精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

濮阳市一高高一年级（2025级）上学期第三次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命脚中心 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足：对任意，，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 与互为反函数，其图像关于对称 D 已知，且，则实数 10 已知函数函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 存实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 13. 函数的单调递减区间是______． 14. 已知，，若，，使得，则实数的最大值是______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求： （2）若，且，求实数的取值范围. 16. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 17. 设函数. （1）解方程； （2）设不等式的解集为，求函数的值域. 18. 已知函数. （1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若恒成立，求实数k取值范围. 19. 设函数的定义域为D，若存在∈D，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数 （1）若，求的不动点； （2）若函数在区间[0，1]上存在不动点，求实数的取值范围； （3）设函数，若，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高一年级（2025级）上学期第三次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命脚中心 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，集合，， 所以. 故选：B 2. 幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得，然后求得的值. 【详解】由于幂函数的图象过点，所以， 所以，所以. 故选：A 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数上单调递增， 有，可得. 故选：A. 7. 定义在上的偶函数满足：对任意，，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断函数的单调性，结合偶函数和单调性进行求解即可. 详解】不妨设， 由， 所以该函数是上的增函数， 或， ， 则或， 由， 由， 综上所述：不等式的解集是， 故选：D 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B． 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 与互反函数，其图像关于对称 D. 已知，且，则实数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由求解判断；对B，令，由一元二次函数的性质求解判断；对C，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，即互为反函数的两个函数图象的对称关系判断；对D，将已知指数式化为对数式，利用对数的运算法则及换底公式的性质求解判断. 【详解】对于A：要使函数有意义，则，即， 因为函数是增函数，所以， 即函数的定义域为，A正确； 对于B：令，则原函数变为， 因为在单调递增，且时，， 所以原函数的值域为，B正确； 对于C：函数与是同底的指数函数和对数函数， 所以它们互为反函数，其图象关于对称，C正确； 对于D：由得，所以， 所以， 所以，解得，D错误； 故选：ABC. 10. 已知函数函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】解：对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示， 可知函数的值域为，其中，故选项A错误； 对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图： 故选项B正确； 对于C选项，令，由，设， ①当时，，舍去； ②当时，，，可得，故选项C错误； 对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图： 可知，可得，故，故选项D正确. 故选：BD． 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，令可求出判断；对B，令求得，再令求出判断；对C：利用单调性的定义结合（时）判断；对D，赋值结合奇函数定义判断. 【详解】对于A：令，则，解得，A错误； 对于B：令，则，解得， 令，则， 即，B正确； 对于C：任取，且，令， 则. 若，则，所以； 若，令，则， 因为，所以，即， 综上，，所以在上是增函数，C正确； 对于D：，又， 所以，即为奇函数，D正确； 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、对数函数性质求复合函数的递减区间即可. 【详解】由，即，则， 所以函数定义域为，又开口向下且对称轴为， 即在上递增，在上递减，而在定义域上递增， 故函数的递减区间为. 故答案为： 14. 已知，，若，，使得，则实数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 详解】，，使得，； 在上单调递减，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，； ，解得：，则实数的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求： （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）求出集合，再利用集合包含关系列式求解. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，或， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）知或， 由，得或， 由，得， 所以实数的取值范围是. 16. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】（1） （2）当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【解析】 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 17. 设函数. （1）解方程； （2）设不等式的解集为，求函数的值域. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）化简，由解得可得答案； （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. 【小问1详解】 ， 由得，解得或， 所以或. 所以方程的解是或； 【小问2详解】 由得，即，解得，， ， 令，所以， 则为开口向上对称轴为的抛物线， 因为，所以， 所以函数的值域为. 18. 已知函数. （1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）在R上的单调递增，证明见解析； （2）是奇函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后判断与0的大小，即可确定单调性. （2），直接利用函数奇偶性的定义判断； （3）利用函数是奇函数，将题设不等式转化为，再利用是上的单调增函数求解. 【小问1详解】 函数是增函数，任取，不妨设 ， ， ∵， ∴，又， ∴，即， ∴函数是上的增函数. 【小问2详解】 函数为奇函数，证明如下： 由解析式可得：，且定义域为关于原点对称， ， ∴函数是定义域内的奇函数. 【小问3详解】 由等价于， ∵是上的单调增函数， ∴，即恒成立， ∴，解得. 19. 设函数的定义域为D，若存在∈D，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数 （1）若，求的不动点； （2）若函数在区间[0，1]上存在不动点，求实数的取值范围； （3）设函数，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0和1；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，解方程即可求解. （2）在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解. （3）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可. 【详解】（1）若a=1时，由得，令， 则，得t=1或t=2，即，则x=0或x=1 则的不动点为0和1. （2）由题意知，即[0，1]上有解， 令，，则，则在[1,2]上有解， 则. 当时，在递减，在递增，则 则，即 （3），即 则 又在[-1,0]上是减函数，则，则 令，，则， 则 又在上递增，则；又 则，即. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $