6.7 用相似三角形解决问题（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 6.7 用相似三角形 解决问题 第六章 图形的相似 章节导读 学 习 目 标 1 2 认识平行投影，并会根据平行投影画图；能利用平行投影下物高与影长的关系原理进行相关测量和计算 认识中心投影，并会根据中心投影画图；能利用中心投影下物高与影长的关系原理进行相关测量和计算 新知探究 光在空气中传播时，遇到不透明的物体，在这个物体后面光不能到达的区域便产生影。 新知探究 如图，在太阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。 通常，我们把太阳光看成平行光。 新知探究 平行投影： 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影。 知识要点 ( 1 ) ( 2 ) 投射线 投射面 新知探究 拓展 —— 平行投影的分类 ： 正投影：如图( 1 )，把投射线垂直于投影面的平行投影叫做正投影； 斜投影：如图( 2 )，把投射线不垂直于投影面的平行投影叫做斜投影。 知识要点 ( 1 ) ( 2 ) 投射线 投射面 新知探究 实 验 1. 在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙三根木杆，在同一时刻分别测量这三根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表： 木杆 木杆长度 杆影长度 甲 80cm 乙 120cm 丙 160cm 【结论1】在平行光的照射下， 在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例。 16cm 24cm 32cm 5 5 5 新知探究 实 验 2. 在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙三根木杆，在同一时刻分别测量这三根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表： 【结论2】在平行光的照射下， 在不同时刻，同一物体的影长不相等。 木杆 木杆长度 杆影长度 甲 80cm 80cm 80cm 16cm 40cm 80cm 新知探究 平行投影的有关结论： 在平行光的照射下： ( 1 ) 在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例； ( 2 ) 在不同时刻，同一物体的影长不相等。 知识要点 新知探究 尝 试 1. ( 1 ) 如图，甲木杆AB在阳光下的影长为BC，试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长。 甲 乙 丙 新知探究 尝 试 1. ( 2 ) 如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？ 甲 乙 丙 解： 建立如图所示的模型， ∵平行光， ∴∠C = ∠F， ∵∠B = ∠E = 90°， ∴△ABC∽△DEF， ∴ = ，即 = 。 A B C D E F 新知探究 尝 试 2. 古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度。当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时 ( 如图 )，要求他的助手同时测出金字塔的影长DB以及金字塔底部正方形的边长，这样他就知道了金字塔的高度。他是怎么算的呢？ 新知探究 【建模】如图，当学者的身高与影长相等时，测得金字塔的影长DB为32m，若金字塔底部正方形的边长为230m，你能帮助这位学者计算这座金字塔的高度吗？ 解：若无遮挡，AC对应的影长应为BC， ∴AC：BC = 人高：人影 = 1：1， ∴AC = BC = DB + DC， ∵DB = 32m，DC = × 230 = 115 ( m )， ∴AC = 32 + 115 = 147 ( m )。 新知探究 尝 试 3. 在不能直接测量的情况下，怎样求旗杆的高度？ 解：在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例。 A B O A′ B′ O′ 新知探究 【建模】如图，人的身高为O′B′ = n，影长为A′B′ = n，旗杆的影长为AB = m，求旗杆OB的高度。 解：∵平行光，∴∠A = ∠A′， ∵∠B=∠E=90°，∴△AOB∽△A′O′B′， ∴ = ，即 = ， ∴ = ，即OB = 。 A B O A′ B′ O′ 【总结】( 1 ) = ，即物高：参照物高 = 物影：参照物影； ( 2 ) = ，即物高：物影 = 参照物高：参照物影。 新知探究 平行投影的应用： 当物体的高度不能直接测量时，通常用“在平行光的照射下， 在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”这一原理间接计算。 相关公式： ( 1 ) 物高：参照物高 = 物影：参照物影； ( 2 ) 物高：物影 = 参照物高：参照物影。 知识要点 新知探究 夜晚，当人在路灯下行走时，会看到一个有趣的现象：在灯光照射范围内，离开路灯越远，影子就越长 ( 如图 )。 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的。 新知探究 中心投影： 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。 中心投影的特点：投影线交于一点。 知识要点 投射线 投射面 点光源 新知探究 中心投影的有关结论： 一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同位置， 它的物高与影长不成比例。 知识要点 新知探究 尝 试 1. ( 1 ) 三根旗杆的底部在同一条直线上，其中两根在同一灯光下的影长已画出。请在图中画出光源的位置，并画出另一根旗杆在该灯光下的影长。 点光源 O M 新知探究 尝 试 1. ( 2 ) 三根旗杆的底部在同一条直线上，其中两根在同一灯光下的影长已画出。请在图中画出光源的位置，并画出另一根旗杆在该灯光下的影长。 点光源 A B C E F D H I G 解：可以构造相似三角形： △ABC∽△OMC， △DEF∽△OMF， △GHI∽△OMI。 新知探究 尝 试 2. 如图，马路两侧有两根灯杆AB、CD。当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE。测得BD = 24m，NB = 6m，NE = 2m，判断这两根灯杆的高度是否相同，并说明理由。 新知探究 解： ∵AB // MN //CD， ∴△ABE∽△MNE， △CDB∽△MNB， ∴ = ， = ， ∴ = ，=， ∴AB = 4MN = CD。 2m 6m 24m 典例分析 分析：由△ABF∽△CDF，且CD、DF是已知量，可以得到AB与BF ( BD ) 之间的一个关系式；由△ABG∽△EFG，且EF、FG是已知量，可以得到AB与BG ( BD ) 之间的又一个关系式。这样，根据这两个关系式可以求得BD和AB。 典例 如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF = 3m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长FG = 4m。设小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度。 典例分析 3m 4m 1.6m 解：在Rt△ABF和Rt△CDF中，∠AFB = ∠CFD， ∴△ABF∽△CDF。 ∴ = ，即 = 。① 类似的，△ABG∽△EFG。 ∴ = ，即 = 。② 由①、②，得 = ，BD = 9。 将BD = 9代入①，得 = ，AB = 6.4。 答：灯杆AB高6.4m。 题型探究 【例1】已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.4m的测竿在地面上的影长为2.8m，由此可知该电线杆的长为__________m。 平行投影的应用 题型一 10 20m 2.8m ？ 1.4m 解：设电线杆的长是x米， 由题意可得：1.4：2.8 = x：20， 解得：x = 10。 题型探究 【例2】学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度 ( 如图1 )。如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线。请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度。 中心投影的应用 题型二 题型探究 中心投影的应用 题型二 23m 4m 2m 2m 2m 解：设BE = x m， ∵AB // EF // GH， ∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC， ∴ = ， = ， ∵EF = HG = 2m， ∴ = ，∴ = ，解得：x = 23， ∴ = ，即 = ，解得：AB = 25m， 答：该古建筑的高度为25m。 题型探究 【例3】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，路灯灯泡在点D正上方。 ( 1 ) 如果小明的身高AB = 1.6m，他的影子长AC = 1.4m，且他到路灯的距离AD = 2.1m，求灯泡的高。 中心投影的应用 题型二 解：( 1 ) 如图，点P即为设灯泡所在位置， ∵AB // PD，∴△ABC∽△DPC，∴ = ， ∵AB = 1.6m，AC = 1.4m，AD = 2.1m， ∴ = ，解得：DP=4m， 答：灯泡的高为4m。 P 1.6m 1.4m 2.1m 题型探究 【例3】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，路灯灯泡在点D正上方。( 1 ) DP = 4m。 ( 2 ) 在( 1 )的条件下当小明越过路灯到达FG时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程。 中心投影的应用 题型二 ( 2 ) 如图，延长PG交CF的延长线于点E，EF即为影子长， ∵GF // PD，∴△FGE∽△DPE，∴=， ∵GF = EF = AB = 1.6m，∴DE = PD = 4m， ∴AF = AD + DE - EF = 2.1 + 4 - 1.6 = 4.5 ( m )， 答：小明前行的路程为4.5m。 P 1.6m E 课堂小结 平行投影： 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影。 平行投影的有关结论： 在平行光的照射下：( 1 ) 在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例； ( 2 ) 在不同时刻，同一物体的影长不相等。 平行投影的应用： 当物体的高度不能直接测量时，通常用“在平行光的照射下， 在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”这一原理间接计算。 相关公式：( 1 ) 物高：参照物高 = 物影：参照物影； ( 2 ) 物高：物影 = 参照物高：参照物影。 课堂小结 中心投影： 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。 中心投影的特点：投影线交于一点。 中心投影的有关结论： 一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同位置，它的物高与影长不成比例。 感谢聆听! $