专题6.7 用相似三角形解决问题（知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.7 用相似三角形解决问题 （知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平行投影 1 知识点梳理02：中心投影 2 知识点梳理03：中心投影与平行投影的区别与联系 2 知识点梳理04：相似三角形的应用 3 优选题型 考点讲练 4 题型1：相似三角形实际应用 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 10 知识点梳理01：平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长. (2)等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 即： 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 【易错点拨】（1）平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. （2）物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点梳理02：中心投影 若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：中心投影与平行投影的区别与联系 1.联系： （1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 【易错点拨】在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 知识点梳理04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 （1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. （2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 【易错点拨】（1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=； （2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； （3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； （4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型1：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 【变式训练2】（24-25九年级下·江西赣州·自主招生）在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高 m． 3．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是米，则到的距离是 米． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（  ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·中考真题）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 基础夯实 1．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 6．（24-25九年级下·全国·期末）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 7．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 9．（2025·陕西榆林·三模）如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度． 10．（2025·河南周口·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中， ，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ． 如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的 平行于地面，的延长线交于点，滑动 使，，在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点， 滑动 ， 使，，在同一条直线上，此时．小明的 身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精 确到） 培优拔高 11．（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·湖南·模拟预测）平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的锐角相等，即．若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 15．（25-26九年级下·陕西西安·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 16．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 17．（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 18．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 19．（2025·江苏南京·二模）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 20．（2025·宁夏吴忠·二模）如图是边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，将补成中心对称图形； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； (3)在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 用相似三角形解决问题 （知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平行投影 1 知识点梳理02：中心投影 2 知识点梳理03：中心投影与平行投影的区别与联系 2 知识点梳理04：相似三角形的应用 3 优选题型 考点讲练 4 题型1：相似三角形实际应用 4 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 20 知识点梳理01：平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长. (2)等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 即： 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 【易错点拨】（1）平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. （2）物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点梳理02：中心投影 若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：中心投影与平行投影的区别与联系 1.联系： （1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 【易错点拨】在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 知识点梳理04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 （1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. （2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 【易错点拨】（1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=； （2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； （3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； （4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型1：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【规范解答】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设，，通过证明和，得到和，再代入数据列出方程组，求出的值即可解答． 【规范解答】解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西赣州·自主招生）在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得甲同学身高高于乙同学身高，则，再由当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，得到，证明可推出，同理可得，则可证明，进而可证明． 【规范解答】解：如图所示，当点M和点N在点P两侧时，O表示路灯光源位置，的长分别表示甲和乙的身高，分别表示甲和乙的影长， ∵在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长， ∴甲同学身高高于乙同学身高， ∴； ∵当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点M和点N在点P同侧时，同理可证明； 综上所述，， 故选：C． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意判定三角形相似，由相似三角形的性质列比例关系，代入数据计算即可． 【规范解答】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 设树高米， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴树高米， 故答案为：． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，，，则树高 m． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【规范解答】解：∵和均为直角， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 3．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是米，则到的距离是 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出到的距离． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴点到的距离点到的距离， ∴点到的距离， ∴到的距离为米， 故答案为：． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【规范解答】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 5．（2024·江苏南京·中考真题）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 基础夯实 1．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【规范解答】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【规范解答】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 【答案】// 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决此题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 5．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 证明即可求解． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴， 故，即， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·全国·期末）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 【答案】/24厘米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度约是． 故答案为：． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【答案】6米 【思路点拨】证明，得出，代入数据求出，设点B的坐标为，则点的坐标为，求出，得出反比例函数解析式为：，设点D的坐标为，得出，证明，得出，即，求出m的值，即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意得：米，米，米，，，， 则，，（米）， ∴， ∴， 即， 解得：， 设点B的坐标为，点的坐标为， ∵灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：， 设点D的坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴（米）， 答：树与路灯相距6米． 9．（2025·陕西榆林·三模）如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度． 【答案】河的宽度为67.5米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，证明即可解答，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 答：河的宽度为67.5米． 10．（2025·河南周口·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中， ，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ． 如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的 平行于地面，的延长线交于点，滑动 使，，在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点， 滑动 ， 使，，在同一条直线上，此时．小明的 身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精 确到） 【答案】建筑物的高度约为米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【规范解答】解：设，则， 根据题意可得， ∴即， ∴ 同理可得 ∴即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为米 培优拔高 11．（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键，根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【规范解答】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得：． 故选：C． 12．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 13．（2024·湖南·模拟预测）平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的锐角相等，即．若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质（函数图象上点的坐标与解析式的关系）和平面镜反射规律（反射角等于入射角），解题的关键是通过在两条光线上取点，利用反射规律推出对应点的坐标特征，再结合一次函数解析式求出、的关系． 在入射与反射光线上各取点，并作坐标轴的垂线，构造相似三角形，利用对应的直角成比例，分别表示出两直线的函数解析式之间的关系，求出、的表达式，观察两者关系即可得到答案． 【规范解答】解：设反射光线上有一点（，，因在第一象限），过作轴于，则，，． 过入射光线上点作轴于． 将代入，得，即； ∵平面镜是轴，且，， （因轴，内错角相等）， ∴，则，即． 又∵在第二象限（入射光线在第二象限），，横坐标为负值，纵坐标为正值， ∴． ∴． 故选：A． 14．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 【答案】6 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 15．（25-26九年级下·陕西西安·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边的比相等的性质是解题的关键． 先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，再代入计算即可． 【规范解答】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 16．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，在等边中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点 ．点处读数分别为18，14，1，3，则直尺的宽为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，先利用等边三角形的三线合一性质可得，从而在中利用勾股定理求出的长，然后根据题意可得：，，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， 是等边三角形， ， 等边的边长为， 如图，过点作，垂足为，延长交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 由题意得：，， ，， ， ， ， ， ， 直尺的宽为， 故答案为：． 17．（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质计算即可． 【规范解答】解：，， ∴， ∽， ， ，，，， ，，，， ， 关于x的函数解析式为， 故答案为： 18．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 19．（2025·江苏南京·二模）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（2025·宁夏吴忠·二模）如图是边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，将补成中心对称图形； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； (3)在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】（1）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形，结合平行四边形为中心对称图形，即可获得答案； （2）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形；连接，交于点，结合平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”，可知，即可获得答案； （3）取格点F，在线段上取点G，使得，且，连接交于点，易得，故有，所以． 【规范解答】（1）解：如下图，四边形即为所求； （2）如下图，点D即为所求； （3）如下图，点M即为所求． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $