第十讲 一次函数课件 2026年中考数学考点研究基础复习

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数核心考点，涵盖图象与性质、待定系数法、与方程不等式联系及实际应用，通过知识要点表格化梳理、典型例题一题多设问、中考真题分地区分类汇编，对接中考说明，分析选择填空解答题考查权重，归纳参数取值、图象平移等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题体验+素养导向”，收录2025年上海、安徽等多地中考真题，典型例题研析培养抽象能力与模型意识，如通过一次函数不经过第三象限求参数范围，结合图象位置构建逻辑关系，实际应用中方案最值问题示范函数模型构建，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此设计分层教学，提升复习效率。

第十讲 一次函数 第1课时 一次函数的图象与性质 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.一次函数的图象 (1)正比例函数 是经过点(0,0)和点(1,_)的一条直线. (2)一次函数 是经过点(0,_)和点的一条直线. (3)图象关系 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到,b>0,向_移 动_个单位,b<0,向_移动_个单位. k b 上 b 下 -b 1.(1)下列函数中,y是x的正比例函数的是( ) A.y=2x-1 B.y= C.y=2x2 D.y= (2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是( ) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于( ) A.向左平移2个单位 B.向左平移1个单位 C.向右平移2个单位 D.向右平移1个单位 对点练习 B D B 2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 知识要点 k的符号 增减性 b的符号 所在象限 图象 k>0 y随x的增大而_ b>0 _ b<0 _ k<0 y随x的增大 而_ b>0 _ b<0 _ 增大 减小 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 对点练习 2.(1)若一次函数y=(k+3)x-1的函数值y随x的增大而减小,则k的值可能是( ) A.2 B. C.- D.-4 (2)若一次函数y=x+b(b是常数)的图象经过第一、二、三象限,则b的值可以 是_(写出一个即可). D 1(答案不唯一) 3.待定系数法求一次函数解析式 (1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标); (2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标). 知识要点 3.(1)经过原点和点(2,1)的直线的解析式为_. (2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为 _. 对点练习 y=x y=2x-1 4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系 对于一次函数y=kx+b: (1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程; (2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式; (3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式. 知识要点 4.如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的 解集为_. 对点练习 x>-2 典型例题 研析 考点 一次函数的图象与性质 【一题多设问】 例 已知一次函数y=(m-2)x+m+4(m≠2). (1)根据正比例函数的定义求参数的值: 若y是关于x的正比例函数,则m的值为_. (2)判断函数图象的位置: 若m=3,则该一次函数经过第_象限. (3)根据函数图象的位置求参数的取值范围: 若该一次函数经过第一、二、四象限,则m的取值范围为_. -4 一、二、三 -4<m<2 (4)根据函数图象的位置求参数的取值范围: 若该一次函数不经过第三象限,则m的取值范围为 -4≤m<2 . (5)根据函数的增减性判断函数值的大小: 当m=1时,若A(x1,y1),B(x2,y2)是该一次函数图象上的两点,且x1>x2,则y1 < y2(填“>”“<”或“=”). (6)由函数的增减性求参数的取值范围: 若A(x1,y1),B(x2,y2)是该一次函数图象上的两点,当x1<x2时,y1<y2,则m的取值范围为 m>2 . (7)求一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积: 若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,求 AOB的面积. 【解析】将点A(3,0)代入y=(m-2)x+m+4中得3(m-2)+m+4=0,解得m=,∴该一次函数的解析式为y=-x+. 当x=0时,y=,即该一次函数与y轴交于点B(0,). ∴S AOB=OA OB= 3 =. (8)求函数平移后的解析式: 若该一次函数图象与直线y=2x平行,将该函数图象先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后,求得到的新的一次函数的解析式. 【解析】∵该一次函数的图象与直线y=2x平行,∴m-2=2,m=4,∴原一次函数为y=2x+8.将该一次函数图象先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到新的一次函数的解析式为y=2(x-2)+8-3,即y=2x+1. (9)利用函数图象解一元一次方程: 若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),则方程(m-2)x+m+4=0的解为_. (10)利用函数图象解一元一次不等式: 若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),则不等式(m-2)x+m+4>0的解集为 _. x=3 x<3 (11)利用函数图象解一元一次不等式: 若该一次函数的图象与直线y=x-3交于(3,0),则关于x的不等式x-3>(m-2)x+m+4 的解集为_. x>3 (12)利用待定系数法求一次函数解析式: 若该一次函数的图象与坐标轴只有一个交点,过点A(-2,4)的直线l2与该一次函数图象交于点B(-1,b),求直线l2的解析式. 【解析】∵该一次函数的图象与坐标轴只有一个交点,则m+4=0,即m=-4.∴该一次函数的解析式为y=-6x. 设直线l2:y=kx+c,∵B(-1,b)在y=-6x的图象上, ∴将点B(-1,b)代入y=-6x中,得b=6,即B(-1,6), 将点A(-2,4),B(-1,6)代入y=kx+c中, 得解得∴直线l2的解析式为y=2x+8. 满分技法 1.若一次函数不经过第三象限,则可能经过第一、二、四象限或第二、四象限. 2.一次函数y=k1x+b1(k1≠0)和y=k2x+b2(k2≠0) (1)当k1=k2,b1≠b2时,它们的图象是两条平行的直线; (2)当k1=k2,b1=b2时,它们的图象是两条重合的直线; (3)当k1≠k2时,它们的图象是两条相交的直线; (4)当k1 k2=-1时,它们的图象是两条垂直的直线. 3.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤: (1)转化:将一元一次方程转化为一次函数; (2)画图象:画出一次函数的图象; (3)找交点:找出一次函数图象与x轴的交点,则交点横坐标即为一元一次方程的解. 中考真题 体验 1.(2025 上海中考)下列函数中,是正比例函数的是( ) A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y= D.y= 2.(2025 安徽中考)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M(1,2),且y随x的增 大而增大.若点N在该函数的图象上,则点N的坐标可以是( ) A.(-2,2) B.(2,1) C.(-1,3) D.(3,4) D D 3.(2025 扬州中考)已知m2 025+2 025m=2 025,则一次函数y=(1-m)x+m的图象不 经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024 陕西中考)一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6).若点A与 点B关于原点对称,则这个正比例函数的解析式为( ) A.y=3x B.y=-3x C.y=x D.y=-x D A 5.(2024 广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象 大致是( ) B 6.(2024 呼伦贝尔、兴安盟中考)点P(x,y)在直线y=-x+4上,坐标(x,y)是二元 一次方程5x-6y=33的解,则点P的位置在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 本课结束 第2节 一次函数的实际应用 典型例题 研析 中考真题 体验 典型例题 研析 考点1购买销售类问题 例1 (2025 烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价; (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少. 【解析】(1)设甲种路灯的单价是x元,乙种路灯的单价是y元, 根据题意得:,解得:. 答:甲种路灯的单价是60元,乙种路灯的单价是80元. (2)设购买m盏甲种路灯,则购买(40-m)盏乙种路灯,该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元, 根据题意得:w=60m+80(40-m)=-20m+3 200, ∵-20<0,∴w随m的增大而减小,又∵m≤(40-m),∴m≤10, ∴当m=10时,w取得最小值,此时40-m=40-10=30. 答:当购买10盏甲种路灯,30盏乙种路灯时,所需费用最少. 变式1 (2025 广安中考)某景区需要购买A,B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等,且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元. (1)求A,B两种帐篷的单价各多少元? (2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的,则购买A,B两种型号的帐篷各多少顶时,总费用最低?最低总费用是多少元? 【解析】(1)设A种帐篷的单价为x元,则B种帐篷的单价为(x+400)元, 由题意得:=,解得:x=600. 经检验:x=600是原方程的解,且符合题意, ∴x+400=1 000. 答:A种帐篷的单价为600元,B种帐篷的单价为1 000元. (2)设购买A种帐篷m顶,则购买B种帐篷(20-m)顶,总费用为W元. 由题意得:20-m≥m,解得:m≤15. 又∵两种型号的帐篷均需购买,∴0<m≤15. W=600m+1 000(20-m)=-400m+20 000. ∵-400<0,∴W随m的增大而减小, ∴当m=15时,W取最小值, =-400 15+20 000=14 000. 此时20-m=5. 答:当购买A种帐篷15顶,B种帐篷5顶时,总费用最低,最低总费用为14 000元. 考点2方案最值类问题 例2 (2025 德阳中考)中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩,其独特的空心技艺传承千年,从揉面、开条、上筷到拉扯成型,需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研,已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元,购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元. (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元? (2)为进一步推广此非遗美食,兴趣小组决定购买A,B两种型号挂面共40袋.在单价不变,总费用不超过950元,且B型挂面不少于10袋的条件下,共有几种购买方案?其中最低花费多少元? 【解析】(1)设A型挂面的单价是x元,B型挂面的单价是y元, 由题意得:解得 答:A型挂面的单价是20元,B型挂面的单价是30元. (2)设购买B型挂面a袋,则购买A型挂面为(40-a)袋, 由题意得:, 解得10≤a≤15, ∵a为正整数,∴a=10,11,12,13,14,15, ∴共有6种购买方案. 设总花费为w元, 由题意得:w=(40-a) 20+30a=10a+800, ∵10>0, ∴w随a的增大而增大. ∴当a=10时,w有最小值,最小值为10 10+800=900. 答:共有6种购买方案,最低花费为900元. 变式2-1 (2025 云南中考)请你根据下列素材,完成有关任务. 背景 某校计划购买篮球和排球,供更多学生参加体育锻炼,增强身体素质. 素材一 购买2个篮球和购买3个排球需要的费用相等; 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元; 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个,篮球和排球均需购买,且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍. 请完成下列任务: 任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元? 任务二 给出最节省费用的购买方案. 【解析】任务一:设每个篮球的价格是x元,每个排球的价格是y元, 根据题意得,解得. 答:每个篮球的价格是150元,每个排球的价格是100元. 任务二:设购买m个篮球,则购买(60-m)个排球,该校购买篮球和排球共花费w元, 根据题意得w=150m+100(60-m)=50m+6 000, ∵50>0,∴w随m的增大而增大, 又∵60-m≤2m,解得m≥20, ∴当m=20时,w取得最小值,此时60-m=60-20=40. 答:当购买20个篮球,40个排球时,总费用最低. 变式2-2 (2025 河南中考)为助力乡村振兴,支持惠农富农,某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元;4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元. (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价. (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱,且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需花费多少元. 【解析】(1)设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元, 则,解得. 答:甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元. (2)设购买甲种苹果a箱,则购买乙种苹果(12-a)箱,根据题意得12-a≤a,解得a≥6. 设该公司需花费w元, 则w=100a+80(12-a)=20a+960, ∵20>0,∴w随a的增大而增大, ∴当a=6时,w有最小值,最小值为20 6+960=1 080,即该公司最少需花费1 080元. 考点3行程问题 例3 (2025 龙东中考)一条公路上依次有A,B,C三地,一辆轿车从A地出发途经B地接人,停留一段时间后原速驶往C地;一辆货车从C地出发,送货到达B地后立即原路原速返回C地(卸货时间忽略不计).两车同时出发,轿车比货车晚 h到达终点,两车均按各自速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出发地的距离y(单位:km)与轿车的行驶时间x(单位:h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题: (1)图中a的值是_ ,b的值是_ ; (2)在货车从B地返回C地的过程中,求货车距出发地的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数解析式; (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 km. 【解析】(1)由图象可知,B,C两地的距离为120 km,A,B两地的距离为180 km, ∴a=180+120=300, ∵轿车的速度为=120(km/h),∴轿车从B地开往C地所需的时间为=1(h), ∴b=3-1=2; 答案:300 2 (2)∵轿车比货车晚 h到达终点, ∴货车到达C地所用时间为3-=(h), ∴N(,0), ∵货车从C地出发,送货到达B地后立即原路原速返回C地, ∴M(,120),设y=kx+b(k≠0), ∴,解得:, ∴y=-90x+240(≤x≤). (3)由(2)可知,货车的速度为120 =90(km/h),∴当轿车到达B地之前,两车相距 40 km时,120x+90x+40=300,解得x=; 当轿车到达B地,货车离B地40 km时,40 90=(h),则x=+=<2,符合题意; 当货车卸货后返回到C地时,此时轿车与C地的距离为120 =40(km),恰好满足题意,此时x=. 综上,轿车出发 h或 h或 h时与货车相距40 km. 变式3 (2025 天津中考)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家0.6 km,公园离家1.8 km.小华从家出发,先匀速步行了6 min到书店,在书店停留了12 min,之后匀速步行了12 min到公园,在公园停留25 min后,再用15 min匀速跑步返回家.下面图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息,回答下列问题: (1)①填表: 小华离开家的时间/min 1 6 18 50 小华离家的距离/km 0.6 ②填空:小华从公园返回家的速度为_ km/min; ③当0≤x≤30时,请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式; (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个x的值,小华离家的距离为y1,小华的妈妈离家的距离为y2,当y1<y2时,求x的取值范围(直接写出结果即可). 【解析】(1)①小华去书店的速度为 0.6 6=0.1(km/min), 1 min时小华离家的距离为0.1 km; 由图可知18 min时,小华离家的距离为0.6 km; 50 min时,小华离家的距离为1.8 km; 答案:0.1 0.6 1.8 ②小华返回家的速度为1.8 (70-55)=0.12(km/min). 答案:0.12 ③由①得小华去书店的速度为0.1 km/min, ∴当0≤x≤6时,y=0.1x; 由图可知,当6<x≤18时,y=0.6; 当18<x≤30时,设直线解析式为y=kx+b, 将(18,0.6),(30,1.8)代入解析式得,解得, ∴y=0.1x-1.2. 综上,y=. (2)如图所示,y2表示妈妈离家的距离与时间的函数图象, 根据题意可知,小华妈妈的速度为0.05 km/min, 所以其直线解析式为y2=0.05x, 当y1=y2时,令0.05x=0.6, 解得x=12,经验证6<12<18,符合题意; 令0.05x=0.1x-1.2, 解得x=24,经验证18<24<30,符合题意; 结合图象,当y1<y2时,12<x<24. 中考真题 体验 1.(2025 山西中考)氢气是一种绿色清洁能源,可通过电解水获得.实践小组通过实 验发现,在电解水的过程中,生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我 们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据,根据表中数据,y与x之间的函数关 系式为( ) A.y= B.y=9x C.y=x D.y= 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 C 2.(2025 福建中考)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的. 胡克定律为:在弹性限度内,弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比, 即F=kx,其中k为常数,是弹簧的劲度系数;质量为m的物体重力为mg,其中g为常数. 如图,一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内:当所 挂物体的质量为0.5千克时,弹簧长度为6.5厘米,那么,当弹簧长度为6.8厘米时,所 挂物体的质量为_千克. 0.8 3.(2025 山东中考)山东省在能源绿色低碳转型过程中,探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况,建立了一座圆柱形蓄水池,通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能,助力能源转型.已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米,注水时水位高度每小时上升6米. (1)请写出本次注水过程中,蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式; (2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米,每立方米的水可供发电0.3千瓦时,求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时. 【解析】(1)y=6x+5. (2)根据题意,得0.4(6x+5) 0.3=4.2, 解得x=5. 答:注水5小时可供发电4.2万千瓦时. 4.(2025 陕西中考)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x( )成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表: 气体温度x( ) … 25 30 35 … 气体体积y(L) … 596 606 616 … (1)求y与x的函数关系式; (2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度. 【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b, 则,解得, 故y与x的函数关系式为y=2x+546. (2)令y=700,则2x+546=700,解得:x=77. 答:停止加热时的气体温度为77 . 5.(2025 深圳中考)某学校采购体育用品,需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的价格为30元/个,篮球、足球的价格被弄脏了看不清楚,但已知如下表: ①篮球、足球、排球各买1个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买1个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球的单价; (2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过篮球个数的2倍,请问购买多少个篮球时,花费最少,最少费用是多少? 【解析】(1)设每个篮球x元,每个足球y元,由题意,得:或或 ,(三个方程组任选一个即可) 解得:. 答:每个篮球60元,每个足球50元. (2)设购买篮球m个,则购买足球(10-m)个, 2m≥10-m,解得:m≥, 设购买的总费用是w元, w=60m+50(10-m)=10m+500, ∵10>0,∴w随着m的减小而减小, ∵m≥且m为整数, ∴当m=4时,w最小值为540元. 答:当购买4个篮球时,所花费用最少,最少费用是540元. 本课结束 $