精品解析：浙江省杭州外国语学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

2025 年 12 月杭外九年级月考数学试卷 一． 选择题（共 11 小题） 1. 实数8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是关键；根据相反数的定义直接求解 【详解】解：实数8的相反数是． 故选A． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题中，是假命题的是（） A. 若，则当时， B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 方程有两个相等的实数根 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题，不等式的性质，一元二次方程根的情况，矩形的判定，垂直的性质，根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：A选项：当时，不等式两边同除以负数a，不等号方向改变，得，故本选项的命题是真命题； B选项：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题没有限定“在同一平面内”这一条件，故本选项的命题是假命题； C选项：方程的判别式，方程有两个相等的实数根，故本选项的命题是真命题； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的命题是真命题． 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键． 直接利用积的乘方、幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选D． 5. 已知，若，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 相似比为 ， ∴ 与 的周长比为 ， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的轴对称变换，解题的关键是求出直线关于轴对称后的解析式． 将直线关于轴对称，把替换为，得对称后的直线解析式为；将点代入该解析式，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：直线关于轴对称后，解析式为． 将代入，得，即，解得． 故选：B． 7. 将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画树状图法或列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是． 故选：B． 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，再根据根与系数关系得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得， ∴． ， ． ∴． 故选：B． 9. 如图、在中，，，，点D在线段上，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，连接，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得从而可得，可判断A正确，结合等边三角形易证，可判断B正确，结合已知解三角形易证，可知在的垂直平分线上，结合等边三角形易证，从而证明，得，可知在的垂直平分线上，从而判断D正确． 【详解】解：， 是等边三角形， 是等边三角形， 即： A正确，不符合题意； ，， B正确，不符合题意； 即 当且仅当平分时有 C不正确，符合题意； ， ， 在的垂直平分线上， ，， 在的垂直平分线上， 直线 D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的综合应用，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定；解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质进行全等的证明． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK=，PK=， ∴AK=， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ=， ∴QM=KQ+MK=+=， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长． 二． 填空题（共 5 小题） 11. 任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 __________ ． 【答案】 ，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的概念、实数的大小比较，掌握实数的大小比较法则、无理数的概念是解题的关键． 根据算术平方根的性质，把6和7表示成带根号的数，只需在介于这两个被开方数之间写出两个即可． 【详解】解：，， 且，， 和都是大于6小于7的无理数． 故答案为，（答案不唯一）． 12. 人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍． 大约为，请 将“150000”用科学记数法表示_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 将150000转换为科学记数法，需确定 和 的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：150000 可表示为 ． 故答案为： ． 13. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用正比例函数解析式确定，然后结合函数图象，写出在x轴上方，并且直线不在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴点A的坐标为， ∴当时，， ∵时，， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为__________（精确到米，参考数据：，，） ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度． 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列结论：①；②如果方程有两个实数根、，则；③；④如果，则．其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，可求出，则由对称轴计算公式可得，进而得到，再利用待定系数法得到，据此可判断①；由根与系数的关系可得，据此可判断②；根据当时，，得到，再由可判断③；求出点C的坐标，进而得到点B的坐标，则由对称轴计算公式可推出，再由，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴； 把点A的坐标代入抛物线解析式可得， ∴，故①正确； ∵方程有两个实数根、， ∴方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴； ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 16. 如图，在中，，，，在边上，且，连接，，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，勾股定理及平行四边形的性质与判定，熟练掌握轴对称图形的性质，勾股定理及平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点作，使得，连接，则有四边形是平行四边形，所以，然后可得，过点作，并延长使得，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点三点共线时，有最小值，最小值为的长，进而根据勾股定理及轴对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，使得，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作，并延长使得，连接，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点三点共线时，有最小值，最小值为的长， 设，则有， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为． 三． 解答题（共 8 小题） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简、解一元二次方程，掌握分式的化简步骤是解题的关键． 首先将已知分式进行化简，最后结合和分式有意义条件求得，进而代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴原式． 18. 如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵平分，且， ∴． ∴在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质， 对于（1），根据角平分线的性质得，再结合已知条件根据“斜边直角边”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的性质求出，再根据角平分线的性质求出，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 19. 为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．） 下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87． 七年级抽取的学生的竞赛成绩频数分布直方图 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 a 98 99.6 八 87.2 86 b 88.4 （1）填空：________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共3000人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？ 【答案】（1）84，100， （2） 解：根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好． 理由：从平均分的角度，八年级的平均数87.2高于七年级的平均分87， ∴从平均分的角度八年级学生计算能力较好； 从中位数的角度看，八年级的中位数86高于七年级的中位数84， ∴从中位数的角度八年级学生计算能力较好； 从众数的角度看，八年级的众数100高于七年级的众数98， ∴从众数的角度八年级学生计算能力较好； 从方差的角度看，八年级的平均数高于七年级的平均数，且同时方差小于七年级，所以从方差的角度八年级学生计算能力较好． （3）1200人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数、众数的定义，可以得到a、b的值； （2）根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可； （3）利用样本估计总体，用3000乘以样本中测试成绩达到90分及以上的所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个， ∵七年级的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89， ∴中位数， ∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多， ∴众数； 故答案为：84；100； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1200人． 20. 【问题背景】 如图，在中，分别是和的中点，连接交于点，且． 【探索求证】 （1）求证：四边形为菱形； 【问题解决】 （2）在的延长线上取一点，连接，使得．若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质和三角形外角的性质可知，利用勾股定理可求，过点作于点，在中，利用勾股定理可求，从而可得：，在中利用勾股定理可求． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知四边形是菱形， ，，， ， ， ， ∵四边形是菱形，，， ，， ， ， 如下图所示，过点作于点， 则， ， ， 解得：， 在中，， ， 在中，， 的长度是． 21. 已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当，时， ，， ； 【小问2详解】 ∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 22. 发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】（1）①；②石块能飞越防御墙 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 23. 已知，二次函数． （1）若该图象过点，求函数的顶点坐标； （2）当时， y的最大值是，求a的值； （3）当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） a的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象性质，二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． （1）把点代入中，求解即可； （2）分两种情况：和讨论，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，结合可知B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，然后求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； 【小问3详解】 解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 24. 如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下即，求的最大值． 【答案】（1）证明：如图：连接BG， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ∴，即． （2）①；②． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，利用圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）①先根据圆周角定理、勾股定理可得、、、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可；②通过证明，进而得到，再根据等高三角形得到，最后代入计算即可； （3）分别证明和得到、，然后代入，最后根据等式的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵是直径，弦于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． ②∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴相似比为， ∴，即， ∵和是等高三角形， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数关系式． 【小问3详解】 解：在中，， ∵， ∴，即：，解得：， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， ∵，即最小值为 ∴， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年 12 月杭外九年级月考数学试卷 一． 选择题（共 11 小题） 1. 实数8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是假命题的是（） A. 若，则当时， B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 方程有两个相等的实数根 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图、在中，，，，点D在线段上，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，连接，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 二． 填空题（共 5 小题） 11. 任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 __________ ． 12. 人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍． 大约为，请 将“150000”用科学记数法表示_______________． 13. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是________． 14. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为__________（精确到米，参考数据：，，） ． 15. 如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列结论：①；②如果方程有两个实数根、，则；③；④如果，则．其中正确的结论有______． 16. 如图，在中，，，，在边上，且，连接，，则的最小值是__________. 三． 解答题（共 8 小题） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．） 下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87． 七年级抽取的学生的竞赛成绩频数分布直方图 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 a 98 99.6 八 87.2 86 b 88.4 （1）填空：________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共3000人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？ 20. 【问题背景】 如图，在中，分别是和的中点，连接交于点，且． 【探索求证】 （1）求证：四边形为菱形； 【问题解决】 （2）在的延长线上取一点，连接，使得．若，求的长． 21. 已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 22. 发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 23. 已知，二次函数． （1）若该图象过点，求函数的顶点坐标； （2）当时， y的最大值是，求a的值； （3）当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 24. 如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下即，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $