精品解析：贵州省兴义市第八中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题（高素班）

兴义八中2025级高一上学期第三次月考数学试题（高素班） 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算即可． 【详解】由已知，， 故选：B. 2. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果 【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为， 因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为. 故选：C. 3. 已知的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则该三角形一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状． 【详解】由及余弦定理得， 整理得， ∴， ∴为等腰三角形． 故选A． 【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择． 4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是种，数学之和为偶数的有两种，所以所求概率为，选． 考点：古典概型． 5. 已知事件，互斥，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 6. 设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，若，则且或或，故A错误； 对于选项B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对选项C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于选项D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D正确； 故选：A. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可推出，结合和，求出，继而求得，即可求出，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】在中，，故，即得， 结合，得， 则，即， 则，即得，则C为锐角， 由，结合， 解得， 则， ， 故， 由，得， 故选：B 8. 如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，当三点共线，且时，有最小值，利用勾股定理求出答案即可. 【详解】过点作，交于点，交于点， 过点作，交于点，连接， 取中点，连接， 根据题意，因为， 所以当三点共线，且时， ，且有最小值，如图所示， 在中，，， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上的选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 前三组的频率和为，因此这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，B正确； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. 故选：ABD 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直三棱柱中，，，M，N，Q分别为棱，，AC的中点，P是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面MNA B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最大值为4 D. 若P为的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，通过证明平面平面，可判断选项正误； B选项，注意到平面AMN，则可判断选项正误； C选项，，据此可判断选项正误； D选项，由题可知过A，M，P三点的平面为平面ACPM，即可判断选项正误. 【详解】A选项，连接，，因N，Q分别为，AC的中点，，则 ，即四边形为平行四边形，则. 因M，N分别为棱，的中点，则. 因平面ANM，AN平面ANM，， 平面，平面，，则平面 平面， 又平面，则平面MNA，故A正确； B选项，因平面AMN，平面AMN，则平面AMN， 又，则到平面AMN距离等于到平面AMN距离，又N为AC中点，则 到平面AMN距离等于A到平面AMN距离，则 ，又， 则，故B错误； C选项，，当P和重合时，最大为4，故C正确； D选项，注意到，则过A，M，P三点的平面为平面ACPM，则截面周长为，又 ，则周长为，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题（每小题5分） 12. 向量，，若，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示列方程，即得结果. 【详解】，， 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量平行求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式的 “的代换”， 结合均值不等式即可求解. 【详解】根据题意，三个互不相交的平面把空间分成部分，即三个平行平面把空间分成部分，所以，又，所以，，， 因此， 又，故， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 14. 在锐角中，内角的对边分别为，且．若，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理将角化边，结合余弦定理解得的值，再次根据正弦定理将边化角，利用三角恒等变换求取值范围即可. 【详解】根据正弦定理，边角互化后可得 ， 所以，解得，又根据正弦定理，，所以 ，所以 ， 又因为是锐角三角形，所以， ， 故. 故答案为：. 四､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为 中点． （1）求证：平面 ； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，交于点，则是的中点，连接， ∵ 分别是 的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接 ，由已知可得 ，然后根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因 平面，底面为正方形，即 两两垂直， 故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 易得即为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】（1），平均数为74分 （2）60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 所以该次测试分数的平均数的为： (分)． 【小问2详解】 由频率分布直方图知 ， (分)， (分)，(分) ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明: ∵四边形是正方形，∴， 又平面平面平面，平面平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面可得平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）过点作，垂足为，过点作，连接，先证明，从而可得是二面角的平面角，进而求解即可. 【小问1详解】 略；. 【小问2详解】 由题意，，，，则，， 过点作，垂足为，过点作，连接. 由（1）知平面平面，∴. 又平面， ∴平面，又平面， 又平面平面. 又平面， 是二面角的平面角， 在中，，则， 则， 由图可知，二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 18. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率，并求出样本中位数； （2）已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 【答案】（1）第七组的频率为0.06，样本中位数为174.5 （2）平均数为169，方差为50 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率，再结合中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的公式直接求解即可； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 则第七组的频率为； 前三组的频率为 前四组的频率为， 所以中位数位于第四组，设中位数为， 由，解得， 即样本中位数为174.5. 【小问2详解】 该校学生身高的平均数为， 该校学生身高的方差为. 【小问3详解】 第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA， bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； 【小问2详解】 方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴义八中2025级高一上学期第三次月考数学试题（高素班） 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 88 3. 已知的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则该三角形一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是 A. B. C. D. 5. 已知事件，互斥，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面或相交 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7 8. 如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上的选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 11. 已知直三棱柱中，，，M，N，Q分别为棱，，AC的中点，P是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面MNA B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最大值为4 D. 若P为的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为 第II卷（非选择题） 三､填空题（每小题5分） 12. 向量，，若，则______ 13. 三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为___________． 14. 在锐角中，内角的对边分别为，且．若，则的取值范围是___． 四､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为 中点． （1）求证：平面 ； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率，并求出样本中位数； （2）已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $