直线的方程问题、直线过定点问题、对称问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线的方程问题、直线过定点问题、对称问题专项训练 直线的方程问题、直线过定点问题、对称问题专项训练 考点目录 直线的方程问题 直线过定点问题 对称问题 考点一 直线的方程问题 例1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行关系设直线方程为，代入点求解即可. 【详解】由题意可设l的方程为， 代入点，可得，得， 即l的方程为， 故选：A 例2．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个方向向量为，则直线的斜率为， ∵， ∴直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 例3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知直线经过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】由题意可得直线，化简可得. 故答案为：. 例4．（24-25高二上·河南濮阳·月考）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为 . 【答案】或 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 例5．（25-26高二上·河北·月考）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 例6．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 例7．（25-26高二上·天津红桥·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点，； (4)在轴、轴上的截距分别是，1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由题意知，，整理得. （2）由题意知，，整理得. （3）由题意知，，整理得. （4）由题意知，，整理得 变式1．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，该直线的斜截式方程为. 故选：B 变式2．（25-26高二上·山西·月考）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的斜率为， 且线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程是． 故选：B 变式3．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 【答案】 【详解】因为直线的法向量，所以设， 又直线过点，则，得， 则的方程为. 故答案为： 变式4．（25-26高二上·甘肃张掖·月考）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程 . 【答案】. 【详解】的顶点，高所在直线方程为， 角B的平分线所在直线方程为， 直线的斜率， 直线的方程为:，即， 联立，得， B点坐标为; ，，角B的平分线所在直线方程为， ， ，解得或（舍）， 直线的方程为:，即. 故答案为:. 变式5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为，其斜率为， 则，设， 整理得：. （2）边上的中垂线所在直线为，其斜率为 ，直线，，解得， 又因为的中点坐标为，即， 故可设， 整理得：. 变式6．（25-26高二上·北京西城·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； （2）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； （3）设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 变式7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； （2）由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 考点二 直线过定点问题 例1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 例2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 例3．（25-26高二上·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点 . 【答案】 【详解】由，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 例4．（25-26高二上·江苏扬州·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【详解】由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图，    因此为直角三角形，所以. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·福建漳州·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是． 故选：B． 变式2．（24-25高二上·广西·期中）设，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于动直线可知其过定点， 动直线，即，可知其过定点， 且，因此两条动直线相互垂直，    可知点Q的轨迹是以为直径的圆，且， 则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以的最大值为. 故选：B. 变式3．（24-25高二上·广东广州·期中）直线恒过的定点坐标为 . 【答案】 【详解】，令，则， 故其恒过点. 故答案为：. 变式4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ；的最大值为 ． 【答案】 / 【详解】可以转化为，故直线恒过定点A， ：，即，恒过定点B， 由 和 ：，满足 ， 所以 , 可得 , 所以 , 且，故，当且仅当时，等号成立； 因为，设为锐角，则， 所以， 所以当 时, 取最大值 . 故答案为：； 考点三 对称问题 例1．（25-26高二上·安徽安庆·月考）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 例2．（25-26高二上·江苏·月考）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 例3．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 例4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 【答案】 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 例5．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·山西太原·月考）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 变式3．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点 . 【答案】 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 【答案】 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 变式5．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 直线与的交点为，设点， 则，解得，， 直线经过点，记横截距，纵截距，则， 若时，直线过原点，直线方程，一般方程为； 若时，设直线方程为，则，解得， 直线方程，一般方程为； 综上，直线方程为或． （2）设点关于对称点， 则的中点位于直线上，且所在直线垂直于直线， ，解得， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线的方程问题、直线过定点问题、对称问题专项训练 直线的方程问题、直线过定点问题、对称问题专项训练 考点目录 直线的方程问题 直线过定点问题 对称问题 考点一 直线的方程问题 例1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知直线l经过点，且与直线平行，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知直线经过点，则直线的一般式方程为 . 例4．（24-25高二上·河南濮阳·月考）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为 . 例5．（25-26高二上·河北·月考）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 例6．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 例7．（25-26高二上·天津红桥·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点，； (4)在轴、轴上的截距分别是，1． 变式1．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·山西·月考）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 变式4．（25-26高二上·甘肃张掖·月考）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程 . 变式5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 变式6．（25-26高二上·北京西城·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 变式7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 考点二 直线过定点问题 例1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 例3．（25-26高二上·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点 . 例4．（25-26高二上·江苏扬州·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 变式1．（25-26高二上·福建漳州·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 变式2．（24-25高二上·广西·期中）设，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·广东广州·期中）直线恒过的定点坐标为 . 变式4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ；的最大值为 ． 考点三 对称问题 例1．（25-26高二上·安徽安庆·月考）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏·月考）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为 ． 例4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 例5．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·山西太原·月考）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点 . 变式4．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 变式5．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $