5.2.2 同角三角函数的基本关系(二) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“同角三角函数的基本关系(二)”，围绕化简、证明及综合应用展开，通过“关键能力•师生共研”导入，承接前序基础内容，以典例解析为支架，结合即学即练，帮助学生从单一公式应用过渡到复杂问题解决。 其亮点在于突出数学运算与逻辑推理核心素养，如化简中总结“化切为弦”等技巧，证明题采用左右互推及归一法，综合应用一题多解（配方与弦化切）。采用“典例-解析-总结-练习”结构，提炼方法规律，学生能系统掌握技能提升解题能力，教师可直接利用结构化内容高效开展教学。

01 关键能力•师生共研 5.2.2　同角三角函数的基本关系(二) 内容概览 【学习目标】 1.会利用同角三角函数的基本关系解决相关的最值问题.(数学运算) 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(数学运算、逻辑推理) 01 关键能力•师生共研 类型1利用同角三角函数的基本关系化简(数学运算) 【典例1】化简: (1)-; (2); (3)sin2αtan α++2sin αcos α. 【解析】(1)原式 ====-2tan2α. (2)原式===1. (3)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α ===. 【总结升华】 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 【即学即练】 (2024·六安高一检测)(教材提升练习T4)化简: (1)+(1+tan2α)cos2α; (2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α. 【解析】(1)原式=+(1+) cos2α =+·cos2α=1+1=2. (2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α=·cos2α-sin2α=0. 类型2利用同角三角函数的基本关系证明(逻辑推理) 【典例2】(教材提升·例7) 求证:=. 【证明】方法一:因为右边 === ===左边,所以原等式成立. 方法二:因为左边==, 右边=====,所以左边=右边,原等式成立. 【总结升华】 证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简. (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异. (4)变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等. (5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”. 【即学即练】 求证:=. 【证明】方法一: 左边=====右边. 所以原等式成立. 方法二: 右边=====左边. 所以原等式成立. 类型3同角三角函数关系的综合应用(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(一题多解)已知3sin2α-4sin αcos α+1=0. (1)求tan α的值; (2)求的值. 【解析】(1)方法一:因为3sin2α-4sin αcos α+1=0, 所以4sin2α-4sin αcos α+cos2α=0, 即(2sin α-cos α)2=0,所以2sin α-cos α=0, 所以tan α=. 方法二:因为sin2α+cos2α=1,3sin2α-4sin αcos α+1=0, 所以+1=0, 分子分母同时除以cos2α,得+1=0, 即(2tan α-1)2=0,解得tan α=. (2)因为tan α=,所以===. 【总结升华】 关于同角三角函数关系的综合应用 解题时要善于整体观察式子的特点,围绕着1=sin2α+cos2α进行变形构造,如果式子中含有正切,一般要化为正、余弦后再进行构造. 【即学即练】 化简:. 【解析】 = = == =sin α+cos α. $