， 根据题意得：， 故答案为：． 34. （2024-25建平中学六年级上期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程是实际应用，设甲用了x小时，则乙用了小时，根据甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，列出方程即可． 【详解】解：设甲用了x小时，则乙用了小时， 根据题意：， 故答案为：． 35．（2024-2025青浦六年级上期末试卷）我国古代《孙子算经》中记载“多人乘车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何？”其大意为：今有若干人乘车，则空2辆车；若2个人共乘1辆车，问有多少人？多少车？如果设一共有x人乘车，那么可列方程为 　　． 【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 36. 一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．——程大位《直接算法统宗》意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意可得： 解得 则小和尚有（人） 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 37．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为20.7cm，求这个长方形的长和宽． 【分析】设这个长方形的宽为x cm，则长为2x cm，根据这个长方形的周长为20.7cm，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即这个长方形的宽），再将其代入2x中，即可求出这个长方形的长． 【解答】解：设这个长方形的宽为x cm，则长为2x cm， 根据题意得：2（2x+x）＝20.7， 解得：x＝3.45， ∴2x＝2×3.45＝6.9（cm）． 答：这个长方形的长为6.9cm，宽为3.45cm． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 38.（2024-2025下奉贤区期末） 某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟，若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟，求从家里到学校的路程有多少千米？ 【答案】千米 【解析】 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系． 设从家里到学校的路程有x千米，则根据等量关系，即每小时行15千米时的预定时间与每小时行9千米的预定时间是一样的，可列出方程，并求解． 【详解】解：设从家里到学校的路程有x千米， 依题意可得：． 解得：， 即从家里到学校路程为千米． 39.暑假期间，某校组织学生到上海研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 40.某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【答案】(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)70个 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买70个书架时，两家商场购买所需费用相同． 41.某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 考点10：一元一次方程的新定义 42. （2024－25位育实验中学六上期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 43.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解． 【详解】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 44. （2025上海实验学校六年级期末）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值． 【答案】（1）方程与方程互为“美好方程”，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为：，，再根据关于的方程与方程是互为“美好方程”得出解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：解方程的解为， 解方程的解为， ， 方程与方程互为“美好方程”； 【小问2详解】 解：解方程的解为， 解方程解为， 关于的方程与方程是互为“美好方程”， ， ． 45. 规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章一元一次方程高频考点分类复习 考点01：等式的性质 考点02：一元一次方程的定义 考点03：一元一次方程的解 考点04：解一元一次方程 考点05：解一元一次方程步骤辨析 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 考点07：与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 考点08：同解方程 考点09：一元一次方程与实际问题 考点10：一元一次方程的新定义 考点01：等式的性质 1.（2024-25闵行区六年级期末）下列根据等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2024-25徐汇六年级期末）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（2024-25大同中学六年级期末）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点02：一元一次方程的定义 4. （2024-25宜山中学区六年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值为_______． 5. （2024-25建平中学六年级上期末）下列方程中，一元一次方程是（ ） A. B. C. D. 6. （2024-2025下奉贤区期末）下列是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 7. （2024-2025崇明区期末）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. B. C. D. 考点03：一元一次方程的解 8. （2024-25学年宝山实验中学六年级上期末）如果，则________． 9. （2024-2025下奉贤区期末）如果是关于的方程的解，那么的值是__________. 10．（2024-2025青浦区六年级上期末试卷）如果关于x的一元一次方程2（x﹣t）﹣7＝x的解是x＝3，那么t的值是 　　． 11. （2024学年文绮中学六年级期末）当_______时，方程的解是． 12. 下列方程中其解是的是（ ） A. B. C. D. 13．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）列方程中，解为x＝3的方程是（　　） A．4x+1＝3x﹣2 B． C． D． 考点04：解一元一次方程 14.解方程： 15．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）解方程：1． 16．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）解方程：． 17 （2025嘉定区六年级期末）解方程： 18. （2025嘉定区六年级期末）解方程：． 19. （2024学年文绮中学六年级期末）解方程：． 20.（2024-2025下奉贤区期末） 解方程：． 考点05：解一元一次方程步骤辨析 21. （2024-2025下奉贤区期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 22．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 23. （2024-2025崇明区期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（ ） A. B. C. D. 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 24. 关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为__________． 25. （2025嘉定区六年级期末）已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________． 26. （2025嘉定区六年级期末）适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 27．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 考点07：与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 28．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 29．小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 30.嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 考点08：同解方程 31. （2024-2025崇明区期末）已知关于的方程与有相同的解，则_____． 32．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）已知关于x的方程与3（x+1）＝4x+6的解相同，求m的值． 考点09：一元一次方程与实际问题 33. 甲车队有汽车辆，乙车队有汽车辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出辆汽车给乙队，则可得方程_______． 34. （2024-25建平中学六年级上期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为_____________． 35．（2024-2025青浦区六年级上期末试卷）我国古代《孙子算经》中记载“多人乘车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何？”其大意为：今有若干人乘车，则空2辆车；若2个人共乘1辆车，问有多少人？多少车？如果设一共有x人乘车，那么可列方程为 　　． 36. 一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．——程大位《直接算法统宗》意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 37．（2024-2025徐汇区六年级上期末试卷）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为20.7cm，求这个长方形的长和宽． 38.（2024-2025下奉贤区期末） 某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟，若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟，求从家里到学校的路程有多少千米？ 39.暑假期间，某校组织学生到上海研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 40.某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 41.某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 考点10：一元一次方程的新定义 42. （2024－25位育实验中学六上期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________． 43.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 44. （2025上海实验学校六年级期末）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值． 45. 规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $