精品解析：湖北省襄阳市樊城区襄阳第十二中教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级（上）月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 正方形网格中，如图放置，则=（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为( ) A. 10 B. 9 C. 6 D. 5 9. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 12. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 13. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴；垂足为；若的面积等于，则的值___________ 14. 如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于_____． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 三、解答题（9小题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 18. ，两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从两地处测得点的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（参考数据：，） 19. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处， （1）求证 （2）已知，求的值． 20. 如图，直线（）与反比例函数（）的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）过点B作垂直于x轴于点C，连接，求的面积． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； （2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 24. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线顶点，在第一象限的抛物线上有一点，点的横坐标为． （1）___________，点坐标为___________； （2）如图1，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，直线与直线相交于点，的值记为． ①求关于的函数解析式； ②满足的点分别记作点，，将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为，如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，注意掌握判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断.根据反比例函数的定义，（为常数，）进行判断． 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为（为常数，）， A、，符合定义，故此选项符合题意； B、，是一次函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项不符合题意； D、，分母不是，不是反比例函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，不成比例，故此选项不符合题意； B、，不成比例，故此选项不符合题意； C、，不成比例，故此选项不符合题意； D、，成比例，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 4. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理得， 故选∶B． 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 7. 正方形网格中，如图放置，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在∠AOB的两边上找出两点C、D，使△DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sin∠AOB的值． 【详解】由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形， 如图： 设正方形网格的边长为1，则CD＝2，OD＝1，OC＝＝＝， 由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在∠AOB的边上找出两点使△DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键． 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为( ) A. 10 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，平行四边形的判定和性质，关键是判定，推出，判定四边形是平行四边形，判定，推出，求出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：． 9. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可． 【详解】根据反比例函数的图象位于二、四象限知， 根据二次函数的图象确知，， 函数的大致图象经过二、三、四象限， 故选C． 【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大． 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值，根据特殊锐角的三角函数值即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：45． 12. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 13. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴；垂足为；若的面积等于，则的值___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的几何意义得到，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于4， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：作OM⊥AB于M，如图所示：则AM=BM=AB=4cm，∴OM===（cm），∵PM=PB+BM=6cm，∴tan∠OPA===；故答案为． 考点：垂径定理；解直角三角形． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，，证明，则，可求，，证明，则，即，可求，由，可求． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 18. ，两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从两地处测得点的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（参考数据：，） 【答案】高速铁路不会受到地震的影响．理由如下： 如图，过点A作于点C， ∴， 根据题意可知：， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴高速铁路不会受到地震的影响． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 过点A作于点C，然后根据特殊角三角函数即可求出，进而进行比较即可判断． 【详解】解：略． 19. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处， （1）求证 （2）已知，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点涵盖矩形的性质(对 边相等、四个角为直角)、图形折叠的性质 (折叠前后对应边相等、对应角相等)、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，以及锐角三角函数(正切)的定义，是对平面几何中矩形、相似三角形、直角三角形相关知识的综合考查，同时也考查了利用几何性质进行逻辑推理和计算的能力． （）利用矩形的性质和折叠的角度相等性质，通过角度互余推出两组对应角相等，再依据相似三角形的判定定理证明三角形相似即可； （）先由折叠得，结合勾股定理求出的长度；再利用()的相似结论求出(即)的长度；最后在中，根据正切的定义计算的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠得， 在中，根据勾股定理： ∴ 由（）得，得 ， 即， 解得， 则 由折叠得， 在中， ． 20. 如图，直线（）与反比例函数（）的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）过点B作垂直于x轴于点C，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题．求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）直接利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线（）与反比例函数（）的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为 ∴， ∴， ∴，， 把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，，轴， ∴， ∴的面积． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的切线，即 ，即是等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵ ，即是等腰直角三角形 由（1）得， 如图所示，连接，设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等知识，数形结合分析是关键． 22. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 【答案】任务1：；任务2：水面宽度减少；任务3：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式． 任务1：根据已知设这条抛物线表示的二次函数为，由题意可知，抛物线经过点，利用定定系数法二次函数解析式； 任务2：通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案； 任务3：通过把代入抛物线解析式得出水面到拱顶的距离，即可得出答案． 【详解】解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为． 由题意可知，抛物线经过点， 可得，， ． 所以抛物线的函数解析式为． 任务2：当水面上升时，水面的纵坐标为． 由， 解得，． ． 答：水面宽度减少． 任务3：当游船顶部，刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过， 此时，点的横坐标为1． 当时，， 则． 答：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过． 23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； （2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解； ②通过证明，可得； （2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①，， 是等边三角形， ，， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②， ， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图3所示，， ， 设， ， 在中，， 由（1）②可知， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质． 24. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线顶点，在第一象限的抛物线上有一点，点的横坐标为． （1）___________，点坐标为___________； （2）如图1，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，直线与直线相交于点，的值记为． ①求关于的函数解析式； ②满足的点分别记作点，，将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为，如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2，； （2） （3）①②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，全等三角形的判定与性质，一次函数，中点坐标，平行线分线段成比例，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，得到抛物线，即可解答； （2）将绕点A顺时针旋转得到，连接交与点H，过点作轴于点M，先证明，得到，求出，，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线的方程，得，求解即可． （3）①先直线的解析式为，推导出点P的坐标为，继而求出直线的解析式为，联立求出，得到点E的坐标为，过点P作轴于，过点E作轴于，得到，代入计算即可； ②先求出，，得到直线的解析式为，平移后抛物线的解析式为，直线的解析式为，且线段的x取值范围为，当时，抛物线点顶点D与重合，且在点A，D时有两个交点，分类讨论：第一种情况：此时开始向左平移，到平移后抛物线又过点时停止，第二种情况：此时开始向右平移，刚开始时平移后抛物线与线段有两个交点，到与线段只有一个交点，第三种情况：当时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线， ∴抛物线顶点的坐标为． 故答案为：2，； 【小问2详解】 将绕点A顺时针旋转得到，连接交与点H，过点作轴于点M，如图 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， ∴，即， ∴， ∴， 因此中点H的坐标为：， 设直线的解析式为，将代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的方程，得 ， 解得（即点A）或， 将代入，得， 故点P的坐标为：． 【小问3详解】 ①抛物线与x轴交于和点B， 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P在第一象限的抛物线上，横坐标为m， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 将点分别代入，得 ，即， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， ， ， 即， ∴． 将代入， 得 ∴点E的坐标为， 过点P作轴于，过点E作轴于，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ 即． ②∵， ∴， 整理得：， 解得或． 当时，， ∴； 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将、分别代入，得 解得 ∴直线的解析式为， ∵平移后抛物线的顶点始终在直线上，且顶点横坐标为t， ∴顶点纵坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 设直线的解析式为，将分别代入，得 解得， ∴直线的解析式为，且线段的x取值范围为， 当时，抛物线顶点D与重合，且在点A，D时有两个交点， 第一种情况：此时开始向左平移，到平移后抛物线又过点时停止，如图，有平移后抛物线与线段只有一个交点， 将代入，得 ， 解得或， ∴， 第二种情况：此时开始向右平移，刚开始时平移后抛物线与线段有两个交点，到与线段只有一个交点，如图， 联立平移后抛物线与直线的解析式，得 ， 即， ∵该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点， ∴， 解得， 将代入，得 ， 即， 解得（在范围内），符合题意； 第三种情况：当时，如图 平移后抛物线与线段没有交点， 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $