精品解析：安徽省怀宁县高河中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高河中学2025-2026学年度第一学期12月月考 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 5. 下列命题的否定是真命题的是（ ） A. 每个正方形都是平行四边形 B. 是无理数，是无理数 C. ， D. ，关于x的方程有实数根 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 的最小值是 C. 若有解，则的取值范围是或 D. 当时，的值域是，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________. 14. 若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分；16，17题15分；18，19题17分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，证明：存在，使成立； （2）若成立；求实数m的取值范围． 17. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 18. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高河中学2025-2026学年度第一学期12月月考 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求集合，，再求它们的交集. 【详解】因为集合， ， 所以． 故选：C 2. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解. 【详解】由题意函数单调递增，且， 由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为. 故选：C. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，所以“”不能得出“”； 若，则，所以“”不能得出“”. 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 若正数满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 5. 下列命题的否定是真命题的是（ ） A. 每个正方形都是平行四边形 B. 是无理数，是无理数 C. ， D. ，关于x的方程有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解. 【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故A错误； 对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题， 所以该命题的否定是真命题，故B正确； 对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故C错误； 对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故D错误； 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由得， 所以， 解得， 故选：A. 7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位， 根据经过N年衰减为原来的一半，则，即， 且生物体内碳14原有初始质量为Q 所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为 即 故选:D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到 在上是减函数，再根据判断. 【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上是减函数. 而， ， ， 即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论. 【详解】函数，函数定义域都是R， ，， 设，， 即，不是偶函数，A选项错误； 设，， 是奇函数，B选项正确； 设，， 是偶函数，C选项正确； 设，， 是偶函数，D选项错误. 故选：BC 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用幂指对函数的性质比较大小即可. 【详解】∵. ∴ 即， 故项正确，选项不正确； ∵ ∴， 故选项正确. 故选：AC 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 的最小值是 C. 若有解，则的取值范围是或 D. 当时，的值域是，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答. 【详解】因的解集是（，则是关于的方程的二根，且， 于是得，即， 对于A，不等式化为：，解得，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取“”，故B正确； 对于C，，令，则在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，故C不正确； 对于D，当时，，则， 依题意，，由得，或，因在上的最小值为， 从而得或，因此，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数恒等式和对数的运算法则求解. 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为： 13. 已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合求解，函数的图象与直线有3个交点即可求得k的取值范围. 【详解】当时，其图象是抛物线的一部分，最小值为； 当时，，其图象是指数型函数的一部分， 的图象如图所示： 由图知函数的图象与直线有3个交点时，，即实数k的取值范围是. 故答案为：. 14. 若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】解：令，则， 当时，是增函数，由在区间上为减函数， 则在上为减函数，故，即，解得； 当时，是减函数，由在区间上为减函数， 则在上为增函数，故，即，解得， 综上，的取值范围是.. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分；16，17题15分；18，19题17分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解； （2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解. 【小问1详解】 若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， . 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）若，证明：存在，使成立； （2）若成立；求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明过程见答案； （2）当时， ；当时， ． 【解析】 【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可； （2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可． 【小问1详解】 当时，在上单调递增， ． ． 由零点存在性定理知：存在，使成立．得证． 【小问2详解】 当时，单调递增，等价于，解得． 当时，单调递减，等价于，解得． 综上：当时， ；当时， ． 17. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 【答案】（1）,理由见解析； （2）81 【解析】 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合. （2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【小问1详解】 最符合实际的函数模型为①， 根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足， 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. 【小问2详解】 可选取表格中的两组数据为：， 代入得， 则， 当时，， 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 18. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明的单调性. 【小问1详解】 证明：的定义域为， 对，都有， 又为奇函数，则必有， 即， 整理可得， 因为，所以，命题得证． 【小问2详解】 设，，且， ， 易知，，又在上为增函数，，可得， 当时，，为增函数； 当时，，为常函数无单调性； 当时，，为减函数． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数与指数函数的性质求解； （2）由对数函数性质化简不等式，再分离参数转化为求新函数的最值，从而得参数范围． 【小问1详解】 由题意可知，即． 令，则有，解得，所以，即． 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由题意可知，即， 即．又， 令，，易知在上单调递减， 所以，所以，因为，，所以 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $