精品解析：天津市西青区张家窝中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

2025-2026学年度第一学期高二第二次月考数学学科 （时长：120分钟 总分：150分） 一、单选题（每题4分，共56分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由，则，即， 有， 所以， 所以，则 故选：D 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 4. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 5. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心距，和比较大小，即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径， ,所以圆心距，所以两圆相外切. 故选：C 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 7. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 8. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，代入公式求解即可. 【详解】因为是等差数列， 所以，又，所以公差为， ， 故选：D. 9. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 10. 已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】由题意，，所以，， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题. 11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项. 【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为,两焦点的连线的方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以 ，解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题. 12. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 13. 设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率. 【详解】由于为等腰三角形， 所以，. 故选：A 14. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值. 【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3， 故选：B. 二、填空题（每题5分，共40分） 15. 已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】当焦点在轴上时，，解得， 所以长轴长为； 当焦点在轴上时，，解得（舍去）， 综上所述，椭圆的长轴长为. 故答案为：. 16. 等差数列中，若，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 17. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出. 【详解】因为点为抛物线上一点，所以，解得：. 所以焦点. 所以. 故答案为： 18. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 19. 已知数列满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】尝试求数列的前几项，归纳数列的周期性，可得结论. 【详解】由题意：，，，，， 所以满足. 所以 故答案为： 20. 设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为____，内切圆半径为____. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 21. 数列的前项和，则的通项公式___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案. 【详解】由题意数列的前项和，则， 当时，， 不适合上式， 故的通项公式， 故答案为： 22. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 【答案】 ①. (2，4) ②. 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程求出定点，题中曲线为半圆，数形结合判断直线与它的交点个数，进而得到k的范围﹒ 【详解】解：直线恒过点． 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，如图： 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 由图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是，或， 故答案为：(2，4)； 三、解答题（共54分） 23. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 24. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点． （1）求证：平面 （2）求直线和平面所成的角的正弦值． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， ，设面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2） （3） 【解析】 【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设面的法向量， ，所以， 取，得． 因为， 所以． 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）､（2）可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25. 设等差数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）； （2）36； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据通项公式及求和公式求解即可； （2）求得，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得数列的前6项为正，从第7项起为负，分和，分别求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； 【小问3详解】 令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 26. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1）； （2） 由题意可设， 由可得， 易知恒成立，所以， 又因为， 所以直线的方程为，令，则，故， 同理， 从而， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）由题意得，将点代入椭圆的方程可求得的值，进而可得椭圆的方程； （2）设，，，，，联立直线和椭圆的方程，可得，，直线的方程为，令，得，同理，由斜率公式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以，再将点代入得， 解得，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二第二次月考数学学科 （时长：120分钟 总分：150分） 一、单选题（每题4分，共56分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 4. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 8. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 24 D. 28 9. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 10. 已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）. A. B. C. D. 12. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13. 设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ） A. B. C. D. 14. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题5分，共40分） 15. 已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为________． 16. 等差数列中，若，则的值为______． 17. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则___________. 18. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 19. 已知数列满足，，则________． 20. 设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为____，内切圆半径为____. 21. 数列的前项和，则的通项公式___________. 22. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 三、解答题（共54分） 23. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 24. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点． （1）求证：平面 （2）求直线和平面所成的角的正弦值． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 25. 设等差数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）设数列的前项和为，求． 26. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $