专题03乘法公式与整式的除法寒假预习讲义(知识点梳理+典题精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03乘法公式与整式的除法寒假预习讲义 1 预习目标 1.掌握平方差、完全平方公式及同底数幂除法、单项式与多项式除以单项式的 运算法则，理解公式与法则的推导逻辑及几何意义（仅乘法公式）。 2.能熟练运用乘法公式、整式除法法则进行运算，解决化简求值等基础问题， 掌握零指数幂、负整数指数幂的规定并正确应用。 3.学会公式逆用、变形及运算转化思想，提升整式运算的灵活性与严谨性，避 免常见易错点。 4.培养观察、归纳和逻辑推理能力，感受数形结合、转化思想在数学运算中的 应用。 2 预习内容概览 预习知识 1核心公式 2.应用技巧 点梳理 3整式的除法 4.易错点警示 1.平方差公式的计算应用 2.平方差公式与几何图形 3.完全平方公式的运算应用 4.完全平方公式的几何图形应用 常考题型 5.多项式乘多项式的化简与求值 6完全平方平方公式的变形求值技巧 精讲精炼 7.完全平方式中字母系数的求解 8.单项式除以单项式的运算 9.多项式除以单项式的运算 10.整式四则混合运算 11.整式的混合运算 强化巩固 (15题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.核心公式】 1.平方差公式 公式内容 试卷第1页，共3页 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 文字表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2 公式特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，一项完全相同，另一项互为相反 数。 (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方。 (3)公式中的a、b可以是单个数字、字母，也可以是单项式或多项式。 举例应用 (2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9 (m-n)(m+n)m2-n2 2.完全平方公式 公式内容 ①两数和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 ②两数差的平方：(a-b)2=a2-2ab+b2 文字总结：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方。 公式特点 (1)左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式。 (2)右边的三项中，两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边两项乘积 的2倍，符号与左边二项式中间的符号一致。 (3)公式中的a、b可以是数字、字母、单项式或多项式。 举例应用 (x+5)2=x2+2-x·5+52=x2+10x+25 (3y-2)2=(3y)2-2.3y-2+22=9y2-12y+4 易错点 1.平方差公式中，不要漏写平方，避免出现(a+b)(a-b)=a-b的错误。 2.完全平方公式中，不要漏掉两倍乘积项，避免出现(a+b)2=a2+b2的错误。 3.当公式中的a或b是负数或多项式时，要注意添加括号，再进行计算。 例：(-2a+b)2=(b-2a)2=b2-4ab+4a2 【知识点02.应用技巧】 试卷第1页，共3页 1.公式识别 平方差公式：寻找"相同项”和“相反项” 完全平方公式：寻找"两数和（或差）的平方”结构 2。符号处理 注意括号前的负号对结果的影响 例如：(-a+b)2=(b-a)2=b2-2ab+a2 3.整体思想 将复杂代数式视为一个整体应用公式 例如：(x+y+z)(x+y-z)=[(x+y)+z][(x+y)-z]=(x+y)2-z2 4.常见错误辨析 避免(a+b)2=a2+b2的错误 注意(-a-b)2=(a+b)2的正确变形 【知识点03.整式的除法】 1.单项式除以单项式 运算法则 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 计算步骤 (1)系数相除：按照有理数的除法法则计算。 (2)同底数幂相除：底数不变，指数相减，即am÷an=am-n(a0,m、n都是正整 数，且m>n)。 (3)处理单独字母：只在被除式出现的字母，直接保留在商中。 2.多项式除以单项式 运算法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的 商相加。文字表达式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m0) 计算步骤 (1)拆分多项式：将多项式的每一项分别与单项式相除。 (2)逐项计算：按照单项式除以单项式的法则计算每一项的商。 试卷第1页，共3页 (3)合并商：将所有项的商相加，注意符号。 3.整式除法的注意事项 (1).零指数幂：规定a0-1(a≠0)，注意底数不能为0。 (2)计算时注意符号：系数相除时，同号得正，异号得负。 (3)多项式除以单项式时，不要漏除常数项，如果多项式的某一项与除式相同， 相除后得1，不是0。 【知识点04.易错点警示】 一、乘法公式易错点 1.平方差公式 结构判错，非“同项2-反项2”误用公式 含负号时，漏给整体加括号再平方 2.完全平方公式： 丢中间两倍乘积项，错写成a2+b2 乘积项符号判错，差的平方中间项写成正 系数平方时，漏算系数的平方 二、整式的除法易错点 1.单项式除以单项式： 同底数幂相除，指数相加（应为相减） 系数相除忽略符号，异号得正 遗漏只在被除式中的字母及指数 2.多项式除以单项式： 漏除多项式中的某一项（尤其常数项） 逐项相除后，多余合并同类项 零指数幂：忽略底数不为0的前提条件 常考题型精讲精练 【题型1.平方差公式的运算应用】 【典例】下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(a+b)(-a-b)B.(a-b)(-a+b)C.(a+b)(a-b) D.（a+b)(a+b 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若x-y=2,x2-y2=10,则x+y= 【跟踪专练2】若A=(2+1(22+1(2+1(2+(26+1(22+…(2208+1)+1,则4的值 为() A.24097 B.24096 C.24095 D.24094 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】若把边长为a米(a>10)的正方形花园一边增加10米，一边减少10米.则改造 后花园的面积·（填变大、变小或不变） 【跟踪专练1】如图1所示，从边长为α的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形 (a>b),再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的 面积关系，写出一个表示因式分解的式子为() a-b Q 图1 图2 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-b2=(a-b12 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 【跟踪专练2】如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为b的小正方形， 把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平 行四边形 a (I)用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一：一，方法二： (均 用含a,b的代数式表示)； (Ⅱ)计算537.52-462.52=_ 【题型3.完全平方公式的运算应用】 试卷第1页，共3页 【典例】下列各式中正确的是() A.(a-b)2=a2-b3 B.(a+2b)2=a2+2ab+b2 C.(a+b)2=a2+b2 D.(-a+b)2=a2-2ab+b2 【跟踪专练1】若y=5,(x+y)2=35,则x2+y2的值为. 【跟踪专练2】已知a,b,c分别是ABC的三边长，若a2+2ab+b2=c2+32,a+b-c=4, 则ABC的周长是() A.3 B.6 C.8 D.12 【题型4.完全平方公式的几何图形应用】 【典例】如图，正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a,b,若aBCG的面积为4，阴 影部分的面积为38，则a+b=■ D C 【跟踪专练1】有一张边长为acm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加 bcm,木工师傅设计了如图所示的三种方案： a a a 方案一 方案二 方案三 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是() A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 【跟踪专练2】如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,BE=8.当四边 形ABGF和四边形CDEG都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为 (提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°) 试卷第1页，共3页 E 【题型5.多项式乘多项式的化简与求值】 【典例】若(x+m与(x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为() A.-3 B.3 C.0 D.1 【跟踪专练1】若a+b=5,ab=6,则a+1)(b+1)=一 【跟踪专练2】实数a,b,c满足a+b+c=1且a2+b2+c2=a3+b3+c3;则 a2(b+c+b2(a+c+c2(a+b)的值为() A.0 B c. 27 D.1 【题型6.完全平方公式的变形求值技巧】 【典例】已知(x+y)2=26,y=5,则x2+y2的值是 【跟踪专练1】若x2-8x+15=(x-a)2+b,则a、b的值分别是() A.a=-4,b=1 B.a=-4,b=-1 C.a=4,b=-1 D.a=4,b=1 【跟踪专练2】若x满足(2024-x)+(2026-x)=4042,则(2024-x)(2026-x)的值 为 【题型7.求完全平方式中的字母系数】 【典例】下列多项式属于完全平方式的是() A.x2-2x+4B.+x+4 C.x2-xy+y2 D.4x2-4x-1 【跟踪专练1】若关于x的整式9x2-(2k-1)x+4是某个关于x的整式的平方，则k的值 为 【跟踪专练2】如果多项式x2+2(m+4)x+25是一个完全平方式，则m的值是() A.5 B.1 C.1或-9 D.1或9 试卷第1页，共3页 【题型8.单项式除以单项式的运算】 【典例】计算：（-28xy2)÷(7xy)=一 【跟踪专练1】下列整式运算正确的是() A.3a+2b=5ab B.a2.a3=a C.-a2b)}2=ab2 D.a2b3÷a=a 【跟踪专练2】计算：(2x(-3y2)÷(-6x2y)= 【题型9.多项式除以单项式的运算】 【典例】一个长方形的面积为(9ab2+6ab),一边长为3ab,则它的另一边长为() A.3b2+2a B.3b+6a C.3b2+2a2 D.3b+2a 【跟踪专练1】已知一个多项式与单项式-7xy4的积为7y:2xy)-28x'y,则这个多项式 为 【跟踪专练2】如图，边长为m+4)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩 余部分可剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为() m+4 A.m+4 B.m+8 C.2m+4 D.2m+8 【题型10.整式四则混合运算】 【典例】计算(2x2-x2.x的结果等于 【跟踪专练1】在矩形ABCD中将边长分别为a和b的两张正方形纸片(a>b),按图1和 图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的 部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为S,S.当4D=4B时，S-S AB 的值为() 图1 图2 试卷第1页，共3页 A C. 30 D. 4b 【跟踪专练2】如图，“赵爽弦图”是由四个相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大 正方形.己知每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2，那么小正方形与大正方形的面积 比是 【题型11.整式的混合运算】 【典例】下列四个计算式子：①a(a-2b)=a2-2ab;②(a+2)(a-3)=a2-6;③ (a-2)2=a2-4a+4;④a2-2ab+a÷a=a-2b,其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】已知(a+b)=10,(a-b)=2,则 (a+2)b-2)(b+2)a-2= 【跟踪专练2】已知9x2+ax+25是完全平方式，则(2a-3a)÷2a2-a3的值是() A.45 B.±45 C.20 D.±20 常考题型精讲精练 1.五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的 阵风战机，扬我国威，己知一架阵风战机约2.75亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风 战机价格是歼-10C的倍. 2.小红从家骑车上学，当她以4米秒的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到， 她改用6米/秒的速度骑完后一半路程，则小红从家到学校的平均速度是」 3.若a2+7a=5,则(2a+1)(a+3)-a+3)(a-3)的值为() A.17 B.-1 C.5 D.11 4.老师说，多项式：x2+2x-3有最小值，但是小明不会做，请你帮小明计算出最小值 试卷第1页，共3页 是」 5.若关于x的多项式x2-mx+16是完全平方式，则m的值为 6.已知a2-5a-1=0,代数式(a-1)(a-2)(a-3(a-4)的值是() A.24 B.30 C.35 D.36 7.己知(a-b=30,(a+b)=3000,则a2+b的值为() A.1515 B.1516 C.1517 D.1518 8.如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型： 两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S,、S2分别表示两个班级 的基地面积.若m+n=8,mn=15,则S-S2=() D 图1 图2 A.16 B.15 C.14 D.12 9.下列说法中，正确的个数是() 0若日-女>0： ②若a>bl,则有(a+b)(a-b)是正数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x,若相邻两点的距离相等，则x=2; ④若代数式2x+9-3x+1-x+2011的值与x无关，则该代数式值为2021； b+c.a+ca+b ⑤a+b+c=0,abc<0,则a+可+可的值为l. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被 覆盖的部分用阴影表示.如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保 持不变，那么a与b的数量关系是_ 试卷第1页，共3页 专题03乘法公式与整式的除法寒假预习讲义 1.掌握平方差、完全平方公式及同底数幂除法、单项式与多项式除以单项式的运算法则，理解公式与法则的推导逻辑及几何意义（仅乘法公式）。 2.能熟练运用乘法公式、整式除法法则进行运算，解决化简求值等基础问题，掌握零指数幂、负整数指数幂的规定并正确应用。 3.学会公式逆用、变形及运算转化思想，提升整式运算的灵活性与严谨性，避免常见易错点。 4.培养观察、归纳和逻辑推理能力，感受数形结合、转化思想在数学运算中的应用。 预习知识 点梳理 1.核心公式 2..应用技巧 3整式的除法 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.平方差公式的计算应用 2.平方差公式与几何图形 3.完全平方公式的运算应用 4.完全平方公式的几何图形应用 5.多项式乘多项式的化简与求值 6.完全平方平方公式的变形求值技巧 7.完全平方式中字母系数的求解 8.单项式除以单项式的运算 9.多项式除以单项式的运算 10.整式四则混合运算 11.整式的混合运算 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.核心公式】 1. 平方差公式 公式内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 文字表达式：(a+b)(a−b)=a2−b2 公式特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，一项完全相同，另一项互为相反数。 (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方。 (3)公式中的 a、b 可以是单个数字、字母，也可以是单项式或多项式。 举例应用 (2x+3)(2x−3)=(2x)2−32=4x2−9 (m−n)(m+n)=m2−n2 2. 完全平方公式 公式内容 1 两数和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 2 两数差的平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 文字总结：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方。 公式特点 (1)左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式。 (2)右边的三项中，两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边两项乘积的 2 倍，符号与左边二项式中间的符号一致。 (3)公式中的 a、b 可以是数字、字母、单项式或多项式。 举例应用 (x+5)2=x2+2⋅x⋅5+52=x2+10x+25 (3y−2)2=(3y)2−2⋅3y⋅2+22=9y2−12y+4 易错点 1.平方差公式中，不要漏写平方，避免出现(a+b)(a−b)=a−b 的错误。 2.完全平方公式中，不要漏掉两倍乘积项，避免出现(a+b)2=a2+b2的错误。 3.当公式中的a或b是负数或多项式时，要注意添加括号，再进行计算。 例：(−2a+b)2=(b−2a)2=b2−4ab+4a2 【知识点02.应用技巧】 1. 公式识别 平方差公式：寻找 "相同项" 和 "相反项" 完全平方公式：寻找 "两数和（或差）的平方" 结构 2. 符号处理 注意括号前的负号对结果的影响 例如：(−a+b)2=(b−a)2=b2−2ab+a2 3. 整体思想 将复杂代数式视为一个整体应用公式 例如：(x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)2−z2 4. 常见错误辨析 避免(a+b)2=a2+b2的错误 注意(−a−b)2=(a+b)2的正确变形 【知识点03.整式的除法】 1.单项式除以单项式 运算法则 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 计算步骤 (1)系数相除：按照有理数的除法法则计算。 (2)同底数幂相除：底数不变，指数相减，即am÷an=am−n（a≠0，m、n 都是正整数，且 m>n）。 (3)处理单独字母：只在被除式出现的字母，直接保留在商中。 2. 多项式除以单项式 运算法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。文字表达式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m≠0） 计算步骤 (1)拆分多项式：将多项式的每一项分别与单项式相除。 (2)逐项计算：按照单项式除以单项式的法则计算每一项的商。 (3)合并商：将所有项的商相加，注意符号。 3. 整式除法的注意事项 (1).零指数幂：规定a0=1（a≠0），注意底数不能为 0。 (2)计算时注意符号：系数相除时，同号得正，异号得负。 (3)多项式除以单项式时，不要漏除常数项，如果多项式的某一项与除式相同，相除后得 1，不是 0。 【知识点04.易错点警示】 一、 乘法公式易错点 1.平方差公式： 结构判错，非 “同项 ² - 反项 ²” 误用公式 含负号时，漏给整体加括号再平方 2.完全平方公式： 丢中间两倍乘积项，错写成a2+b2 乘积项符号判错，差的平方中间项写成正 系数平方时，漏算系数的平方 二、 整式的除法易错点 1.单项式除以单项式： 同底数幂相除，指数相加（应为相减） 系数相除忽略符号，异号得正 遗漏只在被除式中的字母及指数 2.多项式除以单项式： 漏除多项式中的某一项（尤其常数项） 逐项相除后，多余合并同类项 零指数幂：忽略底数不为 0的前提条件 【题型1.平方差公式的运算应用】 【典例】下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平方差公式，准确的计算是解决本题的关键． 利用平方差公式将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：5． 【跟踪专练2】若，则A的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 通过乘以并利用平方差公式，将乘积化简为，进而得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选B． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积 ．（填变大、变小或不变） 【答案】变小 【分析】本题考查了用平方差公式计算实际问题，解题关键是掌握用平方差公式． 分别求出改造前后花园的面积，比较后作出判断即可． 【详解】解：边长为a米（）的正方形的面积为（米2）， 把边长为a米（）的正方形花园一边增加10米，一边减少10米．则改造后花园的面积为， 所以改造后花园的面积变小． 【跟踪专练1】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 【题型3.完全平方公式的运算应用】 【典例】下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【跟踪专练1】若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，代入已知条件求解，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故答案为：25． 【跟踪专练2】已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可得，则根据完全平方公式可推出，据此求出c的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 【题型4.完全平方公式的几何图形应用】 【典例】如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据三角形的面积得出，再根据阴影部分的面积为​，求出，根据完全平方公式变形为，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b，的面积为4， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为​， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练1】有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，先观察图形，根据总面积不变，进行列式计算，然后分析，即可作答． 【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积 即； 方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为 （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】14 【分析】设，，利用正方形的性质，完全平方公式变形计算即可． 本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：设，， 四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36，， ，，，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为： 【题型5.多项式乘多项式的化简与求值】 【典例】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式算出，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：12． 【跟踪专练2】实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型6.完全平方公式的变形求值技巧】 【典例】已知，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 【跟踪专练1】若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 【跟踪专练2】若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 【题型7.求完全平方式中的字母系数】 【典例】下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【详解】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 【跟踪专练1】若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 【题型8.单项式除以单项式的运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据单项式除法的法则，系数相除，同底数幂相除即可得出答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 【跟踪专练1】下列整式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等，需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； B、，∴B错误，不符合题意； C、，∴C正确，符合题意； D、，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、单项式的乘法和除法，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【题型9.多项式除以单项式的运算】 【典例】一个长方形的面积为，一边长为，则它的另一边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的除法运算的应用．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为， 它的另一边长为：． 故选：D． 【跟踪专练1】已知一个多项式与单项式的积为，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，弄清因式与积之间的关系并列出等式是解题的关键． 根据题意，所求多项式等于已知积除以给定的单项式，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：所求的多项式 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 【题型10.整式四则混合运算】 【典例】计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】在矩形中将边长分别为a和b的两张正方形纸片（），按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当时，的值为（   ） A． B． C．a D．b 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先设则，再表示出，然后代入计算得出答案. 【详解】解：∵， 设则， ∴， ， ∴， 即， 故选：B. 【跟踪专练2】如图，“赵爽弦图”是由四个相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知每个直角三角形两条直角边长度的比是，那么小正方形与大正方形的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积．根据题意求得小正方形的边长和面积，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形面积的和求得大正方形的面积，据此计算即可． 【详解】解：∵每个直角三角形两条直角边长度的比是， ∴设直角三角形的两条直角边的长分别是和， ∴小正方形的边长为，小正方形的面积， 大正方形的面积， ∴小正方形与大正方形的面积比是． 故答案为：． 【题型11.整式的混合运算】 【典例】下列四个计算式子：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：①a（a-2b）=a2-2ab，正确； ②（a+2）（a-3）=a2-a-6，错误； ③（a-2）2=a2-4a+4，正确； ④（a2-2ab+a）÷a=a-2b+1，错误， 则其中正确的个数有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练1】已知，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键． 利用已知条件求出和的值，然后将所求表达式转化为的形式，代入计算。 【详解】由，得； 由，得， 将两式相加，得，所以； 将两式相减，得，所以， 所求表达式为， 将其分组为， 代入已知值： ， 将，代入， 得． 故答案是：． 【跟踪专练2】已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方式以及整式的混合运算，首先根据完全平方式的意义求得，再计算出，最后把代入计算即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴； 又 ； 当时，原式； 当时，原式； 所以，的值是， 故选：B． 1．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 2．小红从家骑车上学，当她以4米/秒的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到，她改用6米/秒的速度骑完后一半路程，则小红从家到学校的平均速度是 ． 【答案】米/秒 【分析】本题主要考查了列代数式、行程问题等知识点，明确路程、速度、时间的关系是解题的关键． 设全程的路程为米，则前一半路程用时，后一半路程用时，总用时为，然后根据路程、速度、时间的关系列式计算即可． 【详解】解：设全程的路程为米，则前一半路程用时，后一半路程用时，总用时为， 所以，小红从家到学校的平均速度是（米/秒）． 故答案为：米/秒． 3．若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 4．老师说，多项式：有最小值，但是小明不会做，请你帮小明计算出最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用及完全平方式的非负性，熟练掌握配方法将多项式变形为完全平方式与常数的组合形式是解题的关键．通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解： ， 因为， 所以，即有最小值为， 故答案为：． 5．若关于的多项式是完全平方式，则的值为 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的结构特征作答即可． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得． 故答案为：． 6．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 7．已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方公式展开已知等式，通过相加直接求解． 【详解】∵， ， 将两式相加，得： ， 即， ∴． 故选A． 8．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 9．下列说法中，正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与x无关，则该代数式值为2021； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义、平方差公式的应用、代数式的值与参数无关的条件等知识点，结合绝对值的含义逐一分析每个说法的正确性． 【详解】解：① ∵，且分母， ∴，即，故正确． ② ∵， ∴，即，故正确． ③ 设三点A、B、C对应数、6、x，相邻距离相等，则可能、或，故不唯一，原来说法错误． ④ 代数式， 当时， ∴ ， ∴当时值为2019（常数），非2021，故原来说法错误． ⑤ ∵且， ∴中一负两正，，，， 设，，， 则，而原来结果为，故原来说法错误． 综上，正确说法有①和②，共2个． 故选：B 10．如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出与的关系式，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∵，即， ∴，即， ∴阴影部分面积之差， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， ∴，即， 故答案为：． 11．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 12．先化简，再求值： 其中 【答案】， 0 【分析】本题考查了整式的化简求值， 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 13．已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 14．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【详解】（1）解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $