专题05概率初步寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05概率初步寒假预习闯关必备讲义 1.理解确定事件与不确定事件的概念，能区分必然事件、不可能事件和随机事件。 2.掌握概率的定义，知道概率的取值范围，会计算简单随机事件的概率。 3.能通过列表、画树状图等方法列举试验的所有等可能结果，进而求概率。 4.了解频率与概率的关系，知道大量重复试验时频率可作为概率的估计值。 重点:1.区分三类事件（必然事件、不可能事件、随机事件）。 2.简单随机事件概率的计算方法。 3.用列表法、树状图法列举所有等可能结果。 难点:1.准确判断试验的所有等可能结果。 2.理解频率与概率的区别与联系。 预习必备 知识点梳理 1.事件的分类 2.概率的定义 3.列举所有等可能结果的方法 4.频率与概率的关系 5.易错点 常考题型 精讲精炼 1.随机事件的分类 2.事件发生可能性大小的判断 3.概率的意义理解 4.利用频率估计概率的方法 5.基于概率公式的计算应用 6.已知概率求对应数量的问题 7.用列举法求解概率 8.游戏公平性的判断与设计 9.几何概率的概率求解 10.频率估计概率的综合实际应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.事件的分类】 1.必然事件 定义：在一定条件下，必然会发生的事件。 示例：太阳从东方升起；三角形内角和为 180°。 概率：必然事件的概率为1。 2.不可能事件 定义：在一定条件下，必然不会发生的事件。 示例：掷骰子掷出数字 7；在标准大气压下，水在 0℃以下不结冰。 概率：不可能事件的概率为0。 3.随机事件 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 示例：掷硬币正面朝上；买一张彩票中奖。 概率：随机事件的概率取值范围是0(事件)。 结论：事件分为确定事件（必然事件 + 不可能事件）和随机事件两类。 【知识点02.概率的定义】 1.概率的含义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，叫做这个事件的概率。 2.等可能事件概率的计算公式 若一个试验中所有可能的结果有n种，且这些结果发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，则事件A发生的概率为： P(A)= 其中n是所有等可能结果的总数，m是事件 A 包含的结果数。 【知识点03.列举所有等可能结果的方法】 1.直接列举法 适用场景：试验的结果较少，可直接一一列出。 示例：掷一枚硬币，结果有 “正面朝上”“反面朝上” 2 种。 2.列表法 适用场景：一次试验涉及两个因素，且每个因素有若干种可能结果。 示例：同时掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率，可通过列表列举出 36 种等可能结果。 3.树状图法 适用场景：一次试验涉及两个或更多因素，或试验分多个步骤完成。 示例：连续掷三次硬币，求三次都是正面朝上的概率，可画树状图列举出 8 种等可能结果。 【知识点04.频率与概率的关系】 1.频率的计算：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为。 2.关系 当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 频率是试验值，具有随机性；概率是理论值，是固定不变的。 【知识点05.易错点】 1.事件类型判错：混淆随机、必然、不可能事件，忽略发生条件。 2.忽略等可能性：直接套概率公式，未确认每种结果发生概率是否相同。 3.列举结果失误：列举时遗漏、重复，需按顺序（列表/树状图）完整呈现。 4.混淆频率与概率：把少数几次试验的频率当作固定概率。 5.误解概率含义：认为概率大必发生、概率小必不发生（仅表可能性大小）。 6.分步结果数算错：连续试验用加法算总数，正确方法是分步结果数相乘。 【题型1.随机事件的分类】 【典例】下列事件中是必然事件的是（   ） A．打开电视机，正在播放广告 B．任意买一张彩票，中奖 C．在一个标准大气压下，温度时水会沸腾 D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件．解决本题的关键是理解必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，概率为1．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，概率为1． 选项C描述的是在一个标准大气压下水的沸点现象，是科学规律，必然发生；而A、B、D都是随机事件，不一定发生． 【详解】解：∵ 必然事件是确定会发生的事件， ∴A打开电视机可能播放广告或其他内容，是随机事件； B买彩票中奖是随机事件； C在一个标准大气压下，水在时必然沸腾，是必然事件． D掷硬币正面朝上是随机事件； ∴ 选C． 【跟踪专练1】打开电视机，中央电视台正在播放“神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功”的新闻．这一事件是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可． 【详解】中央电视台正在播放“神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功”的新闻这一事件是随机事件， 故答案为：随机． 【跟踪专练2】下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，有理数的加法及乘方，熟练掌握相关定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解：打开电视机，正在播放动画片是随机事件，则①不是确定事件， 下个星期天会下雨是随机事件，则②不是确定事件， 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1为不可能事件，则③是确定事件， 一个有理数的平方是非负数为必然事件，则④是确定事件， 若异号，则是随机事件，则⑤不是确定事件， 综上，属于确定事件的有2个， 故选：B． 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 【典例】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【分析】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【详解】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 【跟踪专练1】下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 【答案】D 【分析】本题主要考查了可能性出现的大小，从大到小依次排列阴影部分的面积，即为转出黑色可能性从大到小的顺序． 【详解】解：题中黑色区域的面积由大到小排列依次为③⑤①④②， 故转出黑的概率由大到小也为③⑤①④②． 故选：D． 【跟踪专练2】王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是 事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试 次，才能正确输入密码． 【答案】 随机 100 【分析】本题考查了事件的分类，可能性大小，根据事件的分类可知该事件为随机事件，再计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开即可． 【详解】解：王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是随机事件， 四位数字，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则百位上的数字即有可能是中的一个，有10种可能， 同样，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也有10种可能， 依此类推，要打开该锁有种可能， 在最差的情况下，即前99次试验都失败，则第100次必定成功， 故最多可能试验100次． 故答案为：随机；100． 【题型3.概率的意义理解】 【典例】掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3 次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率．硬币质地均匀，每次掷硬币是独立事件，每次掷硬币的正面朝上的概率恒为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴每次掷硬币正面朝上的概率均为，且各次掷硬币相互独立， ∴再掷一次正面朝上的概率为， 故选：B． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【答案】丙 【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9，且0.9非常接近， ∴对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”． 即该事件是丙， 故答案为：丙． 【跟踪专练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【题型4.利用频率估计概率的方法】 【典例】在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 【跟踪专练1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分， ∴黑色部分占正方形的：， ∴二维码中黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 【题型5.基于概率公式的计算应用】 【典例】一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．投掷一次共有6种等可能的结果，其中，朝上面的数字大于4的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵投掷一次共有6种等可能的结果，其中，朝上面的数字大于4的结果有2种， ∴投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是． 故选：B． 【跟踪专练1】盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意可得从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率，再结合概率公式解答即可． 【详解】解：∵从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率是 ， ∴从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率是 ， ∵黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚， ∴， 故答案为： 故答案为： 【跟踪专练2】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 【题型6.已知概率求对应数量的问题】 【典例】一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球（只有颜色不同），若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查概率公式，将摸出一个球是红球的概率乘以球的总数即可求出这个布袋里红球的个数． 【详解】解：， 故答案为：4． 【跟踪专练1】对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（   ） A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件 【答案】D 【分析】本题考查了根据频数求频率，根据频率求数量． 由频数表可知，当抽取件数较大时，合格频率稳定在附近，因此可用频率估计概率，合格概率约为，乘以20000即可． 【详解】解：∵抽取件数达到1000件时，合格频率为，且频率在附近稳定， ∴合格概率约为， ∴出售20000件衬衣，合格品件数约为件． 故选：D． 【跟踪专练2】一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 【答案】12 【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量． 【详解】解：设白球有x个，则总球数为个． 根据题意得：． ， 即， 移项得， 即， 解得． 检验：当时，分母，方程成立． 故答案为12． 【题型7.用列举法求解概率】 【典例】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；根据列举法可进行求解． 【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共4种情况，其中两次正面都朝上的有1种情况，所以两次正面都朝上的概率是； 故选C． 【跟踪专练1】某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 【题型8.游戏公平性的判断与设计】 【典例】小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉，若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题主要考查了随机事件的概率，通过事件的发生判断概率是否相等是解题的关键． 根据事件发生的概率是否相等可得出结果． 【详解】解：∵图钉的质地不均匀，钉尖着地和不着地的概率不相等， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【跟踪专练1】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 【跟踪专练2】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【题型9.几何概率的概率求解】 【典例】如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率． 【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率，某事件的概率等于这个事件所占的面积与总面积之比． 算阴影部分的面积在圆的面积中的占比即可． 【详解】解：∵图中6个扇形的面积相等， ∴随机投掷飞镖落在阴影部分的概率 故答案为： 【跟踪专练2】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的计算方法计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 【题型10.频率估计概率的综合实际应用】 【典例】在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 【跟踪专练1】如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 【跟踪专练2】一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 【答案】20 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球， 由题意，得：， 解得：， 故盒子中约有个红色小球， 故答案为：． 1．下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【答案】D 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意； B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．“手可摘星辰”是不可能事件 B．概率是随机的，与频率无关 C．抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D．小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 【答案】A 【分析】此题主要考查了事件的分类，概率与频率，概率的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据事件的分类，概率与频率，概率的意义逐项排除即可． 【详解】解：、“手可摘星辰”是不可能事件，原选项说法正确，符合题意； 、概率不是随机的，与频率无关，原选项说法错误，不符合题意； 、抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的未必有次，原选项说法错误，不符合题意； 、小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率不一定是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 4．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 5．如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 6．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 7．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 8．小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：①和为2：，共1种；  ②和为3：共2种；③和为4：共3种；④和为5：共4种；   ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．   ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 9．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 10．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【答案】C 【分析】先理清所有等可能的抽签结果，再结合具体情况具体分析事件概率即可． 【详解】解：依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空， 张老师抽中轮空票的概率为，选项错误； 夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误； 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率， 即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确； 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果， 则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、根据概率公式计算概率，解题关键是理清所有等可能的抽签结果． 11．不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)不正确，理由见详解 (2)错误，理由见详解 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． 12．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 13．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【答案】(1) (2)白球的个数为个 【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 14．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【答案】(1)；； (2) (3)估计他命中的次数为次． 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：；；； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（2）可知，该运动员投中的概率为， ， 估计他命中的次数为次． 15．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 16．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05概率初步寒假预习闯关必备讲义 1.理解确定事件与不确定事件的概念，能区分必然事件、不可能事件和随机事件。 2.掌握概率的定义，知道概率的取值范围，会计算简单随机事件的概率。 3.能通过列表、画树状图等方法列举试验的所有等可能结果，进而求概率。 4.了解频率与概率的关系，知道大量重复试验时频率可作为概率的估计值。 重点:1.区分三类事件（必然事件、不可能事件、随机事件）。 2.简单随机事件概率的计算方法。 3.用列表法、树状图法列举所有等可能结果。 难点:1.准确判断试验的所有等可能结果。 2.理解频率与概率的区别与联系。 预习必备 知识点梳理 1.事件的分类 2.概率的定义 3.列举所有等可能结果的方法 4.频率与概率的关系 5.易错点 常考题型 精讲精炼 1.随机事件的分类 2.事件发生可能性大小的判断 3.概率的意义理解 4.利用频率估计概率的方法 5.基于概率公式的计算应用 6.已知概率求对应数量的问题 7.用列举法求解概率 8.游戏公平性的判断与设计 9.几何概率的概率求解 10.频率估计概率的综合实际应用 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.事件的分类】 1.必然事件 定义：在一定条件下，必然会发生的事件。 示例：太阳从东方升起；三角形内角和为 180°。 概率：必然事件的概率为1。 2.不可能事件 定义：在一定条件下，必然不会发生的事件。 示例：掷骰子掷出数字 7；在标准大气压下，水在 0℃以下不结冰。 概率：不可能事件的概率为0。 3.随机事件 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 示例：掷硬币正面朝上；买一张彩票中奖。 概率：随机事件的概率取值范围是0(事件)。 【知识点02.概率的定义】 1.概率的含义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，叫做这个事件的概率。 2.等可能事件概率的计算公式 若一个试验中所有可能的结果有n种，且这些结果发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，则事件A发生的概率为： P(A)= 其中n是所有等可能结果的总数，m是事件 A 包含的结果数。 【知识点03.列举所有等可能结果的方法】 1.直接列举法 适用场景：试验的结果较少，可直接一一列出。 示例：掷一枚硬币，结果有 “正面朝上”“反面朝上” 2 种。 2.列表法 适用场景：一次试验涉及两个因素，且每个因素有若干种可能结果。 示例：同时掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率，可通过列表列举出 36 种等可能结果。 3.树状图法 适用场景：一次试验涉及两个或更多因素，或试验分多个步骤完成。 示例：连续掷三次硬币，求三次都是正面朝上的概率，可画树状图列举出 8 种等可能结果。 【知识点04.频率与概率的关系】 1.频率的计算：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为。 2.关系 当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 频率是试验值，具有随机性；概率是理论值，是固定不变的。 【知识点05.易错点】 1.事件类型判错：混淆随机、必然、不可能事件，忽略发生条件。 2.忽略等可能性：直接套概率公式，未确认每种结果发生概率是否相同。 3.列举结果失误：列举时遗漏、重复，需按顺序（列表/树状图）完整呈现。 4.混淆频率与概率：把少数几次试验的频率当作固定概率。 5.误解概率含义：认为概率大必发生、概率小必不发生（仅表可能性大小）。 6.分步结果数算错：连续试验用加法算总数，正确方法是分步结果数相乘。 【题型1.随机事件的分类】 【典例】下列事件中是必然事件的是（   ） A．打开电视机，正在播放广告 B．任意买一张彩票，中奖 C．在一个标准大气压下，温度时水会沸腾 D．掷一枚硬币，正面朝上 【跟踪专练1】打开电视机，中央电视台正在播放“神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功”的新闻．这一事件是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【跟踪专练2】下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.事件发生可能性大小的判断】 【典例】盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【跟踪专练1】下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 【跟踪专练2】王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是 事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试 次，才能正确输入密码． 【题型3.概率的意义理解】 【典例】掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3 次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【跟踪专练2】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【题型4.利用频率估计概率的方法】 【典例】在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【跟踪专练1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【跟踪专练2】如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【题型5.基于概率公式的计算应用】 【典例】一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则 的值为 【跟踪专练2】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【题型6.已知概率求对应数量的问题】 【典例】一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球（只有颜色不同），若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是 ． 【跟踪专练1】对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（   ） A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件 【跟踪专练2】一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 【题型7.用列举法求解概率】 【典例】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 【跟踪专练2】在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型8.游戏公平性的判断与设计】 【典例】小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉，若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练1】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【跟踪专练2】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【题型9.几何概率的概率求解】 【典例】如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【跟踪专练2】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型10.频率估计概率的综合实际应用】 【典例】在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 【跟踪专练1】如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【跟踪专练2】一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球． 1．下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 2．下列说法正确的是（   ） A．“手可摘星辰”是不可能事件 B．概率是随机的，与频率无关 C．抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D．小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 3．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 4．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 5．如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 6．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 7．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 8．小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 10．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 11．不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 12．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 13．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 14．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 15．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 16．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $