第二章有理数及其运算 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 一、单选题 1．下列各数中互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 2．在，，，0，中，既是负数又是整数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则的值为（   ） A． B．3或7 C． D． 4．若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．的倒数是 B．若，则 C．是的相反数 D．一定是负数 6．已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 7．在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的和是（   ） A．6 B．8 C． D．5 8．如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 10．在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 二、填空题 11．若与互为相反数， 则的值为 12．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 13．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ． 14．如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是 ； （2）若点到原点的距离为4，则的值是 ． 15．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法： ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．十一国庆假期期间，出租车李师傅某天上午营运是在北京路五洲湖出发，沿东西走向的北京路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在北京路五洲湖的什么位置？ (2)若出租车消耗天然气量为，这天上午李师傅接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为7元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问李师傅这天上午共得车费多少元？ 18．在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 有理数及其运算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C D D D A C 1．B 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是明确互为相反数的两个数和为0，即符号相反且绝对值相等． 先化简各选项中的数，再判断是否互为相反数． 【详解】解：A、，与2相等，此选项不符合题意； B、与互为相反数，此选项符合题意； C、，两数相等，此选项不符合题意； D、，两数相等，此选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了有理数的分类，正负数的定义，化简绝对值，化简多重符号，先整理，再结合负数以及整数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则既是负数又是整数，既是负数又是整数；不是整数，0不是负数，不是负数， ∴既是负数又是整数的有2个． 故选：B 3．B 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得，再根据数轴的性质可得，则可得或，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在数轴上表示的点在表示的点的左侧， ∴， ∴或， ∴或． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查相反数，有理数的加法运算，根据互为相反数的两数之和为0，结合有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了有理数的倒数，相反数，绝对值等知识，理解相关概念和性质是解题的关键．根据有理数的倒数，绝对值的性质，多重符号化简进行逐一计算判断即可． 【详解】解：A.的倒数为，此选项错误不符合题意； B.若，则，此选项错误不符合题意； C.因为，所以是的相反数，此选项正确符合题意； D.不一定为负数，比如：当时，不是负数，此选项不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数、有理数乘法运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 根据，则，易得，再结合选项中的数轴，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即D选项符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了有理数乘方、有理数大小比较等知识点，掌握有理数乘方的运算法则是解题的关键． 先分别用有理数乘方的运算法则计算，然后比较有理数大小确定最大值和最小值，最后求和即可． 【详解】解： ，，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大的数与最小的数的和是． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找到图形的排列规律是解决本题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， 第8个图案中圆的个数为． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查不同记数制之间的转换，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数和十进制数转化为六进制数的方法． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为六进制数． 【详解】解： ， 故选：C． 11．1 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质：两个非负数的和是0，因而每个数的值都是0，根据互为相反数的定义，得到与的和为零，再利用绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，最后代入代数式计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 又 ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 12．0 【分析】本题考查数轴上的规律探究，根据题意，得到0，3，2，1四个数为一组，用，取余即可得出结果． 【详解】解：由题意，从开始，按照0，3，2，1四个数为一组进行循环， ∵， ∴表示的点与圆周上表示数字0的点重合； 故答案为：0 13． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】解：根据图，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为． 根据题意，得， 将上式变形，得． 故答案为：． 14． 3 或17 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点B的左边时；当原点在点B的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：（1）因为点为原点，且点到点的距离为3，点在点的右侧， 所以点表示的数为3； 故答案为：3； （2）由题意知，①当原点在点左侧时，点表示的数为4， 则点表示的数为1，点表示的数为12， 所以； ②当原点在点右侧时，点表示的数为， 则点表示的数为，点表示的数为4， 所以． 综上，的值为或17； 故答案为：或17． 15．（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 16．(1)7 (2)1 (3)9 (4)7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可得出结果； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （4）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1)李师傅在北京路五洲湖的西边处 (2)6.8立方米 (3)71.6元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，理解题意是解题的关键． （1）求出8位乘客的行车里程的代数和，根据符号、绝对值判断位置即可； （2）求出8位乘客的行车里程的绝对值的和，再乘以0.2即可求解； （3）先求出8名乘客的起步价，再加上5名乘客超出部分的车费即可求出总车费． 【详解】（1）解：， 答：李师傅在北京路五洲湖的西边处； （2）解：， （立方米）， 答：出租车共消耗天然气6.8立方米； （3）解： （元）， 答：李师傅这天上午共得车费71.6元． 18．(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）①根据相反数的定义解答即可； ②根据特征值的定义进行计算即可； ③根据特征值的定义，结合②进行比较即可； （2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况； （3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可； （4）根据新定义，用不同的求出的值，找出规律，计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $