精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷

陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中，正确的是（ ） A. 数列 和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列 和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】当 时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当 时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 3. 用数学归纳法证明的过程中，时的左边比 的左边增加了的量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出当 时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当 时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去 时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 4. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【详解】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，再运用公式即可求出. 【详解】以点 为原点,为轴建系，如图所示： 则，所以，, 所以的单位向量为， 所以点到直线 的距离为， 故选：A. 6. 已知数列的前项和为， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系可求得数列的周期，由此可求得. 【详解】， 数列是周期为的数列， 又 ，，， 所以， . 故选：A. 7. 已知O为坐标原点，抛物线 上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的性质可得，可求抛物线方程，设直线．与抛物线方程联立，可得，由题意可得，可求，进而利用向量的数量积的坐标运算可求. 【详解】因为抛物线 一点到其焦点和准线的距离之和为4， 所以，解得 ，所以抛物线C的标准方程为 ． 由抛物线C的方程可知，焦点，根据题意可知直线PQ的斜率存在且不为0， 设直线． 由，消去x整理得， 所以，又， 所以， 解得，则，， 则． 故选：A． 8. 有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理.那么，原来至少有多少个桃子，最后至少有多少个桃子.（ ） A. 625 256 B. 621 252 C. 3125 1024 D. 3121 1020 【答案】D 【解析】 【分析】设第5只猴子来的时候有个桃子，逐一倒推得到第1只猴子来的时候有个桃子，由为整数，得到最少为255，即可得到答案. 【详解】设第5只猴子来的时候有个桃子， 则第4只猴子来的时候有个桃子， 则第3只猴子来的时候有个桃子， 则第2只猴子来的时候有个桃子， 则第1只猴子来的时候有个桃子， ， 因为4与5互质，且为整数，所以 能被整除，故 最小为256，所以最少为255，此时， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等比数列的前项和，前项积记为，则（ ） A. 公比为2 B. C. D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合求出公比及通项，再逐项求解判断. 【详解】由等比数列的前项和，得， ， 对于A，等比数列的公比，A正确； 对于B，由，得，即，解得 ，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，， 当或时，取得最小值 又函数单调递增，因此当或时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则； C. 平面的法向量分别为，则 ； D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】按照线线垂直、线线平行、面面平行的向量表示以及平面的法向量依次判断4个选项即可. 【详解】， 直线l与m垂直，A正确； ，或，B错误； 不共线，所以与不平行，故C错误； ，向量是平面的法向量， ，即，则，D正确． 故选：AD． 11. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时， ， 当时，，所以D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项等比数列中，若，，则______. 【答案】1024## 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以 ， 由，可得 ， 所以，即. 故答案为： 13. 三棱锥 中， ，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角为________. 【答案】60° 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义得出（或其补角）为异面直线与所成的角，再应用余弦定理计算求解. 【详解】如图，取的中点，连接 ，， 则，，（或其补角）为异面直线与所成的角， ，， 又，. ，则异面直线与所成的角为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，点满足，若上存在点使得，则的离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算可得出，根据可求出点的轨迹方程，求出，根据可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设点，易知点，由题意可得， 所以，，即点， 由，得， 整理可得， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 又因为点在椭圆上，则圆 与椭圆有公共点， ， 当时，即当时，当时，； 故有，可得，解得； 当时，即当时，当 时，， 故有，即，矛盾. 综上所述，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： 【小问2详解】 设 ， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 16. 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得 ，则，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以. 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为 恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 所以 ， 所以 . 【小问3详解】 由（1）（2），则 ，整理得 恒成立， 令 ，则 ， 当时，当 时，当时， 所以 ，即的最小值为 ， 综上， . 18. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求的面积. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，即可得到，从而数列的通项公式，再由，利用裂项相消法计算可得； （3）由（2）可知：，，，求出点到直线的距离及，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则 ，解得 ， 所以抛物线的方程 ； 【小问2详解】 由可知 ， ， 因为点在抛物线 上，则，且， 过， ，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或，，可得， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以， 又，， ； 【小问3详解】 由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中，正确的是（ ） A. 数列 和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 2. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 用数学归纳法证明的过程中，时的左边比 的左边增加了的量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为， ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知O为坐标原点，抛物线 上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理.那么，原来至少有多少个桃子，最后至少有多少个桃子.（ ） A. 625 256 B. 621 252 C. 3125 1024 D. 3121 1020 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等比数列的前项和，前项积记为，则（ ） A. 公比为2 B. C. D. 有最小值 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则； C. 平面的法向量分别为，则 ； D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 11. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项等比数列中，若，，则______. 13. 三棱锥 中， ，、分别为、的中点，，则异面直线与 所成的角为________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，点满足，若上存在点使得，则的离心率的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 16. 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）设数列的前项和为，求． 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 18. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $