5.2.1 三角函数的概念(一) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的概念，通过“必备知识•自主导学”先以单位圆交点P(x,y)定义正弦、余弦、正切，再扩展到终边上任意点坐标法，结合“思考”“点拨”搭建从具体到抽象的学习支架，衔接任意角知识与函数定义。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过“明辨是非”辨析易错点，典例分类型讲解单位圆及终边上点求三角函数值，“总结升华”提炼步骤，即学即练及时巩固。学生能深化定义理解，教师可直接用于师生共研，提升教学效率。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念(一) 内容概览 【学习目标】 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象) 2.会利用任意角的三角函数的定义求值.(数学抽象、数学运算) 01 必备知识•自主导学 一、三角函数的概念(单位圆法) 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) 正弦 把点P的________叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=_____ 余弦 把点P的________叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=_____ 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tan α,即=tan α(x≠0) 三角 函数 正弦函数y=sin x,x∈R 余弦函数y=cos x,x∈R 正切函数y=tan x,x∈{ x|x≠+kπ(k∈Z)} 纵坐标y 横坐标x sin α cos α 【思考】 一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗? 提示:对于交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的.所以点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数值. 二、三角函数的定义(坐标法) (1)条件:设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标(x,y),r=|OP|=. (2)结论:正弦函数sin α=,余弦函数cos α=,正切函数tan α=. 【点拨】 1.单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆. 2.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边与单位圆的交点,则cos α=-x.( ) 提示:根据余弦函数定义可知cos α=x,错误. (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( ) 提示:终边相同的角的三角函数值都相同,正确. (3)任意一个角都有三角函数值.( ) 提示:90°的正切函数值不存在. (4)sin π=0.( ) 提示:角π的终边与单位圆的交点为(-1,0),故sin π=0. × √ × √ 02 关键能力•师生共研 类型1利用单位圆求三角函数(数学抽象) 【典例1】(1)已知单位圆上一点P(-,y),设以OP为终边的角为θ(0<θ<2π),求θ的正弦值、余弦值. 【名师点拨】先根据点P在单位圆上,求出y;再根据任意角的三角函数的定义即可求解. 【解析】因为点P(-,y)在单位圆上, 所以(-) 2+y2=1,解得y=或y=-. 当y=时,sin θ=,cos θ=-. 当y=-时,sin θ=-,cos θ=-. (2)利用定义求的正弦、余弦和正切值. 【解析】 如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B, 在△OPB中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=, |OB|=,则P(-,).所以sin =, cos =-,tan ==-. 【总结升华】 已知终边与单位圆交点求三角函数值 (1)若已知角的终边与单位圆的交点坐标,利用三角函数定义写出三角函数值; (2)若角的终边与单位圆交点坐标未全部已知,可以根据单位圆的半径为1,求出未知量,然后再用三角函数的定义写出三角函数值. 【即学即练】 已知角α的终边与单位圆交于点P(,),则cos α=(　　) A. B. C. D.± 【解析】选B.由三角函数的定义可知,角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值,故cos α=. 类型2由终边上的点求三角函数值(数学抽象) 【典例2】(1)已知点P(-2a,a)(a≠0)是角α终边上一点,求sin α,cos α,tan α的值; (2)已知角α的终边在直线y=x上,求sin α,cos α,tan α的值. 【名师点拨】(1)先求出r,然后分a>0和a<0两种情况,根据任意角的三角函数的定义求解即可. (2)由题意得角α的终边上某一点的坐标为(x,x),求出r,然后分x>0和x<0两种情况,根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解析】(1)因为P(-2a,a), 所以r==|a|. 当a>0时,r=a,所以sin α=,cos α=-,tan α=-;当a<0时,r=-a, 所以sin α=-,cos α=,tan α=-. (2)由题意得角α的终边上某一点的坐标为(x,x),所以r==2|x|,当x>0时,r=2x,所以sin α=,cos α=,tan α=. 当x<0时,r=-2x,所以sin α=-,cos α=-,tan α=. 【总结升华】 已知终边上任意一点求三角函数值 (1)若已知角α终边上任意一点P(x,y),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),其中 r=. (2)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 【即学即练】 1.角α的终边经过点(3,4),则=(　　) A. B. C.7 D. 【解析】选C.由角α的终边经过点(3,4), 可得sin α=,cos α=,则==7. 2.(2025·长沙高一检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴, 若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=-,则y=(　　) A.1 B.-1 C.±1 D.2 【解析】选B.根据题意可知=-,解得y=-1. $