期末总复习讲义07 线段 2025-2026学年沪教版六年级（五四制）数学上册

该初中数学线段单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了直线、射线、线段的概念性质及运算，用对比表格呈现三者端点、延伸性等区别联系，以中点模型图示和动点问题步骤分解构建知识脉络，突出性质应用与几何直观的结合。 讲义亮点在于分层练习设计，如分类讨论线段中点位置（例5两种情况）、动点问题三要素分析（例10行程问题），培养空间观念与推理意识。课后练习覆盖基础辨析与综合应用，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统资源支持自主复习。

六年级数学期末总复习讲义 第6课 线段知识点梳理 知识点01——直线、射线、线段 知识点02——直线和线段的性质 知识点03——线段的比较和运算 知识点04——线段的中点及中点模型 知识点05——与线段有关的动点问题 知识点01 直线、射线、线段 1. 认识点​ 点没有大小，主要用来表示位置.点常用一个大写字母来表示.​ 2. 点和线​ ①点和线是图形的基本元素，点动成线、线动成面、面动成体. ②点和直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）；点在直线外（直线不经过点）. 3. 认识直线 ①经过一个点能画无数条直线. ②经过两个点只能画一条直线直线.​ ③直线的表示方法： ​ 用直线上的两个点表示，如上图中的直线可记作直线AB或直线AC等.​ 用一个小写字母表示，如上图中的直线可记作直线l. ④直线的特征 直线有2个端点，能向两方无限延伸，不能测量长度.​ 4. 认识射线​ ①射线有1个端点，只能向一方无限延伸，不能测量长度.​ ②射线的表示方法：用射线的端点和射线上的另一个点表示，且端点要写在前面.​ 5. 认识线段​ ①线段有2个端点，不能向两端延伸，能测量长度.​ ②线段的表示方法：​用线段的两个端点字母表示或用一个小写字母表示 6. 直线、射线、线段的区别与联系 类型 图形 端点个数 延伸性 能否度量 直线 0 两方无限延伸 否 射线 1 一方无限延伸 否 线段 2 无延伸 能 联系 射线和线段都是直线上的一部分 例题讲解 题型1：直线、射线、线段的表示方法 例1（23-24六年级上·上海闵行·期末）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 题型2 直线、射线、线段的画图 例2 （23-24六年级上·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形；根据题意画出图形，由D是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 题型3 数线段、直线、射线、交点 例3（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 课后练习 1.（24-25六年级上·浦东新区·单元测试）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 2．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 5．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A． ①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 知识点02 直线和线段的性质 1. 两点间的距离:我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 2.直线的性质:经过两点有且只有一条直线，即:两点确定一条直线.​ 3..线段的性质:两点之间线段最短. 例题讲解 题型1直线、线段的性质 例4（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点之间的距离，经过两点的射线由于顶点不确定，故有无数条，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、经过两点能画无数条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型2：两点间的距离 例5（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 课后练习 1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 2．（24-25六年级上·闵行·期末）要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 3．（24-25六年级上·上海·期末）延长线段到，使得，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 线段的比较和运算 1. 线段的比较 ①度量法: 用刻度尺、先度量再比较. ②叠合法：借助圆规比较. 图（1）表示ABCD,图（2）表示AB=CD,图（3）表示ABCD； 2. 线段的运算：将线段的长度进行运算. ①线段的和差：如图，AB+BC=AC,AB+BC+CD=AD，：AC-BC=AB,AC-AB=BC. ②一个基本性质：等量加等量结果还是等量 如上图：若AB=CD，则AB+BC=CD+BC(等式性质)，即AC=BD. 3. 尺规作线段 用圆规和直尺画一条线段等于已知线段、等于两条线段的和或差. 例题讲解 题型1：线段的比较与运算 例4（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 题型2：分类讨论思想的运用 例5（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 题型3:尺规画图 例6（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段a，b ． (1)用尺规作一线段，使； (2)若线段，，点D是线段的中点，则线段的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图-复杂作图． （1）作射线，在射线上截取，在线段上截取，线段即为所求； （2）先根据、求出的长度，再根据中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求； （2）解：如图2：， ∵点D是线段的中点， ∴． 故答案为：2． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 ．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点B，C在线段上，且，则线段与的大小关系是 ． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 5．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上有一点，已知，，则 ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 8．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 10．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ． 知识点03 线段的中点及线段中点模型 1. 线段的中点 2. 中点模型 ①两条线段一半的和等于和的一半; 如图，若C为线段AB上一点，E为AC中点，F为CB中点，则EF= ②两条线段一半的差等于差的一半; 如图，若C为线段AB上一点，E为AB中点，F为CB中点，则EF= 例题讲解 题型1：一条线段的中点 例7（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，根据是线段的中点，是线段的中点，求出，，得出（厘米）即可． 【详解】解：∵是线段上一点， ∴厘米， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴（厘米）， 故选：B． 题型2：两条线段的中点 例8（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 课后练习 1.（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    4.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 5.（25-26七年级上·山东·期中）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 6.（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 知识点05 线段上的动点问题 有关动点问题的解题步骤： 1.理解动点的初始位置和移动规则：三要素（速度、方向、时间）； 2.设定变量（未知数）：为了描述动点的位置随时间的变化，通常会设定一个变量来代表时间，并用这个变量来表达动点的位置； 3.建立方程或表达式； 4.求解方程或表达式； 5.检查答案：最后，检查得到的答案是否符合题目的所有条件，检查答案要不要分类讨论，确保答案的全面合理. 例题讲解 题型1新定义 例9（24-25七年级上·北京·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为2； 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2； 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， =2， ∴t=2 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 题型2：线段上的行程问题 例10 （2024六年级下·上海·专题练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【答案】(1)，6； (2)19秒； (3)、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)2、、11、17或21． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，分5中情况列方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是， 故答案为：，6； （2）解：点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）解：由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：． ②动点在上，动点在上，则：，解得：． ③动点在上，动点在上，则：，解得：． ④动点在上，动点在上，则：，解得：． ⑤动点在上，动点在点上，则：，解得：． 综上所述：的值为2、、11、17或21． 课后练习 1．（24-25七年级上·河南开封·期末）已知线段，点C在的延长线上，点D在直线上，，，点M是线段的中点，则的长为（    ） A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12 2．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，在同一条直线上，点是线段的中点，已知cm，则 cm． 4．（24-25六年级下·山东·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为 ． 5．（24-25七年级上·江西·期末）如图①、②所示，线段，线段，点E是BC的中点，设． (1)当时，则DE的长为______． (2)在图①中，计算DE的长度（用含a的式子表示） (3)将图①中的线段CD向右移动到图②的位置． ①直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系． ②在线段AC上有点F，满足，求AF的长度（用含a的式子表示） 6.（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数. 7．（24-25七年级上·山东济宁·期末）线段AB和CD在同一直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6cm，CD=8cm． (1)当A，C两点重合时，如图1，求MN的长； (2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN的长； (3)在(2)的情况下，MN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果) 8.（24-25六年级上·上海普陀·期末）在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； (2)点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第6课 线段知识点梳理 知识点01——直线、射线、线段 知识点02——直线和线段的性质 知识点03——线段的比较和运算 知识点04——线段的中点及中点模型 知识点05——与线段有关的动点问题 知识点01 直线、射线、线段 1. 认识点​ 点没有大小，主要用来表示位置.点常用一个大写字母来表示.​ 2. 点和线​ ①点和线是图形的基本元素，点动成线、线动成面、面动成体. ②点和直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）；点在直线外（直线不经过点）。 3. 认识直线 ①经过一个点能画无数条直线。 ②经过两个点只能画一条直线直线。​ ③直线的表示方法： ​ 用直线上的两个点表示，如上图中的直线可记作直线AB或直线AC等.​ 用一个小写字母表示，如上图中的直线可记作直线l. ④直线的特征 直线有2个端点，能向两方无限延伸，不能测量长度。​ 4. 认识射线​ ①射线有1个端点，只能向一方无限延伸，不能测量长度。​ ②射线的表示方法：用射线的端点和射线上的另一个点表示，且端点要写在前面.​ 5. 认识线段​ ①线段有2个端点，不能向两端延伸，能测量长度。​ ②线段的表示方法：​用线段的两个端点表示或用一个小写字母表示 6. 直线、射线、线段的区别与联系 类型 图形 端点个数 延伸性 能否度量 直线 0 两方无限延伸 否 射线 1 一方无限延伸 否 线段 2 无延伸 能 联系 射线和线段都是直线上的一部分 例题讲解 题型1：直线、射线、线段的表示方法 例1（23-24六年级上·上海闵行·期末）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 题型2 直线、射线、线段的画图 例2 （23-24六年级上·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形；根据题意画出图形，由D是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 题型3 数线段、直线、射线、交点 例3（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 课后练习 1.（24-25六年级上·浦东新区·单元测试）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 知识点02 直线和线段的性质 1. 两点间的距离 我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 2. 直线的性质 经过两点有且只有一条直线，即:两点确定一条直线.​ 3. 线段的性质 两点之间，线段最短 例题讲解 题型1直线、线段的性质 例4（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点之间的距离，经过两点的射线由于顶点不确定，故有无数条，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、经过两点能画无数条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型2：两点间的距离 例5（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 课后练习 1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 2．（24-25六年级上·闵行·期末）要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海·期末）延长线段到，使得，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，由，结合，即可求解． 【详解】解：延长线段到，使得， ， 故选：C． 知识点03 线段的比较和运算 1. 线段的比较 ①度量法 ②叠合法： 或借助圆规比较 图（1）表示ABCD,图（2）表示AB=CD,图（3）表示ABCD； 2. 线段的和与差 线段的运算是指将线段的长度进行运算. ①和：AB+BC=AC,AB+BC+CD=AD，差：AC-BC=AB,AC-AB=BC. ②等量加等量 若AB=CD, 则AB+BC=CD+BC(等式性质) 即AC=BD. 3. 尺规作线段 用圆规和直尺画一条线段等于已知线段、等于两条线段的和或差。 例题讲解 题型1：线段的比较与运算 例4（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 题型2：分类讨论思想的运用 例5（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 题型3:尺规画图 例6（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段a，b ． (1)用尺规作一线段，使； (2)若线段，，点D是线段的中点，则线段的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图-复杂作图． （1）作射线，在射线上截取，在线段上截取，线段即为所求； （2）先根据、求出的长度，再根据中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求； （2）解：如图2：， ∵点D是线段的中点， ∴． 故答案为：2． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较常用的方法：度量法、叠合法，（1）度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，在根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的；（2）叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，在看另一端的位置，从而确定两条线段的长度，这是从“形”的方面来比较的，据此解答即可． 【详解】解：A、通过观察不一定能说明线段比线段短，不符合题意； B、用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，说明线段比线段长，不符合题意； C、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上，说明线段比线段短，符合题意； D、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上，说明线段比线段长，不符合题意； 故选：C． ．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点C在点A左侧时，则， 当点C在点A右侧时，则； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据题意求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点B，C在线段上，且，则线段与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离，结合图形解题直观形象，从图中很容易能看出各线段之间的关系是解题的关键．根据两点间的距离，可得答案． 【详解】解：由两边都加，得 ， 即， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 【答案】/ 【分析】此题考查了基本作图，画出图形是解题的关键． 根据题意画出图形，由线段的和差关系可得出结论． 【详解】解：由题画出图形如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 即所画的的线段就是的长． 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两线段的和、差，掌握线段中点和三等分点的定义是解题的关键． 根据题意得出，，进而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：解：，， ， 故答案为： ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上有一点，已知，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：点在点右侧时， ； 点在点左侧时，， 故答案为：或 ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 8．（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，如图，由可求得的长，再根据线段中点的定义可求得的长，最后根据线段间的数量关系即可得答案 【详解】解：如图： ，， ， 点是线段的中点， ， ∴． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的计算．根据线段中点的知识点计算即可； 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握线段的和差运算是解题的关键． 由中点的定义可得，再根据求出，进而即可求解． 【详解】解：，C是的中点， ， ， ， ， 故答案为：14． 知识点03 线段的中点及中点模型 1. 线段的中点 2. 中点模型 ①两条线段一半的和等于和的一半; 如图，若C为线段AB上一点，E为AC中点，F为CB中点，则EF= ②两条线段一半的差等于差的一半; 如图，若C为线段AB上一点，E为AB中点，F为CB中点，则EF= 例题讲解 题型1：一条线段的中点 例7（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，根据是线段的中点，是线段的中点，求出，，得出（厘米）即可． 【详解】解：∵是线段上一点， ∴厘米， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴（厘米）， 故选：B． 题型2：两条线段的中点 例8（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 课后练习 1.（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，先设，，然后根据中点得到，，然后根据列方程求出a的值，然后根据计算即可． 【详解】解：设，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了两点间的距离．先根据已知条件和线段中点的定义，求出，再根据，求出，从而求出答案即可． 【详解】解：∵，点C是线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离，直线、线段和射线的认识．根据题意可知：是的中点，是上一点，且比大6厘米，即6厘米是长度的2倍，由此用除法即可求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，则， 是上一点，已知比长6厘米，则比长的6厘米就是长度的2倍； （厘米） 答：长3厘米． 故答案为：3． 4.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为点是的中点， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为，， 所以． 因为点是的中点， 所以， 所以． 5.（25-26七年级上·山东·期中）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)10 (2)6 【分析】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 【详解】（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 6.（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点M的的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出，再根据，求出，根据线段中点的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：点M是的中点，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴点M是的中点． 知识点05 线段上的动点问题 1.理解动点的初始位置和移动规则：三要素（速度、方向、时间）； 2.设定变量（未知数）：为了描述动点的位置随时间的变化，通常会设定一个变量来代表时间，并用这个变量来表达动点的位置； 3.建立方程或表达式； 4.求解方程或表达式； 5.检查答案：最后，检查得到的答案是否符合题目的所有条件，检查答案要不要分类讨论，确保答案的全面合理。 例题讲解 题型1新定义 例9（24-25七年级上·北京·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为2； 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2； 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， =2， ∴t=2 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 题型2：线段上的行程问题 例10 （2024六年级下·上海·专题练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【答案】(1)，6； (2)19秒； (3)、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)2、、11、17或21． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，分5中情况列方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是， 故答案为：，6； （2）解：点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）解：由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：． ②动点在上，动点在上，则：，解得：． ③动点在上，动点在上，则：，解得：． ④动点在上，动点在上，则：，解得：． ⑤动点在上，动点在点上，则：，解得：． 综上所述：的值为2、、11、17或21． 课后练习 1．（24-25七年级上·河南开封·期末）已知线段，点C在的延长线上，点D在直线上，，，点M是线段的中点，则的长为（    ） A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12 【答案】A 【分析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段的中点的定义得到CM=CD=8，于是得到AM=AC−CM=4；如图2，当D在ABAB的延长线上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM=CD=24，于是得到AM=CM−AC=24−12=12． 【详解】解：如图1，当D在线段AB上时， ∵AB=20，AC=12， ∴BC=AB+AC=32， ∵BD=16， ∴CD =BC−BD=16， ∵点M是线段CD的中点， ∴CM=CD=8， ∴AM=AC−CM=4； 如图2，当D在AB的延长线上时， ∵AB=20，AC=12， ∴BC=AB+AC=32， ∵BD=16， ∴CD=BC+BD=32+16=48， ∵点M是线段CD的中点， ∴CM=CD=24， ∴AM=CM−AC=24−12=12， 综上，的长为4或12， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，在同一条直线上，点是线段的中点，已知cm，则 cm． 【答案】3或12/12或3 【分析】根据题意作出图形，分两种情况讨论，当在的延长线上时，当在的延长线上时，根据线段中点的性质以及线段和差的计算即可求解． 【详解】当在的延长线上时，如图，   ，cm， ， cm， 点是线段的中点， cm， (cm)； 当在的延长线上时，如图，   ，cm， ， cm， 点是线段的中点， cm， (cm)， 故答案为：3或12． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键． 4．（24-25六年级下·山东·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为 ． 【答案】m+n 【分析】先根据中点的定义可得EC=AC、DF=BD，再根据线段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据=EC+CD+DF求解即可． 【详解】解：∵点、点分别为、的中点 ∴EC=AC,DF=BD ∵， ∴AC+BD=AB-CD=m-n ∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=( m-n)+n=m+n． 故答案为m+n． 【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键． 5．（24-25七年级上·江西·期末）如图①、②所示，线段，线段，点E是BC的中点，设． (1)当时，则DE的长为______． (2)在图①中，计算DE的长度（用含a的式子表示） (3)将图①中的线段CD向右移动到图②的位置． ①直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系． ②在线段AC上有点F，满足，求AF的长度（用含a的式子表示） 【答案】(1)2 (2) (3)①AC=2DE，② 【分析】（1）先求出BC的长，然后根据中点定义求CE，最后根据DE=CD-CE计算即可； （2）解题的方法和步骤和（1）相同； （3）①先根据线段的和差关系和中点定义用a表示出DE，结合AC=a，即可求出结果； ②整理得到，再化简即可用含a的代数式表示出AF． 【详解】（1）解：BC=AB-AC=20-4=16， ∵E是BC的中点， ∴CE=BC=8， DE=CD-CE=10-8=2； （2）解：BC=AB-AC=20-a=20-a， ∵E是BC的中点， ∴， ∴； （3）解：① , ∵AC=a， ∴AC=2DE；- ② ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的和与差和线段中点的有关计算，解题的关键是熟练运用线段的和差关系和中点的定义求线段长． 6.（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【答案】(1)C1； (2)①点P所表示的数为或； ②P表示的数为19或16或22 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点表示的数和相关线段的长度． （1）求出，知是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”； （2）设点P表示的数为x，①求出，可或，即可解得解得或； ②求出，，然后分三种情况求解：当A是B，P“关联点”时；当B是A，P“关联点”时；当P为A，B的“关联点”时． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 7．（24-25七年级上·山东济宁·期末）线段AB和CD在同一直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6cm，CD=8cm． (1)当A，C两点重合时，如图1，求MN的长； (2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN的长； (3)在(2)的情况下，MN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果) 【答案】(1)1cm (2)5cm (3) 【分析】（1）先根据中点的定义求出AN、AM，再根据线段和差关系求解即可； （2）先根据中点定义求出AM、DN，再根据线段和差关系求出AD，最后再根据线段和差关系求解即可； （3）由（2）的解题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，A，C两点重合 ∴AM=3cm，AN=4cm， ∴MN=AN-AM=1cm； （2）∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm， ∴AM=3cm，DN=4cm， ∵线段AB，CD的公共部分BC=2cm， ∴AD=AB+CD-BC=6+8-2=12cm， ∴MN=AD-AM-DN=12-3-4=5cm； （3）∵M，N分别是线段AB，CD的中点， ， ， ， 即：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点，线段和差关系，利用中点和线段和差关系是解题的关键． 8.（24-25六年级上·上海普陀·期末）在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； (2)点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 【答案】(1)①，；②； (2)1017或． 【分析】本题主要考查了规律型﹣数字的变化，总结出的变化规律，根据与k无关求出M对应的数字是本题解题的关键． （1）根据绝对值的意义，列出等式，再根据两点不同，化简绝对值即可得到a与x的关系，代入a值即可求解； （2）假设M对应的数字，根据每次变换写出每个点对应的数，发现变化规律，再根据绝对值的意义，写出与N两点间的距离，根据距离与k无关，求出M对应数，从而求得对应的数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B互为基准变换点， ∴， ∵A，B是不同的点， ∴， ∴， ∴当时，，当时，； 故答案为：，； ②由①知，； 故答案为：； （2）解：设M对应的数为b，则N对应的数为， ∴对应的数为， 由（1）知，对应的数为：， ∴对应的数为， ∴对应的数为， ∴对应的数是一个循环，循环周期为， ∴， ∵与k无关， ∴， ∴或， ∴对应的数为或． 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $