5.2.2 同角三角函数的基本关系(一) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕同角三角函数基本关系展开，通过必备知识自主导学（平方关系、商数关系及概念辨析）引导学生夯实基础，再以关键能力师生共研（求三角函数值、弦切互化等题型）深化应用，构建从概念理解到技能提升的学习支架。 其亮点在于融入数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，采用“概念辨析+分层典例+总结升华”教学模式，如已知tanα求sinα时强调象限符号判断（逻辑推理），弦切互化中通过除cosα转化为正切（数学运算）。帮助学生提升运算推理能力，为教师提供系统教学资源与分层练习设计参考。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.2.2　同角三角函数的基本关系(一) 内容概览 【学习目标】 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(数学抽象、逻辑推理) 2.会利用同角三角函数的基本关系进行弦与切的转化.(数学运算) 3.能解决与sin α±cos α,sin αcos α相关的问题.(数学运算、逻辑推理) 01 必备知识•自主导学 同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=__. 2.商数关系:=_____.  【点拨】 (1)“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对使函数有意义的“任意”一个角关系式 都成立,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2 的正弦,两者是不同的. (3)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. 1 tan α 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对∀x∈R,sin25x+cos25x=1.( ) 提示:由同角三角函数的平方关系可知正确. (2)对任意角α,sin α=cos α·tan α都成立.( ) 提示:式子成立的条件是α≠+kπ,k∈Z. (3)如果sin2α+cos2β=1,那么α=β.( ) 提示:α与β不一定相等,如终边相同的角. √ × × 02 关键能力•师生共研 类型1利用同角三角函数关系式求三角函数值(数学运算) 【典例1】(教材提升例6)(1)已知sin α=-,α在第四象限,求cos α,tan α的值; (2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值; (3)已知cos α=,求sin α,tan α的值. 【解析】(1)因为sin α=-,α在第四象限, 所以cos α==,tan α==-1. (2)因为tan α=-<0, 所以sin2α===, 当α为第二象限角时,sin α=,cos α=-; 当α为第四象限角时,sin α=-,cos α=. (3)因为cos α=>0,当α为第一象限角时,sin α==,tan α=, 当α为第四象限角时,sin α=-,tan α==-. 【总结升华】 利用同角三角函数关系式求三角函数值 (1)由已知三角函数的符号确定角的终边所在的象限; (2)利用同角三角函数的基本关系求出其余三角函数值; (3)根据角所在象限确定取正取负. 【即学即练】 (多选)下列说法中正确的有(　　) A.若sin α=,则cos α=± B.已知角α∈(π,),若tan α=3,则sin α= C.已知角α∈(0,π),若cos α=,则tan α= D.对于任意角α都有tan α= 【解析】选AC.对A,因为sin α=,所以cos α=±=±,正确; 对B,因为tan α=3,α∈(π,),所以sin α的值为负数,不正确; 对C,α∈(0,π),因为cos α=,所以α在第一象限,则tan α==,正确; 对D,当α=+kπ,k∈Z时,cos α=0,tan α不存在,故不正确. 类型2弦切互化求值(数学运算) 【典例2】(教材提升·习题5.2T15改编) 已知=-1,求下列各式的值: (1); (2)sin2α+sin α·cos α+2. 【解析】因为=-1,所以tan α=, (1)原式==-. (2)原式=+2=+2=. 【总结升华】 切化弦求值 (1)若已知tan α,求关于sin α,cos α的分式奇次式,可以根据奇次式的方次同除以cos α的n次幂,化为正切后代入计算; (2)若要求的奇次式是2次的整式,可以把分母看成1,令1=sin2α+cos2α再化切后计算. 【即学即练】 已知tan α=2,计算: (1);　(2). 【解析】(1)由三角函数的基本关系式, 可得====. (2)由三角函数的基本关系式,可得 =====. 类型3sin θ±cos θ,sin θcos θ三者之间的关系(数学运算、逻辑推理) 【典例3】已知sin α+cos α=-,0<α<π. (1)求sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值. 【解析】(1)由sin α+cos α=-,两边平方得(sin α+cos α)2=, sin2α+2sin αcos α+cos2α=,所以sin αcos α=-. (2)因为0<α<π,所以sin α>0,又sin α+cos α=-,所以cos α<0,sin α-cos α>0. sin α-cos α===. 【总结升华】 sin θ±cos θ,sin θcos θ三者的关系 (1)对于三角函数式sin θ±cos θ,sin θcos θ之间的关系,通过(sin θ±cos θ)2 =1±2sin θ·cos θ进行转化. (2)若已知sin θ±cos θ,sin θcos θ中三者之一,利用方程思想可以求得其余的 三角函数值. 提醒:开方时判断sin α±cos α的符号是解题的关键,依据是角的象限和 sin αcos α的符号等. 【即学即练】 1.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于(　　) A. B.- C.- D. 【解析】选C.由已知得(sin α-cos α)2=, 即sin2α+cos2α-2sin αcos α=,又sin2α+cos2α=1,所以1-2sin αcos α=, 所以sin αcos α=-. 2.若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ=　　　　　.  【解析】因为0<θ<π,sin θcos θ=-<0, 所以sin θ>0,cos θ<0. 所以sin θ-cos θ>0. 所以sin θ-cos θ=====. 答案: $